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讲义/专题/10 行列式.tex

@@ -434,7 +434,7 @@ \subsection{递归式定义}
     \end{align}
 \end{theorem}
 
-我们简要说一下定理的证明. 虽然这一定理看着下标满天飞，似乎很难证明，但如果我们首先将第$j$列元素替换为第$i$列元素，然后根据\autoref{def:递归式定义} 按第$j$列展开求行列式，这一结果一定是0，因为此时矩阵第$i$和$j$两列完全相同. 同时我们发现，我们上面展开写出的式子就是\autoref{eq:13:递归式定义3}（注意此时$a_{ki}=a_{kj}$），由此得证.
+我们简要说一下定理的证明. 虽然这一定理看着下标满天飞，似乎很难证明，但如果我们首先将第$i$列元素替换为第$j$列元素，然后根据\autoref{def:递归式定义} 按第$i$列展开求行列式，这一结果一定是0，因为此时矩阵第$i$和$j$两列完全相同. 同时我们发现，我们上面展开写出的式子就是\autoref{eq:13:递归式定义3}（注意此时$a_{ki}=a_{kj}$），由此得证.
 
 到目前为止，读者可能对\crefrange*{eq:13:递归式定义1}{eq:13:递归式定义4} 式繁杂的下标感到陌生，因此安排了\crefrange*{ex:公理化定义2}{ex:递归式定义} 希望大家熟悉这些公式.
 \begin{example}{}{递归式定义2}

讲义/专题/14 相似标准形：动机与基础.tex

@@ -631,9 +631,9 @@ \subsection{特征值的基本性质}
     \begin{enumerate}
         \item $A$可逆/$A$不可逆/$E+A$可逆/$4E+A$不可逆；
 
-        \item $|E-A^2|=0$；
+        \item $|E - A^2| = 0$；
 
-        \item $A^2=E$（对合）/$A^2=A$（幂等）/$A^k=0$（幂零）；
+        \item $A^2 = E$（对合）/$A^2 = A$（幂等）/$A^k = 0$（幂零）；
 
         \item $A=\lambda_0E+B$（$\lambda_0$为常数，且已知$B$的$n$个特征值为$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$）；
 
@@ -645,7 +645,7 @@ \subsection{特征值的基本性质}
     \begin{enumerate}
         \item $A$可逆时有$|A|=\lambda_1\cdots\lambda_n\neq 0$，因此$A$的特征值都不为0. 同理，$A$不可逆同理表明存在特征值等于0，$E+A$可逆表明$-1$不是$A$的特征值，$4E+A$不可逆表明$-4$是$A$的特征值.
 
-        \item $|E-A^2|=|E-A||E+A|=0$，因此$\pm 1$都是$A$的特征值.
+        \item $|E - A^2| = |E - A||E + A| = 0$，因此 $A$ 的特征值可能为 $1$ 或 $-1$ 或二者兼有.
 
         \item 我们首先考虑对合矩阵，接下来的同理可以得到类似结论. 由于$A^2=E$，设$AX=\lambda X$，则$A^2X=\lambda^2X=X$，因此$\lambda^2=1$，即$\lambda=\pm 1$，因此$1$或$-1$是$A$的特征值.
 

讲义/专题/15 相似标准形：复数域上的尝试与理论.tex

@@ -114,20 +114,20 @@ \subsection{可对角化的条件}
 \end{example}
 
 \begin{solution}
-    首先求出特征多项式为$f(\lambda)=|\lambda E-J_0|=(\lambda-\lambda_0)^r$，因此$J_0$只有一个特征值$\lambda_0$，且代数重数为$r$.
+    首先求出特征多项式为 $f(\lambda) = |\lambda E - J_0| = (\lambda - \lambda_0)^r$，因此 $J_0$ 只有一个特征值 $\lambda_0$，且代数重数为 $r$.
 
-    接下来求几何重数，即$J_0X=\lambda_0X$的解空间维数，即$(\lambda_0 E-J_0)X=0O$的解空间维数，事实上由于$r(\lambda_0 E-J_0)=r-1$，因此解空间维数为$r-(r-1)=1$，即几何重数为$1<r$，因此不可对角化.
+    接下来求几何重数，即 $J_0X = \lambda_0X$ 的解空间维数，即 $(\lambda_0 E - J_0)X = O$的解空间维数，事实上由于 $r(\lambda_0 E - J_0) = r - 1$，因此解空间维数为 $r - (r - 1) = 1$，即几何重数为 $1 < r$，因此不可对角化.
 \end{solution}
 
-事实上，上例中的矩阵我们称之为若当块矩阵，我们未来将会有完整第一讲来介绍这一类型矩阵，因为它在我们的讨论中具有非常重要的地位——不可对角化的线性变换能得到的最简单的矩阵表示就是由多个若当块矩阵构成的，因此得到这一矩阵形式将是我们未来讨论的一大目标，这也同时宣告了将对角化作为终极目标的失败.
+事实上，上例中的矩阵我们称之为若当块矩阵，我们未来将会有完整的一讲来介绍这一类型矩阵，因为它在我们的讨论中具有非常重要的地位——不可对角化的线性变换能得到的最简单的矩阵表示就是由多个若当块矩阵构成的，因此得到这一矩阵形式将是我们未来讨论的一大目标，这也同时宣告了将对角化作为终极目标的失败.
 
