docs: 添加 2023-2024 线性代数 I（H）期末答案

LALUbook.cls

@@ -52,7 +52,7 @@
 
 \RequirePackage{graphicx}
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-\RequirePackage{enumitem}
+\RequirePackage[inline]{enumitem}
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@@ -221,6 +221,14 @@
     \newcommand{\tcb@cnt@axiomautorefname}{公理}
     \makeatother
 
+    % https://tex.stackexchange.com/a/2244/316373
+    \makeatletter
+    \renewcommand*\env@matrix[1][*\c@MaxMatrixCols c]{%
+    \hskip -\arraycolsep
+    \let\@ifnextchar\new@ifnextchar
+    \array{#1}}
+    \makeatother
+
     \crefrangeformat{equation}{式~#3#1#4--#5#2#6}
     \crefrangeformat{example}{例~#3#1#4--#5#2#6}
 }

讲义/LALU-answers.tex

@@ -82,7 +82,12 @@ \chapter{《线性代数：未竟之美》习题参考答案}
 \ctexset{
     section={format={\raggedright\Large\bfseries},name={,},number={}},
 }
-\renewcommand*{\thesection}{}
+\renewcommand*{\thesection}{} % FIXME: this breaks equation numbering
+
+% 嵌套 enumerate 环境的 label
+\setlist[enumerate,1]{label=\chinese*、}
+\setlist[enumerate,2]{label=(\arabic*)}
+\setlist[enumerate,3]{label=\roman*.}
 
 % 线代I期中/练习
 \chapter{线性代数I（H）期中/小测历年卷试题集}
@@ -109,6 +114,11 @@ \chapter{线性代数I（H）期末历年卷试题集}
 \input{./历年卷/2019-2020-1final.tex}
 \input{./历年卷/2021-2022-1final.tex}
 \input{./历年卷/2022-2023-1final.tex}
+\input{./历年卷/2023-2024-1final.tex}
+
+% 线代I期末答案
+\chapter{线性代数I（H）期末历年卷答案}
+\input{./历年卷/2023-2024-1final-answer.tex}
 
 % 线代II期中/练习
 \chapter{线性代数II（H）期中/小测历年卷试题集}
@@ -123,6 +133,7 @@ \chapter{线性代数II（H）期中/小测历年卷试题集}
 \chapter{线性代数II（H）期末历年卷试题集}
 \input{./历年卷/2022-2023-2finalex.tex}
 \input{./历年卷/2022-2023-2final.tex}
+\input{./历年卷/2023-2024-2final.tex}
 
 \backmatter
 

讲义/专题/10 行列式.tex

@@ -349,7 +349,7 @@ \section{第一条路：行列式的逆序数定义}
     且 $(k_1,\ldots,k_{i-1},k_{i+1},\ldots,n) \in S_{n-1}$，由归纳假设知 $(k_1,\ldots,k_{i-1},k_{i+1},\ldots,n)$ 经过 $\tau(k_1,\ldots,k_{i-1},k_{i+1},\ldots,n)$ 次相邻对换可以变为 $(1,2,\ldots,n-1)$，结合上面的讨论可知 $(k_1,\ldots,k_n)$ 经过 $\tau(k_1,\ldots,k_n)$ 次相邻对换可以变为 $(1,2,\ldots,n)$，因此 $\varepsilon = \tau(k_1,\ldots,k_n)$.
 \end{proof}
 
