排列熵 Permutation Entropy

排列熵(Permutation Entropy, PE)算法是 Bandt, Pompe(2001) 提出的一种度量时间序列复杂性的方法，它首先通过相空间重构以及子序列排序提取序列模式的概率分布，再根据概率分布计算出这段时间序列的熵值。

相空间重构

假设有一段长度为的非线性系统的离散时间序列，我们希望从这段时间序列中提取信息，比如信号的复杂程度，这时候就需要对时间序列进行相空间重构。
Packard et al. (1980) 对于时间序列的相空间重构，提出了两种重构方法，分别是导数重构法和坐标延迟重构法，这里采用的是坐标延迟法。使用坐标延迟法对相空间重构涉及到两个参数，一个是嵌入维度(Embedding Dimension) ，它控制生成的列向量的维度；另一个是延迟时间(Delay Time) ，它控制子序列的采样间隔，比如当 =1 时，即是连续取点；当 =2 时，即是间隔1个数取值。选定好参数 和 以后，可以得到一个矩阵：

其中。

排列熵计算

一维序列进行相空间重构后可以得到一个的矩阵，对矩阵行分块，分为个行向量，第行的向量称为。
在内部进行排序，使得：

由此可得到一个序列，表示已好排序的新数组内的元素原本在内的索引且。【注：这个操作类似于numpy.argsort(arr)，将数组内的元素进行排序然后返回各个数据的索引，但是在Python里面索引范围是0~len(arr)-1】
1~，共个数，可有种排列(permutation)，将这些排列按照字典序排序，然后编号为。统计序号向量组中的频数，再计算出每一个排列出现的概率。
最后再根据香农熵(Shannon Entropy)的定义计算出排列熵：

为了方便，可以将进行归一化处理，即：

的大小表示时间序列的随机程度。的值越小，说明时间序列越规律；反之，则时间序列越接近随机。的变化反映并放大了时间序列的微小细节变化。

使用排列熵进行信号分析

由于心电信号的时间序列一般十分庞大，比如10秒的时间得到了2500个甚至3600个采样数据，在MIT-BIH的数据库里，有的记录时长甚至达到了24小时。因此，分析这些序列需要截短分段分析，将长度为 的心电信号长时间序列分为若干长度为 的子序列。这些子序列的截取相互之间可以重叠也可以不重叠。若截取片段的步长为1（也就是向后移动一位得到下一个子序列），这样可以得到的子序列个数为 ，然后再分别求每一段子序列的排列熵，最后将排列熵的图像画出。

不同类型信号的对比

下面是正常的窦性心律： 下面是心室颤动： 可以看到，心室颤动的排列熵曲线震荡幅度较大，排列熵值总体还有向下走的趋势。心室颤动的平均熵值比正常窦性心律要小，说明正常的心电信号的复杂程度比较高。
下面这张图是突发的信号突变，在下面的图中可以看到突变的位置熵值有一定程度地变大。

不同的对比

此处对的取值进行研究，令，绘制出对应的排列熵曲线，进行比较。
下面是ω=50： 下面是ω=200： 下面是ω=500： 从图中可以看到，随着的增大，排列熵曲线的震荡幅度逐渐收窄。