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#156 Beckmann的Lambda
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@kanition
kanition committed Mar 7, 2025
1 parent 6a5179c commit a2846b6
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16 changes: 15 additions & 1 deletion bibliography.bib
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Expand Up @@ -5916,4 +5916,18 @@ @inproceedings{10.2312/egs.20011003
publisher = {Eurographics Association},
issn = {1017-4656},
doi = {/10.2312/egs.20011003}
}
}
@article{Heitz2018GGX,
author = {Eric Heitz},
title = {Sampling the GGX Distribution of Visible Normals},
year = {2018},
month = {11},
day = {30},
journal = {Journal of Computer Graphics Techniques (JCGT)},
volume = {7},
number = {4},
pages = {1-13},
url = {http://jcgt.org/published/0007/04/01/},
issn = {2331-7418}
}
6 changes: 3 additions & 3 deletions content/chap0804.tex
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Expand Up @@ -169,7 +169,9 @@ \subsection{微面分布函数}\label{sub:微面分布函数}
};
\end{lstlisting}

微面曲面的一个重要特性由分布函数$D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})$表示，
微面曲面的一个重要特性由分布函数$D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})$表示
\sidenote{译者注：微面模型涉及的数学推导较为复杂，因此原书直接介绍了一些理论结果（例如公式）。
如果读者想进一步了解其原理细节，可以参考笔者补充的\refsec{译者补充：微面模型相关推导}。}，
它给出了曲面法线为${\bm\omega}_{\mathrm{h}}$的微面的微分面积
（回想\reffig{8.12}展示了曲面的粗糙度是怎样和微面法线分布函数相联系的）。
在pbrt中，微面分布函数和\refvar{BxDF}{}在相同的BSDF坐标系下定义；
Expand Down Expand Up @@ -233,8 +235,6 @@ \subsection{微面分布函数}\label{sub:微面分布函数}
而$y$轴的为$\alpha_y$，则中间朝向的$\alpha$值可用通过这些值构造的椭圆来插值。

对应的各向异性微面分布函数为
\sidenote{译者注：\refsec{译者补充：微面模型相关推导}，
给出了本节微面分布模型满足规范性的证明。}
\begin{align}\label{eq:8.10}
D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})=\frac{\mathrm{e}^{-\left(\frac{\cos^2\varphi_{\mathrm{h}}}{\alpha_x^2}+\frac{\sin^2\varphi_{\mathrm{h}}}{\alpha_y^2}\right)\tan^2\theta_{\mathrm{h}}}}{\pi\alpha_x\alpha_y\cos^4\theta_{\mathrm{h}}}\, .
\end{align}
Expand Down
96 changes: 62 additions & 34 deletions content/chap08ex01.tex
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Expand Up @@ -590,10 +590,10 @@ \subsubsection*{Smith微面}
设它在直角坐标系下和球面坐标系下具体的分量为
\begin{align}
{\bm\omega}_{\mathrm{h}}=(x_{\mathrm{h}},y_{\mathrm{h}},z_{\mathrm{h}})
=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)\, ,
=(\sin\theta_{\mathrm{h}}\cos\varphi_{\mathrm{h}},\sin\theta_{\mathrm{h}}\sin\varphi_{\mathrm{h}},\cos\theta_{\mathrm{h}})\, ,
\end{align}
其中$\theta$为天顶角（即${\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}}=\cos\theta$），
$\varphi$为方位角
其中$\theta_{\mathrm{h}}$为天顶角（即${\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}}=\cos\theta_{\mathrm{h}}$），
$\varphi_{\mathrm{h}}$为方位角
\sidenote{参见\reffig{5.ex01}。}；则该处附近的面元可以近似为以下平面
\begin{align}
x_{\mathrm{h}}x+y_{\mathrm{h}}y+z_{\mathrm{h}}z=C\, .