-事实上，我们也可以给出\autoref{thm:逆序数与幂次的关系} 的一种更为直观的理解：由公理化定义，我们知道 $\epsilon$ 的取值实质上是将 $|e_{k_1}, e_{k_2}, \ldots, e_{k_n}|$ 通过行列对换得到 $|e_1, e_2, \ldots, e_n|$ 的次数. 令 $k_m = n$ 为 $k_1, k_2, \ldots, k_n$ 中最大的元素，我们先将 $e_{k_m}$ 通过相邻列交换的方式换到最后一列，这个过程中需要交换 $n - m$ 次，而由于 $k_m > k_i, \forall i > m$，故交换的过程中我们``解决''了 $n - m$ 个逆序对，这与交换次数是相同的. 第一轮交换结束后，我们得到了 $|e_{k_1}, e_{k_2}, \ldots, e_{k_{m-1}}, e_{k_n}, e_{k_{m+1}}, \ldots, e_{k_{n-1}, e_{k_m}}$，可以看到第一轮交换并没有``解决''与 $k_m$ 无关的逆序对. 接着我们只需要重复将前 $n-p$ 个向量中下标最大的向量交换到第 $n-p$ 个位置上的操作即可，而上面我们已经说明了操作过程中的交换次数与``解决''的逆序数是相同的. 因此我们可以知道总的交换次数 $\epsilon$ 就是所有``解决''的逆序数个数 $\tau(k_1,k_2,\ldots,k_n)$.
+事实上，我们也可以给出\autoref{thm:逆序数与幂次的关系} 的一种更为直观的理解：由公理化定义，我们知道 $\varepsilon$ 的取值实质上是将 $|e_{k_1}, e_{k_2}, \ldots, e_{k_n}|$ 通过行列对换得到 $|e_1, e_2, \ldots, e_n|$ 的次数. 令 $k_m = n$ 为 $k_1, k_2, \ldots, k_n$ 中最大的元素，我们先将 $e_{k_m}$ 通过相邻列交换的方式换到最后一列，这个过程中需要交换 $n - m$ 次，而由于 $k_m > k_i, \forall i > m$，故交换的过程中我们``解决''了 $n - m$ 个逆序对，这与交换次数是相同的. 第一轮交换结束后，我们得到了 $|e_{k_1}, e_{k_2}, \ldots, e_{k_{m-1}}, e_{k_n}, e_{k_{m+1}}, \ldots, e_{k_{n-1}, e_{k_m}}$，可以看到第一轮交换并没有``解决''与 $k_m$ 无关的逆序对. 接着我们只需要重复将前 $n-p$ 个向量中下标最大的向量交换到第 $n-p$ 个位置上的操作即可，而上面我们已经说明了操作过程中的交换次数与``解决''的逆序数是相同的. 因此我们可以知道总的交换次数 $\varepsilon$ 就是所有``解决''的逆序数个数 $\tau(k_1,k_2,\ldots,k_n)$.
 
 我们由此给出行列式的逆序数定义：
 

讲义/专题/15 相似标准形：复数域上的尝试与理论.tex

@@ -115,7 +115,7 @@ \subsection{可对角化的条件}
 
 \begin{solution}
     首先求出特征多项式为 $f(\lambda) = |\lambda E - J_0| = (\lambda - \lambda_0)^r$，因此 $J_0$ 只有一个特征值 $\lambda_0$，且代数重数为 $r$.
-    
+
     接下来求几何重数，即 $J_0X = \lambda_0X$ 的解空间维数，即 $(\lambda_0 E - J_0)X = 0$的解空间维数，事实上由于 $r(\lambda_0 E - J_0) = r - 1$，因此解空间维数为 $r - (r - 1) = 1$，即几何重数为 $1 < r$，因此不可对角化.
 \end{solution}
 
@@ -409,7 +409,7 @@ \subsection{核空间的性质}
     设$\sigma\in\mathcal{L}(V)$，设$n=\dim V$，则$V=\ker \sigma^n\oplus \im \sigma^n$.
 \end{theorem}
 \begin{proof}
-    设 $v \in \ker \sigma^n \cap \im \sigma^n$，则$\exists u \in V$，使得$是v=\sigma^n(u)$，从而$u \in \ker \sigma^{2n}$，进而$u \in \ker \sigma^{n}$， $v=\sigma^n(u)=0$，这表明$\ker \sigma^n \cap \im \sigma^n=\{0\}$.
+    设 $v \in \ker \sigma^n \cap \im \sigma^n$，则$\exists u \in V$，使得$v=\sigma^n(u)$，从而$u \in \ker \sigma^{2n}$，进而$u \in \ker \sigma^{n}$， $v=\sigma^n(u)=0$，这表明$\ker \sigma^n \cap \im \sigma^n=\{0\}$.
 
