Add 1134

md/1134.md

@@ -0,0 +1,91 @@
+ข้อนี้ให้ค่า $A,B,C,D,E,F,G,H$ และกำหนด $a_1=A, a_2=B,a_3=C,a_4=D$ และ $a_k = F a_{k-1} + E a_{k-2} + G a_{k-3} + H a_{k-4}$
+
+จากนั้นให้ $Q\leq 200000$ คำถาม ในแต่ละคำถามให้หาค่า $a_N$ สำหรับ $N\leq 10^{18}$
+
+### เคส $ N \leq 1000000$
+
+ในเคสนี้สามารถคำนวณ $a_5, a_6, \dots, a_{1000000}$ ไว้ก่อนโดยใช้ recurrence ที่โจทย์กำหนดและเก็บมาตอบคำถาม $Q$ ข้อ
+
+การตอบคำถามจะใช้เวลาเพียง $\mathcal{O}(1)$ และการคำนวณแต่ละ $a_k = Fa_{k-1} + E a_{k-2} + Ga_{k-3} +H a_{k-4}$ ใข้ $\mathcal{O}(1)$ สำหรับแต่ละ $k$ เช่นกันซึ่งต้องทำ 1000000 ครั้ง จึงเร็วเพียงพอสำหรับเคสนี้
+
+### เคส $Q \leq 2000$
+
+สำหรับเคสนี้สามารถสังเกต
+
+$\begin{bmatrix}\ a_k \\\ a_{k-1} \\\ a_{k-2} \\\ a_{k-3} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} E & F & G & H \\ 1 &  0 &  0 &  0 \\ 0 &  1 &  0 &  0 \\ 0 &  0 &  1 &  0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\ a_{k-1} \\\ a_{k-2} \\\ a_{k-3} \\\ a_{k-4} \end{bmatrix}$
+
+ให้ $A = \begin{bmatrix} E & F & G & H \\ 1 &  0 &  0 &  0 \\ 0 &  1 &  0 &  0 \\ 0 &  0 &  1 &  0 \end{bmatrix} $ จะได้ว่า $\begin{bmatrix} \ a_k \\\ a_{k-1} \\\ a_{k-2} \\\ a_{k-3} \end{bmatrix}= A \begin{bmatrix}\ a_{k-1} \\\ a_{k-2} \\\ a_{k-3} \\\ a_{k-4} \end{bmatrix}$ 
+
+สังเกตว่า 
+
+ $\begin{bmatrix} \ a_N \\\ a_{N-1} \\\ a_{N-2} \\\ a_{N-3} \end{bmatrix}= A\begin{bmatrix}\ a_{N-1} \\\ a_{N-2} \\\ a_{N-3} \\\ a_{N-4} \end{bmatrix} = A^2 \begin{bmatrix}\ a_{N-2} \\\ a_{N-3} \\\ a_{N-4} \\\ a_{N-5} \end{bmatrix} = \dots  = A^{N-4} \begin{bmatrix} \ a_{4}\\\ a_{3}\\\ a_{2}\\\ a_{1}\end{bmatrix} = A^{N-4} \begin{bmatrix} \ D \\\ C\\\ B \\\ A \end{bmatrix}$
+
+หากใช้ Matrix Exponentiation จะทำให้คำนวณ $A^{N-4}$ ได้ในเวลา $\mathcal{O}(M \log N)$ เมื่อ $M$ คือเวลาที่ใช้ในการทำ Matrix Multiplication หนึ่งรอบ หากใช้วิธีปกติจะเป็น $\mathcal{O}(r^3)$ สำหรับ Matrix ขนาด $r\times r$ ($r=4$)
+
+เมื่อทำสำหรับทุกคำถามจะเป็น $\mathcal{O}(Q r^3 \log N)$ ซึ่งเร็วพอสำหรับ $Q \leq 2000$ แต่อาจช้าไปสำหรับเคสที่ใหญ่กว่านั้น
+
+#### Matrix Multiplication
+
+วิธี Matrix Exponentiation เริ่มจากการสังเกตว่าหาก $N = (b_{\lfloor \log N \rfloor } b_{\lfloor \log N \rfloor -1} \dots b_0)_2$ นั่นคือ $N$ มี Binary Representation (การแทนแบบฐานสอง) เป็น $b_{\lfloor \log N \rfloor } b_{\lfloor \log N \rfloor -1} \dots b_0$ จะได้ว่า $N = 2^{\lfloor \log N \rfloor}{b_{\lfloor \log N \rfloor }}  + 2^{\lfloor \log N \rfloor -1}{b_{\lfloor \log N \rfloor -1}} + \dots +  2^0{b_0}$ 
+
+ซึ่งทำให้ได้ว่า $A^N = A^{2^{\lfloor \log N \rfloor}{b_{\lfloor \log N \rfloor }} }A^{2^{\lfloor \log N \rfloor -1}{b_{\lfloor \log N \rfloor -1}}} \dots A^{2^0{b_0}} $
+
+เช่นถ้า $N= 13 = 1101_2 $ ก็จะได้ $A^{13} = A^{2^3 \times 1}  A^{2^2 \times 1}  A^{2^1 \times 0} A^{2^0 \times 1} = A^8 A^4 A^1$
+