Expand All @@ -608,7 +608,7 @@ \subsubsection*{Smith微面}
{\bm s}({\bm\omega}_{\mathrm{h}})=(x_s,y_s)
=\left(-\frac{x_{\mathrm{h}}}{z_{\mathrm{h}}},
-\frac{y_{\mathrm{h}}}{z_{\mathrm{h}}}\right)
=-\tan\theta(\cos\varphi,\sin\varphi)
=-\tan\theta_{\mathrm{h}}(\cos\varphi_{\mathrm{h}},\sin\varphi_{\mathrm{h}})
\end{align}
为曲面在该处的斜率
\sidenote{原文slope，这里作者想表达的是$z$对$x$和$y$的偏导数，
Expand All @@ -626,35 +626,35 @@ \subsubsection*{Smith微面}
公式\sidenote{见第\refsec{球体}。}，有
\begin{align}\label{eq:08-ex01-D_sphere}
D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}
=D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\sin\theta\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi\, .
=D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\sin\theta_{\mathrm{h}}\mathrm{d}\theta_{\mathrm{h}}\mathrm{d}\varphi_{\mathrm{h}}\, .
\end{align}
斜率分布方面，其积分也有换元关系
\sidenote{这是微积分中常用的换元方法，此处我们不探究其使用条件，读者可参考相关教材。}
\begin{align}\label{eq:08-ex01-Pxy-Jacobian}
P_{xy}(x_s,y_s)\mathrm{d}x_s\mathrm{d}y_s
=P_{xy}(x_s,y_s)|J|\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi\, ,
=P_{xy}(x_s,y_s)|J|\mathrm{d}\theta_{\mathrm{h}}\mathrm{d}\varphi_{\mathrm{h}}\, ,
\end{align}
其中$J$为$(x_s,y_s)$对参数$(\theta,\varphi)$的雅可比矩阵
其中$J$为$(x_s,y_s)$对参数$(\theta_{\mathrm{h}},\varphi_{\mathrm{h}})$的雅可比矩阵
\begin{align}
J=\displaystyle\frac{\partial(x_s,y_s)}{\partial(\theta,\varphi)}
J=\displaystyle\frac{\partial(x_s,y_s)}{\partial(\theta_{\mathrm{h}},\varphi_{\mathrm{h}})}
=\displaystyle\left[\begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{\partial x_s}{\partial \theta} &
\displaystyle\frac{\partial x_s}{\partial \varphi} \\
\displaystyle\frac{\partial y_s}{\partial \theta} &
\displaystyle\frac{\partial y_s}{\partial \varphi}
\displaystyle\frac{\partial x_s}{\partial \theta_{\mathrm{h}}} &
\displaystyle\frac{\partial x_s}{\partial \varphi_{\mathrm{h}}} \\
\displaystyle\frac{\partial y_s}{\partial \theta_{\mathrm{h}}} &
\displaystyle\frac{\partial y_s}{\partial \varphi_{\mathrm{h}}}
\end{array}\right]
=\displaystyle\left[\begin{array}{rr}
\displaystyle -\frac{\cos\varphi}{\cos^2\theta} &
\displaystyle \tan\theta\sin\varphi \\
\displaystyle -\frac{\sin\varphi}{\cos^2\theta} &
\displaystyle -\tan\theta\cos\varphi
\displaystyle -\frac{\cos\varphi_{\mathrm{h}}}{\cos^2\theta_{\mathrm{h}}} &
\displaystyle \tan\theta_{\mathrm{h}}\sin\varphi_{\mathrm{h}} \\
\displaystyle -\frac{\sin\varphi_{\mathrm{h}}}{\cos^2\theta_{\mathrm{h}}} &
\displaystyle -\tan\theta_{\mathrm{h}}\cos\varphi_{\mathrm{h}}
\end{array}\right]\, ,
\end{align}
于是雅可比行列式为
\begin{align}\label{eq:08-ex01-Jacobian-slope-normals}
|J|=\left(\frac{\partial x_s}{\partial \theta}\frac{\partial y_s}{\partial \varphi}
-\frac{\partial x_s}{\partial \varphi}\frac{\partial y_s}{\partial \theta}\right)
=\frac{\tan\theta}{\cos^2\theta}\, .
|J|=\left(\frac{\partial x_s}{\partial \theta_{\mathrm{h}}}\frac{\partial y_s}{\partial \varphi_{\mathrm{h}}}
-\frac{\partial x_s}{\partial \varphi_{\mathrm{h}}}\frac{\partial y_s}{\partial \theta_{\mathrm{h}}}\right)
=\frac{\tan\theta_{\mathrm{h}}}{\cos^2\theta_{\mathrm{h}}}\, .