     结合$\dim \ker\sigma^n+\dim \im\sigma^n=n=\dim V$可知$V=\ker\sigma^n\oplus\im\sigma^n$.
 \end{proof}

讲义/专题/2 线性空间.tex

@@ -689,15 +689,15 @@ \section{线性表示 \quad 线性扩张}
                     \]
                     对于 $\mathbf{v} + \mathbf{w} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2)$，有：
                     \[
-                    (x_1 + x_2) - (y_1 + y_2) = (x_1 - y_1) + (x_2 - y_2) = 0 + 0 = 0，
+                    (x_1 + x_2) - (y_1 + y_2) = (x_1 - y_1) + (x_2 - y_2) = 0 + 0 = 0,
                     \]
                     \[
                     (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) + (z_1 + z_2) = (x_1 + y_1 + z_1) + (x_2 + y_2 + z_2) = 0 + 0 = 0.
                     \]
                     因此，$\mathbf{v} + \mathbf{w} \in W_2$.
                     \item \text{封闭性（数乘）}：对于任意 $\lambda \in \mathbb{R}$ 和 $\mathbf{v} = (x, y, z) \in W_2$，有：
                     \[
-                    \lambda x - \lambda y = \lambda (x - y) = \lambda \cdot 0 = 0，
+                    \lambda x - \lambda y = \lambda (x - y) = \lambda \cdot 0 = 0,
                     \]
                     \[
                     \lambda x + \lambda y + \lambda z = \lambda (x + y + z) = \lambda \cdot 0 = 0.
@@ -712,12 +712,12 @@ \section{线性表示 \quad 线性扩张}
                     \item \text{零多项式在其中}：零多项式 $p(x) = 0$ 满足 $p(1) = 0$，因此零多项式 $p(x) = 0 \in W_1$.
                     \item \text{封闭性（加法）}：假设 $p(x), q(x) \in W_1$，即 $p(1) = 0$ 且 $q(1) = 0$，那么对于 $p(x) + q(x)$，有：
                     \[
-                    (p(x) + q(x))(1) = p(1) + q(1) = 0 + 0 = 0，
+                    (p(x) + q(x))(1) = p(1) + q(1) = 0 + 0 = 0,
                     \]
                     因此 $p(x) + q(x) \in W_1$.
                     \item \text{封闭性（数乘）}：对于任意实数 $\lambda$ 和 $p(x) \in W_1$，有：
                     \[
-                    (\lambda p(x))(1) = \lambda p(1) = \lambda \cdot 0 = 0，
+                    (\lambda p(x))(1) = \lambda p(1) = \lambda \cdot 0 = 0,
                     \]
                     因此 $\lambda p(x) \in W_1$.
                 \end{enumerate}
@@ -744,12 +744,12 @@ \section{线性表示 \quad 线性扩张}
                     \item \text{零函数在其中}：零函数 $f(x) = 0$ 显然满足 $f(-x) = f(x)$，因此零函数 $f(x) = 0 \in W$.
                     \item \text{封闭性（加法）}：假设 $f(x), g(x) \in W$，即 $f(-x) = f(x)$ 且 $g(-x) = g(x)$，那么对于 $f(x) + g(x)$，有：
                     \[
-                    (f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x)，
+                    (f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x),
                     \]
                     因此 $f(x) + g(x) \in W$.
                     \item \text{封闭性（数乘）}：对于任意实数 $\lambda$ 和 $f(x) \in W$，有：
                     \[
-                    (\lambda f)(-x) = \lambda f(-x) = \lambda f(x) = (\lambda f)(x)，
+                    (\lambda f)(-x) = \lambda f(-x) = \lambda f(x) = (\lambda f)(x),
                     \]
                     因此 $\lambda f(x) \in W$.
                 \end{enumerate}

讲义/专题/22 线性代数与几何.tex

@@ -279,7 +279,7 @@ \section{曲面上的标架}
 \vec{t}_u = (x_{u}, y_{u}, z_{u}), \quad \vec{t}_v = (x_{v}, y_{v}, z_{v})
 \]
 
