Documentação teórica do software

1 MODELAGEM MATEMÁTICA

Neste capitulo é apresentada a modelagem matemática para o problema da sedimentação de adensantes em batelada baseada na mecânica do contínuo. Consideram-se as equações de balanço de massa e quantidade de movimento para um sistema com constituintes sólido e líquido de uma suspensão, acopladas a um conjunto de equações constitutivas que descrevem a pressão de sólidos, a permeabilidade do meio, a função de esfericidade e a força resistiva.

1.1 Modelo representativo da sedimentação:

Um modelo matemático alternativo para a sedimentação em batelada é proposto neste trabalho, através da combinação dos conceitos de d’Ávila (1978), com conceitos matemáticos utilizados por Burger e Concha (1998). Considerando escoamento unidimensional na direção 𝑧 e que a densidade dos sólidos (𝜌𝑠) é constante, as equações de balanço de massa e quantidade de movimento para a fase sólida são apresentadas:

(1)

(2)

onde 𝜀𝑠, t, vs e z são, respectivamente, a concentração (ou fração) volumétrica, o tempo, a velocidade dos sólidos e à posição axial na coluna de sedimentação, enquanto Ts, m, ρf e g referem-se, respectivamente a tensão nos sólidos, a força resistiva, a densidade do líquido e a aceleração gravitacional.

1.1.1 Equações constitutivas:

Equações constitutivas para representar a Pressão nos sólidos (Ps), força resistiva (m), a permeabilidade do meio (K) , modelo reológico e a esfericidade (θ) são necessárias.

1.1.1.1 Pressão nos sólidos:

De acordo com o Teorema 1 de D’Ávila e Sampaio (1977), a tensão total pode ser entendida como a pressão nos sólidos:

(3)

A pressão nos sólidos é função somente da concentração local da suspensão, e por isso pode ser dado pela seguinte equação (ROCHA et.al, 2020) :

(4)

Onde K é a permeabilidade do meio poroso, ρsusp é a densidade da suspensão e vf é a velocidade do fluido. Neste conjunto de equações, Pref é uma pressão de referência nos sólidos para dada concentração εref, calculada através da Equação (5):

(5)

em que β e Pest são parâmetros do modelo empírico a serem estimados.

1.1.1.2 Força resistiva:

Com base no modelo de interação sólido-líquido de Telles e Massarani (1979), combinado com o conceito de viscosidade global de uma mistura de Burger (2000), Rocha et al.(2020) propôs uma forma para a força resistiva com base na taxa de cisalhamento característica γc e tensão cisalhante τc :

(6)

1.1.1.3 Permeabilidade:

A equação para permeabilidade utilizada possui respaldo teórico baseada na equação de Kozeny-Carman (CARMAN, 1937), que demostra a dependência da permeabilidade com o tamanho das partículas sólidas (Rocha et al,2020):

(7)

K0 e Λ são parâmetros estimados numericamente, εsm trata-se da concentração máxima e dp é o diâmetro médio das partículas sólidas.

1.1.1.4 Modelo reológico

Comumente o fluido de perfuração apresenta propriedades pseudoplásticas, podendo satisfatoriamente ser previsto de forma mais simples pelo modelo power-law (OSTWALD, 1925; WAELE, 1923):

(8)

onde η é o parâmetro índice de inconsistência e n é índice de comportamento do fluido.

1.1.1.5 Taxa de cisalhamento característica

Fazendo uso das informações fornecidas por Massarani e Telles (1978) e utilizando a expressão de restrição cinemática de D'Ávila (1978), a taxa de cisalhamento característica utilizada neste trabalho possui a seguinte forma:

(9)

onde θ é uma função da esfericidade ϕ.

1.1.1.6 Função Esfericidade

Laruccia (1990) propôs uma equação para a função da esfericidade θ(ϕ) a partir de experimentos com fluidos não-Newtonianos e partículas com esfericidade entre 0,5 e 1, obtendo a seguinte expressão:

(10)

1.1.2 Equações do Modelo e condições de contorno

Aplicando as equações constitutivas apresentadas anteriormente na equação da quantidade do movimento (2) e sabendo que os termos de aceleração e transporte convectivo para a fase sólida podem ser desconsiderados é possível obter uma expressão para a velocidade dos sólidos:

(11)

Logo o equacionamento para o modelo de sedimentação é composto pela a forma conservativa da equação da continuidade para sedimentação de adensantes Eq. (1) e pela equação da velocidade da fase sólida Eq. (11) e não possui uma solução analítica exata. Para um melhor entendimento, as equações serão novamente reproduzidas:

(1)

(11)

para resolução numérica do problema as equações constitutivas para pressão dos sólidos Ps Eq. (4), permeabilidade K Eq. (7) e a função esfericidade θ(ϕ) Eq. (10)devem ser inseridas na equação (11).