\end{align}
注意到$P_{xy}({\bm s})$应满足规范化约束，
即它在$x_s\in(-\infty,+\infty),y_s\in(-\infty,+\infty)$范围内非负，且有
Expand All @@ -665,17 +665,17 @@ \subsubsection*{Smith微面}
将上式和\refeq{08ex01-McrofacetDistributionNormalization}比对，可得
\begin{align}\label{eq:08-ex01-P2D}
P_{xy}(x_s,y_s)\mathrm{d}x_s\mathrm{d}y_s=
D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\cos\theta\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\, .
D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\cos\theta_{\mathrm{h}}\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\, .
\end{align}
联立\refeq{08-ex01-D_sphere}、\refeq{08-ex01-Pxy-Jacobian}和\refeq{08-ex01-P2D}可得
\begin{align}
P_{xy}(x_s,y_s)|J|\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi
=D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\sin\theta\cos\theta\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi\, ,
P_{xy}(x_s,y_s)|J|\mathrm{d}\theta_{\mathrm{h}}\mathrm{d}\varphi_{\mathrm{h}}
=D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\sin\theta_{\mathrm{h}}\cos\theta_{\mathrm{h}}\mathrm{d}\theta_{\mathrm{h}}\mathrm{d}\varphi_{\mathrm{h}}\, ,
\end{align}
代入\refeq{08-ex01-Jacobian-slope-normals}后可知斜率分布与法线分布的关系为
\begin{align}\label{eq:08-ex01-relation-P2D-McrofacetDistribution}
P_{xy}(x_s,y_s)=\frac{1}{|J|}D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\sin\theta\cos\theta
=D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\cos^4\theta\, .
P_{xy}(x_s,y_s)=\frac{1}{|J|}D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\sin\theta_{\mathrm{h}}\cos\theta_{\mathrm{h}}
=D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\cos^4\theta_{\mathrm{h}}\, .
\end{align}

利用前面的结果，我们尝试将积分域从法线分布空间转化到斜率分布空间。
Expand All @@ -696,7 +696,7 @@ \subsubsection*{Smith微面}
& \int\limits_{\varOmega}\max({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}},0)
D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\nonumber \\
= & \int\limits_{\varOmega}\frac{\max({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}},0)}
{\cos\theta}D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\cos\theta\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\nonumber \\
{\cos\theta_{\mathrm{h}}}D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\cos\theta_{\mathrm{h}}\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\nonumber \\
= & \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}
\frac{\max({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}},0)}
{{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}}}
Expand All @@ -706,7 +706,7 @@ \subsubsection*{Smith微面}
\chi(-x_sx_{\mathrm{o}}-y_sy_{\mathrm{o}}+z_{\mathrm{o}})
P_{xy}(x_s,y_s)\mathrm{d}x_s\mathrm{d}y_s\, .
\end{align}
为了简化后续推导，这里我们不妨设出射方向${\bm\omega}_{\mathrm{o}}$的方位角$\varphi=0$，于是
为了简化后续推导，这里我们不妨设出射方向${\bm\omega}_{\mathrm{o}}$的方位角$\varphi_{\mathrm{o}}=0$，于是
\begin{align}
{\bm\omega}_{\mathrm{o}}=(\sin\theta_{\mathrm{o}},0,\cos\theta_{\mathrm{o}})\, .