-对微积分有所了解的读者应该不难看出，这两个向量是曲面在某个点的切向量. 考虑一个ˋˋ好的''参数化，即在任意点这样的两个切向量线性无关. 这样的参数网对于满足一些可微性条件的曲面来说总是存在的，在此不做证明. 我们定义：
+对微积分有所了解的读者应该不难看出，这两个向量是曲面在某个点的切向量. 考虑一个``好的''参数化，即在任意点这样的两个切向量线性无关. 这样的参数网对于满足一些可微性条件的曲面来说总是存在的，在此不做证明. 我们定义：
 \begin{definition}
     称切向量 $\vec{t}_u |_{\vec{t}_0}, \vec{t}_v |_{\vec{t}_0}$ 所张成的向量空间为曲面 $S$ 在 $\vec{t_0}$ 点的切平面，记作 $T_{\vec{t}_0} S$.
 \end{definition}

讲义/专题/4 线性空间的运算.tex

@@ -850,7 +850,7 @@ \subsection{仿射子集与商空间}
             对于 $\lambda_2$, $\cdots$, $\lambda_m\in \mathbf{F}$. 注意到\[ (1-\lambda_2-\cdots-\lambda_m)+\sum_{i=2}^m \lambda_i=1, \]
             可以推出 $v_1+\spa(v_2-v_1,\cdots,v_m-v_1)\subset A$.
             因此\[A=v_1+\spa(v_2-v_1,\cdots,v_m-v_1).\]
-            $v=v_1，U=\spa(v_2-v_1,\cdots,v_m-v_1)$, 有 $\dim U\le m-1$
+            $v=v_1, U=\spa(v_2-v_1,\cdots,v_m-v_1)$, 有 $\dim U\le m-1$
         \end{enumerate}
     \end{answer}
             \item (加强的覆盖定理) 设 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ 是域 $\mathbf{F}$ 上向量空间 $V$ 的仿射子集，证明 $A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n$ 不能覆盖 $V$，即存在 $\alpha \in V$ 但是 $\forall 1\leqslant i\leqslant n, \alpha \notin A_n$

讲义/专题/5 线性映射.tex

@@ -197,7 +197,7 @@ \subsection{线性映射举例}
      \]
      故 \( r_{\theta} \) 是 \( \mathbf{R}^2 \) 上的一个线性变换.
 
-    \item 证明涉及内积的知识，我们放在\autoref{ex:镜像变换}中讨论.
+    \item 证明涉及内积的知识，我们放在\autoref{ex:镜像变换} 中讨论.
     \item 读者可以自行验证.
     \end{enumerate}
 
@@ -342,7 +342,7 @@ \subsection{线性映射的基本运算}
     上述定义的逆映射 $\sigma^{-1}$ 为线性映射.
 \end{theorem}
 
-\autoref{thm:复合映射是线性映射}和\autoref{thm:逆映射是线性映射}的证明是非常基本的，在阅读详细的证明之前，读者可以先自行尝试，如果不会证明则说明对于线性空间和线性映射的定义熟悉程度仍需提高，因为这里的证明都只需要机械地套用定义.
+\autoref{thm:复合映射是线性映射} 和\autoref{thm:逆映射是线性映射} 的证明是非常基本的，在阅读详细的证明之前，读者可以先自行尝试，如果不会证明则说明对于线性空间和线性映射的定义熟悉程度仍需提高，因为这里的证明都只需要机械地套用定义.
 
