Ejercicios faltantes P3

[yagopajarino]

• Ejercicio 4. Punto 2
• Ejercicio 28

[E-Liq]

Hola, en el Ejercicio 2 pusiste que hay 66 números que no son múltiplos de 3 ni de 5 (<= a 1000). Pero claramente no pueden haber tan pocos. Creo que el error resulta de calcular los que son múltiplos de 15, pero como sabrás, el 3 y el 5 pertenecen al conjunto respuesta (y no son múltiplos de 15).

La forma en la que la había resuelto yo comparte una lógica similar:
Partimos de que:
B = {n ∈ ℕ : n <= 1.000 y n no es múlt. de 3 ni de 5}
y un conjunto universal que voy a definir como:
V = {n ∈ ℕ : n <= 1.000}

Supuse que el conjunto referencial V menos el conjunto B (el que estamos intentando calcular su cardinal) es igual a un conjunto C (que va a ser el complemento de B). Es decir, V - B = C. De la misma forma, V - C = B. Así que si calculamos C y su cardinal, vamos a poder restarselo al cardinal de V y saber el cardinal de B.

Resumen:

1. Calculamos el complemento de B.
2. Se lo restamos a V.
3. Obtenemos B.

Para calcular el complemento de B (el que llamo C), quiero los números (los llamo 'm') menores a 1.000 que sean múltiplos de 3 o de 5. Por eso planteo 3 casos:
a) Si m es menor o igual a 1.000 y múltiplo de 3. De estos hacés 1.000/3 y sabes que hay 333 números que satisfacen.
b) Si m es menor o igual a 1.000 y múltiplo de 5. Acá hacés 1.000/5 y te sale que hay 200 núms. que satisfacen.
c) Si m es menor o igual a 1.000 y múltiplo de 3 y de 5 (es decir, de 15). Esto es lo mismo que hiciste, hay 66 núms (1.000/15).

En lo que diferimos es que yo hice la siguiente operación con lo que calculé arriba para calcular el cardinal del complemento de B:
a) + b) - c) *****
333 + 200 - 66 = 467

Entonces ahora sólo se lo restamos al cardinal de V y obtenemos el cardinal de B:}
1000 - 467 = 533

Conclusión: hay 533 núms <= 1.000 que no son múlts. de 3 ni de 5.

*****Por qué resto el c) ? Porque cuando contamos los núms. que son múlt. de 3 o de 5 estamos contando algunos núms. de forma repetida. Tomo el caso del 15, por ejemplo, en ambos casos lo tomo en cuenta pero es un caso que se repite. Así que cuento los núms. que son múlt. de 3 y 5 y los resto así me quedo con soluciones sin repetidos.
(No sé si me expliqué bien...).

[E-Liq]

Y en el 3.4.B. Pregunta 2. aquí va mi resolución:

Total de elementos en A = elementos sólo en A + elementos en la intersección A y B + elementos en la intersección A y C + elementos en la intersección A, B y C
63 = 30 + x + z + 7

Total de elementos en B = elementos sólo en B + elementos en la intersección A y B + elementos en la intersección B y C + elementos en la intersección A, B y C
30 = 13 + x + y + 7

Total de elementos en C = elementos sólo en C + elementos en la intersección A y C + elementos en la intersección B y C + elementos en la intersección A, B y C
50 = 25 + y + z + 7

Resolviendo las ecuaciones:

Desde la ecuación 2, despejamos y en función de x:

y = 10 - x

Desde la ecuación 3, despejamos z en función de y:

z = 18 - y
z = 18 - (10 - x)
z = 8 + x

Luego, reemplazamos los valores de y y z en la ecuación 1:

63 = 30 + x + (8 + x) + 7

Resolviendo para x:

x = 9

Luego, reemplazando en las ecuaciones 2 y 3:

y = 10 - 9 = 1
z = 8 + 9 = 17

Por lo tanto, el número de elementos en la intersección A y B es 9, en la intersección A y C es 17, en la intersección B y C es 1, y en la intersección A, B y C es 7.

Con esto también resuelves las otras preguntas que tiene el ejercicio.

En resumen:
Cuántos alumnos estudian exactamente dos idiomas?
Rta.:9+17+1= 27
¿Cuántos inglés y alemán pero no francés?
Rta.: 9
¿Cuántos no estudian ninguno de esos idiomas?
Rta.:110-102= 8

[yagopajarino]

Hola! Los revisé y concuerdo en ambos. En estos días estoy subiendo los cambios. Gracias :)

[yagopajarino]

Agregadas ambas correcciones. Gracias!!

[Sturm0]

Lo que marqué en rojo falta en la resolución
Habría que agregar ejercicio 13.ii.b a la lista de faltantes