\end{align}
Expand Down Expand Up @@ -824,7 +824,7 @@ \subsubsection*{Smith微面}
这是由描述曲面的统计模型和非自相关假设引起的。
现实中的连续曲面往往都有范围很宽的自相关函数。
但\citet{841905}表明忽略自相关性引发的误差仅在观察角度
满足$\tan\theta>\frac{\sqrt{2}}{2}\sigma$时
满足$\tan\theta_{\mathrm{o}}>\frac{\sqrt{2}}{2}\sigma$时
才足够明显（$\sigma^2$为斜率的方差），所以通常可以认为
Smith掩模函数可以较为准确地适用于自相关的曲面，
但具有重复性或结构化纹理的材料（例如布料）则不应在建模时忽视这种自相关性。
Expand Down Expand Up @@ -1172,10 +1172,10 @@ \subsection{掩模函数的拉伸不变性}\label{sub:掩模函数的拉伸不

\subsubsection*{各向同性斜率分布的形状不变性}
典型的各向同性参数化斜率分布依赖粗糙度参数$\alpha$，改变$\alpha$等价于拉伸分布而不改变其形状。
这种情形下，斜率分布只决定于斜率大小$\displaystyle\tan\theta=\sqrt{x_s^2+y_s^2}$（也即
微面法线天顶角正切值）与$\alpha$的比例$\displaystyle\frac{\tan\theta}{\alpha}$：
这种情形下，斜率分布只决定于斜率大小$\displaystyle\tan\theta_{\mathrm{h}}=\sqrt{x_s^2+y_s^2}$（也即
微面法线天顶角正切值）与$\alpha$的比例$\displaystyle\frac{\tan\theta_{\mathrm{h}}}{\alpha}$：
\begin{align}
P_{xy}(x_s,y_s,\alpha)=\frac{1}{\alpha^2}f\left(\frac{\sqrt{x_s^2+y_s^2}}{\alpha}\right)=\frac{1}{\alpha^2}f\left(\frac{\tan\theta}{\alpha}\right)\, ,
P_{xy}(x_s,y_s,\alpha)=\frac{1}{\alpha^2}f\left(\frac{\sqrt{x_s^2+y_s^2}}{\alpha}\right)=\frac{1}{\alpha^2}f\left(\frac{\tan\theta_{\mathrm{h}}}{\alpha}\right)\, ,
\end{align}
其中$f$是定义分布形状的一维函数。这样的斜率分布具有\keyindex{形状不变性}{shape invariant}{}：对于任意系数$\lambda>0$，
\begin{align}
Expand All @@ -1189,18 +1189,18 @@ \subsubsection*{各向同性斜率分布的形状不变性}
且不会改变光线遮挡关系，所以掩模函数只决定于二者的比值
即$\displaystyle a=\frac{1}{\alpha\tan\theta_{\mathrm{o}}}$.
这也是为什么具有形状不变性的Beckmann-Spizzichino模型和GGX模型各自对应的函数$\Lambda$都只依赖于$a$的原因。
具体而言，对于Beckmann-Spizzichino模型，其斜率分布为
具体而言，对于Beckmann-Spizzichino模型\citep{1987BeckmannSpizzichino}，其斜率分布为
\begin{align}
P_{xy}(x_s,y_s,\alpha)=\frac{1}{\pi\alpha^2}\exp\left(-\frac{x_s^2+y_s^2}{\alpha^2}\right)\, .
\end{align}
将其带入\refeq{08-ex01-relation-P2D-McrofacetDistribution}，
并取正向的法线\sidenote{回顾\refeq{08-ex01-normals-by-slope}的批注。}，可得
\begin{align}
D({\bm\omega}_{\mathrm{h}},\alpha)=\frac{\chi({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}})}
{\pi\alpha^2\cos^4\theta}\exp\left(-\frac{\tan^2\theta}{\alpha^2}\right)\, .
{\pi\alpha^2\cos^4\theta_{\mathrm{h}}}\exp\left(-\frac{\tan^2\theta_{\mathrm{h}}}{\alpha^2}\right)\, .