 \begin{proof}
 \begin{enumerate}
@@ -1527,16 +1527,16 @@ \subsection{自然同构} \label{subsec:自然同构}
                   a + bc_3 + cc_3^3 = d_3
               \end{cases} \]
           方程组是关于未知元 $ a, b, c $ 的三元线性非齐次方程组，其中 $ c_1, c_2, c_3 $ 是互异的实常数. 用高斯-若当消元法，易将其增广矩阵变换为下列阶梯形矩阵，即
-          \begin{align} % TODO 增广矩阵
-                             & \begin{pmatrix}
-                                   1 & c_1 & c_1^2 & \Bigm| & d_1 \\
-                                   1 & c_2 & c_2^2 & \Bigm| & d_2 \\
-                                   1 & c_3 & c_3^3 & \Bigm| & d_3
+          \begin{align}
+                             & \begin{pmatrix}[ccc|c]
+                                   1 & c_1 & c_1^2 & d_1 \\
+                                   1 & c_2 & c_2^2 & d_2 \\
+                                   1 & c_3 & c_3^3 & d_3
                                \end{pmatrix} \notag                                                                    \\
-              \implies \quad & \begin{pmatrix}
-                                   1 & c_1 & c_1^2     & \Bigm| & d_1                                                         \\[1ex]
-                                   0 & 1   & c_2 + c_1 & \Bigm| & \dfrac{d_1 - d_2}{c_1 - c_2}                                \\[2ex]
-                                   0 & 0   & c_3 - c_2 & \Bigm| & \dfrac{d_3 - d_1}{c_3 - c_1} - \dfrac{d_2 - d_1}{c_2 - c_1}
+              \implies \quad & \begin{pmatrix}[ccc|c]
+                                   1 & c_1 & c_1^2     & d_1                                                         \\[1ex]
+                                   0 & 1   & c_2 + c_1 & \dfrac{d_1 - d_2}{c_1 - c_2}                                \\[2ex]
+                                   0 & 0   & c_3 - c_2 & \dfrac{d_3 - d_1}{c_3 - c_1} - \dfrac{d_2 - d_1}{c_2 - c_1}
                                \end{pmatrix} \label{item:6:B:6:1}
           \end{align}
           阶梯性矩阵 \ref*{item:6:B:6:1}（其中 $ c_3 - c_2, c_3 - c_1, c_2 - c_1 $ 均为非零常数）对应的方程组有唯一解 $ a, b, c $，即存在唯一的

讲义/历年卷/2009-2010-1final.tex

@@ -1,56 +1,52 @@
-\phantomsection
-\section*{2009-2010学年线性代数I（H）期末}
-\addcontentsline{toc}{section}{2009-2010学年线性代数I（H）期末}
+\section{2009-2010学年线性代数I（H）期末}
 
 \begin{center}
     任课老师：统一命卷\hspace{4em} 考试时长：120分钟
 \end{center}
 
 \begin{enumerate}
-    \item [一、]（10分）记 $C([0,2\pi],\mathbf{R})$ 是区间 $[0,2\pi]$ 上全体连续函数作成的实线性空间，对 $f,g \in C([0,2\pi],\mathbf{R})$，用
-    \[(f,g) = \displaystyle\int_0^{2\pi}f(x)g(x)\mathrm{d}x\]
+    \item （10分）记 $C([0,2\pi],\mathbf{R})$ 是区间 $[0,2\pi]$ 上全体连续函数作成的实线性空间，对 $f,g \in C([0,2\pi],\mathbf{R})$，用
+    \[\langle f,g\rangle = \int_0^{2\pi}f(x)g(x)\,\mathrm{d}x\]
     来定义内积. 如果
-    \[f,g:[0,2\pi] \to \mathbf{R},f(x)=x,g(x)=\sin x\]
+    \[f,g\colon [0,2\pi] \to \mathbf{R},\enspace f(x)=x,\enspace g(x)=\sin x\]
     求 $f$ 与 $g$ 的夹角 $\theta$.
 
-    \item[二、]（10分）设 $V$ 是次数 $\leqslant 2$ 的实多项式线性空间，$T:V\to V$,
+    \item （10分）设 $V$ 是次数 $\leqslant 2$ 的实多项式线性空间，$T\colon V\to V$,
     \[T(f(x)) = f(x) + xf'(x).\]
     求 $T$ 的特征值. 对于每个特征值，求属于它的特征子空间.
 