A figura 1 ilustra a representação do domínio físico e as condições de contorno para o processo de sedimentação de partículas ao longo de um canal vertical. As equações utilizadas são válidas para o domínio de 0 ≤ t ≤ tf e 0 ≤ z ≤ H0, sendo tf o tempo final da sedimentação e H0 a altura do canal.

Figura 1 - Detalhes do processo de sedimentação e suas condições de contorno.

As condições de contorno no canal são descritas matematicamente da seguinte forma:

Condição Inicial: (12)

1ª Condição de contorno: (13)

2ª Condição de contorno: (14)

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2 MODELAGEM NUMÉRICA

O presente capítulo tem a finalidade de esclarecer a metodologia numérica utilizada para a solução do problema discutido ao longo dos capítulos anteriores. Explicando de forma sucinta o método dos volumes finitos, a discretização do domínio e o procedimento de solução através dos métodos para interpolação das variáveis.

2.1 MÉTODO DOS VOLUMES FINITOS

Na literatura as equações que descrevem o processo de sedimentação, em sua grande maioria, possuem características hiperbólica, parabólica ou hiperbólica-parabólica (BURGER e CONCHA, 1998; BUGER, CONCHA E TILLER, 2000; ROCHA, 2020). Segundo Arouca (2007) e Rocha (2020), os resultados numéricos para problemas que envolvem as equações do tipo hiperbólica-parabólica tendem a ser mais eficientes quando os métodos das diferenças finitas (MDF) ou volumes finitos (MVF) são aplicados. Devido a escassez de trabalhos na literatura sobre sedimentação em batelada utilizando o MVF e a praticidade do método, o presente trabalho utiliza o método dos volumes finitos.

2.1.1 GERAÇÃO DE MALHA

O domínio da solução do problema é dividido em diversos volumes de controle (VC) entre as fronteiras (base e topo da coluna), como pode ser visto na Figura 2.Os valores dos parâmetros podem ser observados tanto nos pontos nodais (P, W, E) como nas faces (w, e), a fronteira da base e do topo possuem o fluxo de sólidos nulo devido a condição de contorno já apresentada. Por praticidade a malha utilizada é uniforme, de forma que as distancias entre os pontos nodais Δzw e Δze são iguais.

Figura 2 - Esquema de malha unidimensional.

2.1.2 DISCRETIZAÇÃO ESPACIAL E TEMPORAL

Para problemas 1D, a realização da discretização espacial pode ser feita integrando a equação governante de uma face a outra do volume de controle, por exemplo no nó central P:

(15)

Para discretização temporal primeiramente foi aplicado o Teorema do Valor Médio:

(16)

onde é o valor médio e é a aproximação no ponto P do volume de controle.

Substituindo a equação (16) na (15) e resolvendo a integração espacial, obtém-se a equação da continuidade discretizada no ponto P:

(17)

Nos volumes de controles localizados nas extremidades da coluna, ou seja, nas fronteiras, é aplicado as condições de contorno já mencionadas, obtendo as seguintes equações diferenciais:

, para x=0 (18)

, para x=1 (19)

Um esquema de interpolação análogo ao esquema upwind, que aproxima o valor da concentração ou fluxo sólido na face desconhecida para o valor do nó central do volume de controle adjacente à direita é utilizado para garantir o acúmulo de partículas sólidas no fundo da coluna, para melhor entendimento as equações ficam da seguinte forma:

(20)

O termo diferencial da concentração ao longo da coluna na equação da velocidade da fase sólida Eq. (11) também deve ser discretizado, aplicando o método das diferenças finita da seguinte forma:

(21)

logo, a equação da velocidade dos sólidos nas faces dos volumes de controles e e w são dadas, respectivamente, por:

(22)

(23)

Por fim, ao discretizar todos os termos independentes e inserir a equação da velocidade dentro da equação da continuidade é utilizado o método de Runge-kutta de 4ª ordem para obter dados da concentração e velocidade em cada intervalo de tempo.