\end{align}
最后结合\refeq{08-ex01-condition-1d-slope}和\refeq{08-ex01-Lambda-function}，得到
\begin{align}
\begin{align}\label{eq:08-ex01-Beckmann-Lambda}
\Lambda({\bm\omega}_{\mathrm{o}},\alpha)= &\frac{1}{\cot\theta_{\mathrm{o}}}
\int_{\cot\theta_{\mathrm{o}}}^{+\infty}(x_s-\cot\theta_{\mathrm{o}})P_x(x_s)\mathrm{d}x_s\nonumber \\
=&\frac{1}{\cot\theta_{\mathrm{o}}}\int_{\cot\theta_{\mathrm{o}}}^{+\infty}
Expand Down Expand Up @@ -1228,7 +1228,35 @@ \subsubsection*{各向同性斜率分布的形状不变性}
\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}-\frac{\sqrt{\pi}}{2}\mathrm{erf}(a)\right)\nonumber\\
=&\frac{1}{2}\left(\mathrm{erf}(a)-1+\frac{\mathrm{e}^{-a^2}}{\sqrt{\pi}a}\right)\, ,
\end{align}
其中误差函数$\displaystyle\mathrm{erf}(a)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{a}\mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{d}x$.
其中使用了误差函数$\displaystyle\mathrm{erf}(a)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{a}\mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{d}x$.
由于该模型计算开销大，\citet{10.5555/2383847.2383874}提出了对其
掩模函数$G_1({\bm\omega}_{\mathrm{h}},{\bm\omega}_{\mathrm{o}})$进行简化近似计算的方法，
代入\refeq{08-ex01-Smith-masking-function}后相当于取
\begin{align}
\Lambda({\bm\omega}_{\mathrm{o}},\alpha)\approx\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{1-1.259a+0.396a^2}{3.535a+2.181a^2},\quad\text{若}a>1.6, \\
0,\quad\text{其他}.
\end{array}\right.
\end{align}

类似地，对于Trowbridge-Reitz模型\citep{Trowbridge:75}，
也称GGX分布\sidenote{根据\citet{Heitz2018GGX}的说法，
“GGX”表示“ground glass unknown”，未知的磨砂玻璃。}\citep{10.5555/2383847.2383874}，
其斜率分布和微面分布函数分别为
\begin{align}
P_{xy}(x_s,y_s,\alpha)=&\frac{1}{\displaystyle\pi\alpha^2\left(1+\frac{x_s^2+y_s^2}{\alpha^2}\right)^2}\, ,\\
D({\bm\omega}_{\mathrm{h}},\alpha)=&\frac{\chi({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}})}
{\displaystyle\pi\alpha^2\left(1+\frac{\tan^2\theta_{\mathrm{h}}}{\alpha^2}\right)^2\cos^4\theta_{\mathrm{h}}}\, .
\end{align}
仿照\refeq{08-ex01-Beckmann-Lambda}的推导，可得
\begin{align}\displaystyle
\Lambda({\bm\omega}_{\mathrm{o}},\alpha)=&\frac{1}{\cot\theta_{\mathrm{o}}}\int_{\cot\theta_{\mathrm{o}}}^{+\infty}
(x_s-\cot\theta_{\mathrm{o}})\left(\int_{-\infty}^{+\infty}
\frac{1}{\displaystyle\pi\alpha^2\left(1+\frac{x_s^2+y_s^2}{\alpha^2}\right)^2}\mathrm{d}y_s\right)\mathrm{d}x_s\nonumber \\
=&\frac{1}{\cot\theta_{\mathrm{o}}}\int_{\cot\theta_{\mathrm{o}}}^{+\infty}
(x_s-\cot\theta_{\mathrm{o}})
\end{align}

\subsection{典型微面分布函数的规范性证明}\label{sub:典型微面分布函数的规范性证明}
本节补充了\refeq{8.10}和\refeq{8.11}所给的
微面分布函数$D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})$满足规范性要求的证明，即证明
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