-    \item[三、]（10分）设 $B$ 是 $3\times 1$ 矩阵，$C$ 是 $1\times 3$ 矩阵，证明：$r(BC)\leqslant 1$；反之，若 $A$ 是秩为 1的 $3\times 3$ 矩阵，证明：存在 $3\times 1$ 矩阵 $B$ 和 $1\times 3$ 矩阵 $C$，使得 $A=BC$.
+    \item （10分）设 $B$ 是 $3\times 1$ 矩阵，$C$ 是 $1\times 3$ 矩阵，证明：$r(BC)\leqslant 1$；反之，若 $A$ 是秩为 1的 $3\times 3$ 矩阵，证明：存在 $3\times 1$ 矩阵 $B$ 和 $1\times 3$ 矩阵 $C$，使得 $A=BC$.
 
-    \item[四、]（10分）设矩阵 $A=\begin{pmatrix}a & -1 & 1 \\ -1 & a & -1 \\ 1 & -1 & a\end{pmatrix},\beta =\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$. 假设线性方程组 $AX=\beta$ 有解但解不唯一.
-    \begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
+    \item （10分）设矩阵 $A=\begin{pmatrix}a & -1 & 1 \\ -1 & a & -1 \\ 1 & -1 & a\end{pmatrix},\beta =\begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$. 假设线性方程组 $AX=\beta$ 有解但解不唯一.
+    \begin{enumerate}
         \item 求 $a$ 的值；
 
         \item 给出 $AX=\beta$ 的一般解.
     \end{enumerate}
 
-\item[五、]（10分）设 $A$ 是可逆实矩阵.
-    \begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
+    \item （10分）设 $A$ 是可逆实矩阵.
+    \begin{enumerate}
         \item 证明 $A^{\mathrm{T}}A$ 是对称矩阵；
 
         \item 证明 $A^{\mathrm{T}}A$ 是正定的.
     \end{enumerate}
 
-\item[六、]（10分）令 $A = \begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \in M_{3\times 3}(\mathbf R)$.
-    \begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
+    \item （10分）令 $A = \begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \in M_{3\times 3}(\mathbf R)$.
+    \begin{enumerate}
         \item 求可逆矩阵 $Q\in M_{3\times 3}(\mathbf R)$ 使 $Q^{\mathrm{T}}AQ$ 是对角矩阵；
 
         \item 给出 $A$ 的正惯性指数、负惯性指数，并确定 $A$ 的定性.
     \end{enumerate}
 
-\item[七、]（10分）设 $\beta=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ 是 $V$ 的一组基，$T:V\to V$ 是线性变换，
-
-    $T(v_1)=v_2,T(v_2)=v_3,\ldots,T(v_{n-1})=v_n,T(v_n)=a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n$.
-
+    \item （10分）设 $\beta=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ 是 $V$ 的一组基，$T\colon V\to V$ 是线性变换，
+    \[ T(v_1)=v_2,T(v_2)=v_3,\ldots,T(v_{n-1})=v_n,T(v_n)=a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n.\]
     求 $T$ 关于 $\beta$ 的矩阵表示. 以及，在什么条件下 $T$ 是同构？
 
-    \item[八、]（10分）设 $A\in M_{n\times n}(\mathbf{F})$ 有两个不同的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且属于 $\lambda_1$ 的特征子空间的维数是$n-1$，证明：$A$ 是可对角化的.
+    \item （10分）设 $A\in M_{n\times n}(\mathbf{F})$ 有两个不同的特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且属于 $\lambda_1$ 的特征子空间的维数是$n-1$，证明：$A$ 是可对角化的.
 
-    \item[九、]（20分）判断下面命题的真伪. 若它是真命题，给出一个简单证明；若它是伪命题，举一个具体的反例将它否定.
-    \begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
-        \item 给定线性空间 $V$ 的非零向量 $v$ 和线性空间 $W$ 的向量 $w$，总存在线性映射 $T:V\to W$ 使得 $T(v)=w$.
+    \item （20分）判断下面命题的真伪. 若它是真命题，给出一个简单证明；若它是伪命题，举一个具体的反例将它否定.
+    \begin{enumerate}
+        \item 给定线性空间 $V$ 的非零向量 $v$ 和线性空间 $W$ 的向量 $w$，总存在线性映射 $T\colon V\to W$ 使得 $T(v)=w$.
 
         \item 若线性方程组有 $m$ 个方程，$n$ 个变量，且 $m < n$，则这个方程组一定有非零解.