 \subsection{对角化问题的一般解法}
 
 在得到线性变换和矩阵可对角化的充要条件后，我们关心如何求解一个可对角化的线性变换和矩阵对应的对角矩阵，以及解出
 \begin{enumerate}
-    \item $\sigma$在何组基下的矩阵是对角矩阵；
+    \item $\sigma$ 在何组基下的矩阵是对角矩阵；
 
-    \item 什么样的矩阵$P$使得$P^{-1}AP$是对角矩阵.
+    \item 什么样的矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 是对角矩阵.
 \end{enumerate}
 
 我们将分别进行讨论. 我们先讨论矩阵的情况. 我们已知$A$可对角化，那么存在可逆矩阵$P$使得$P^{-1}AP$是对角矩阵. 为了求解出$P$，将$P^{-1}AP=\varLambda$变形为$AP=P\varLambda$，并将矩阵$P$按列分块为$P=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$，则有

讲义/专题/24 多重线性映射与张量的计算.tex

@@ -15,7 +15,7 @@ \section{多重线性映射}
 
 注意，我们在记号中的最后一项用的是分号而不是逗号，其目的就是区分目标线性空间和源线性空间. 这里首先要注意到的一点是，$\mathcal{L}(V_1 \times V_2 \times \cdots \times V_n, W)$ 和 $\mathcal{L}(V_1, V_2, \cdots, V_n; W)$ 是完全不同的. 为了理解这点，我们需要注意到 $V_1 \times V_2$ 中的数乘操作是对 $(v_1,v_2) \in V_1 \times V_2$ 中的每个分量都加以数乘，而多重线性映射的数乘是可以单独作用在任意一个分量上的，请看下面的一个例子：
 
-\begin{example}
+\begin{example}{}{}
     考虑 $V_1 = V_2 = W = \R$. 考虑映射：
     \[
     f(a, b) = ab

讲义/专题/8 相抵标准形.tex

@@ -844,7 +844,9 @@ \section{相抵标准形的应用}
 
 我们简要解释$P_1$列满秩的原因，$Q_1$行满秩类似不再赘述. 由于$\begin{pmatrix}
         E_r \\ O
-    \end{pmatrix}$是$s\times r$矩阵，且秩为$r$，列满秩. $P$可逆且为$s\times s$矩阵，因此$P_1$仍然是$s\times r$矩阵. 由于可逆矩阵可以写成若干初等矩阵乘积，初等变换不改变矩阵的秩，故$r(P)=r(P_1)=r$，又矩阵列秩=秩，故$P_1$列满秩.
+    \end{pmatrix}$是$s\times r$矩阵，且秩为$r$，列满秩. $P$可逆且为$s\times s$矩阵，因此$P_1$仍然是$s\times r$矩阵. 由于可逆矩阵可以写成若干初等矩阵乘积，初等变换不改变矩阵的秩，故$r(P_1)=r\begin{pmatrix}
+        E_r \\ O
+    \end{pmatrix}=r$，又矩阵列秩=秩，故$P_1$列满秩.
 
 接下来我们来看一个例子进行应用，在介绍这一例子前我们需要首先引入一个概念，即矩阵的迹：
 \begin{definition}{迹}{迹} \index{ji@迹 (trace)}
@@ -1073,7 +1075,7 @@ \section{相抵标准形的应用}
             满足 $ |A| = 1 + (-1)^{n + 1} = 2 $，所以 $ A $ 可逆. 根据教材命题 3.10.3 可得 $ \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n $ 与 $ \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n $ 等价. 当然，这说明 $ \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n $ 线性无关的充要条件是 $ \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n $ 线性无关.
         \end{answer}
 
-        \item 设$B=\{\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n\}$是实数域$\mathbf{R}$上的线性空间$V$的一组基，$T \in \mathcal{L}(V),\enspace T(\beta_1)=\beta_2,T(\beta_2)=\beta_3,\ldots,T(\beta_{n-1})=T(\beta_n),T(\beta_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i\beta_i(a_i \in \mathbf{R})$，求$T$关于基$B$的表示矩阵，并求在什么条件下$T$是同构映射.
+        \item 设$B=\{\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n\}$是实数域$\mathbf{R}$上的线性空间$V$的一组基，$T \in \mathcal{L}(V),\enspace T(\beta_1)=\beta_2,T(\beta_2)=\beta_3,\ldots,T(\beta_{n-1}) = \beta_n,T(\beta_n)=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}a_i\beta_i(a_i \in \mathbf{R})$，求$T$关于基$B$的表示矩阵，并求在什么条件下$T$是同构映射.
         \begin{answer}
             $ T(\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n) = (\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_n)A $，其中
             \[ A = \begin{pmatrix}