+สังเกตว่า $A^{2^i}$ คำนวณได้จาก $A^{2^{i}} = A^{2^{i-1}}  A^{2^{i-1}} $ ดังนั้นการคำนวณ $A^{2^{i}}$ สำหรัรบทุก $i$ ตั้งแต่ $1$ ถึง $\lfloor \log N \rfloor$ จะใช้เวลา $\mathcal{O}(r^3 \log N ) $ ดังนั้นการคำนวณ $A^N$ เพียงต้องเลือกเฉพาะค่า $i$ ที่ $b_i = 1$ ใน Binary Represenation ของ $N$ มาคูณกัน ซึ่งใช้เวลา $\mathcal{O}(r^3 \log N)$ เช่นกัน 
+
+##### ตัวอย่างการเขียน Matrix Exponentiation
+
+เริ่มด้วย Function MUL(X,Y,R) สำหรับการทำ Matrix Multiplication เพื่อแก้ค่า $R$ ให้เป็น $X Y$ 
+
+```cpp
+void mul(int X[4][4], int Y[4][4], int R[4][4]) {
+  int M[4][4] = {};
+  for (int r = 0; r < 4; r++)
+    for (int c = 0; c < 4; c++)
+      for (int k = 0; k < 4; k++)
+        M[r][c] += X[r][k] * Y[k][c];
+
+  for (int r = 0; r < 4; r++)
+    for (int c = 0; c < 4; c++)
+      R[r][c] = M[r][c];
+}
+```
+
+ในการคำนวณ $A^N$ เราจะไล่ตั้งแต่ $i=0$ ถึง $i=\lfloor \log N \rfloor $ และหา $A^{2^i}$ โดย สำหรับ $i=0$ จะเอาค่าจาก $A$ มาโดยตรง ส่วนสำหรับ $i \geq 1$ จำใช้ $A^{2^i} = A^{2^{i-1}} A^{2^{i-1}}$ ดังที่อธิบายไว้ ส่วนการคำนวณ ผลลัพท์จะเริ่มจากตั้ง $C = I$ (เมทริกซ์เอกลักษณ์) และแก้เป็น $C = A^{2^i}$ เมื่อเลขตัวที่ $b_i = 1$ ซึ่งสามารถตรวจสอบโดยใช้ bit operation เพราะ $b_i = 1$ เมื่อ $(1LL<<i) \& N \neq 0$ ($(1LL<<i) $ คือการ shift 1 มาด้านซ้าย $i$ รอบ ถ้า $\&$ กับ $N$ และได้ค่าที่ไม่ใช่ 0 แสดงว่า bit นี้ใน $N$ เป็น 1)
+
+```cpp
+void exp(int A[4][4], long long N, int result[4][4]) {
+  int A_pow_2[65][4][4];
+  int C[4][4] = {1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1};
+  for (int b = 0; (1LL << b) <= N; b++) {
+    if (b == 0) {
+      for (int r = 0; r < 4; r++)
+        for (int c = 0; c < 4; c++)
+          A_pow_2[b][r][c] = A[r][c];
+    } else {
+      mul(A_pow_2[b - 1], A_pow_2[b - 1], A_pow_2[b]);
+    }
+
+    if ((1LL << b) & N)
+      mul(A_pow_2[b], C, C);
+  }
+
+  for (int r = 0; r < 4; r++)
+    for (int c = 0; c < 4; c++)
+      result[r][c] = C[r][c];
+  return;
+}
+```
+
+### เคส $Q \leq 200000$ 
+
+สำหรับเคสสุดท้ายสังเกตว่าในแต่ละ Test Case ค่า $A,B,C,D,E,F,G,H$ จะไม่เปลี่ยน ดังนั้นเราสามารถคำนวณ $A^0, A^1, \dots, A^{\lfloor \log 10^{18} \rfloor}$ ไว้ล่วงหน้า โดยใช้เวลา $\mathcal{O}(r^3 \log N)$
+
+ตอนคำนวณคำตอบแต่ละ $N$ เมื่อให้ $N -4 = (b_{\lfloor \log N \rfloor } b_{\lfloor \log N \rfloor -1} \dots b_0)_2$
+เราสามารถคำนวณเป็น $(A^{2^{\lfloor \log N \rfloor}{b_{\lfloor \log N \rfloor }} }(A^{2^{\lfloor \log N \rfloor -1}{b_{\lfloor \log N \rfloor -1}}} (\dots (A^{2^0{b_0}}  \begin{bmatrix} \ D \\\ C\\\ B \\\ A \end{bmatrix}) \dots )  ) )$ นั่นคือในการคูณจะคูณด้านหลังสุดก่อนเพื่อให้เป็นการคูณ Matrix $r \times r$ กับ Vector $ r \times 1$ ซึ่งทำให้เวลาในการคูณเหลือ $\mathcal{O}(r^2)$ แทนที่จะเป็น $\mathcal{O}(r^3)$ ในแต่ละรอบการคูณ 
+
+การตอบคำถามสำหรับ $N$ ค่าหนึ่งจึงใช้เวลา $\mathcal{O}(r^2 \log N)$ 
+
+ดังนั้นเวลาทั้งหมดที่ใช้คือ  $\mathcal{O}(r^3 \log N) + \mathcal{O}(Qr^2 \log N)$ ซึ่งเร็วเพียงพอสำหรับข้อนี้
+