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21. 理想和商环 |
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在上一讲中，我们介绍了环的基本概念和性质。本讲我们将深入讨论环中的理想和商环，这两个概念可以类比群论中的正规子群和商群。
理想是为了构造商环而被定义出来的，正如群论中的正规子群是为了构造商群被定义出来一样。因此，在介绍理想前，我们先回顾一下正规子群。
商群是陪集构成的群。对于群 $G$ 和子群 $H$，任意元素 $a,b \in G$，它们构造的陪集 $aH$ 和 $bH$ 之间的运算应该定义良好。我们需要 $(aH)(bH) = abH$，也就是子群 $H$ 满足 $aH = Ha$，这就是正规子群的定义。
而在环论中，商环是陪集构成的环，包含加法和乘法两个运算。对于环 $R$ 和它的理想 $I$，任意元素 $a,b \in R$，它们构造的陪集 $aI$ 和 $bI$ 的运算应该定义良好：
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加法定义良好: $(a + I) + (b+ I) = a+b + I$
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乘法定义良好: $(a + I) (b+ I) = ab + I$
由于 $(R, +)$ 构成Abel群，因此它的子群 $(I, +)$ 是正规子群，满足 $(a + I) + (b+ I) = a +b + I + I = a+b +I$，因此加法总是定义良好的。而要满足乘法定义良好，对于任意 $a,b \in R$，我们需要 $(a + I) (b+ I) = ab + aI + Ib + II = ab + I$，也就是 $aI$ 和 $bI$ 是 $I$ 的子集。换句话说，环中的任意元素乘理想中的元素，结果仍在理想中。
因此，我们需要让理想满足吸收律，即对于任意 $r \in R$ 和 $i \in I$，有 $ri \in I$（因为教程中我们只研究交换环， $ri \in I$ 也意味着 $ir \in I$，不然要分别定义左右理想）。
在（交换）环 $R$ 中，如果一个子集 $I$ 满足以下性质，那么 $I$ 被称为 $R$ 的理想：
- 加法群构成子群： $(I, +)$ 为 $R, +$ 的子群。
- 乘法吸收律：对于任意 $r \in R$ 和 $i \in I$，有 $ri \in I$。
有时，第一个条件也可以替换为子群的充要条件：对于任意 $a, b \in I$，有 $a - b \in I$。
举个例子，对于任意整数 $m$， $mZ$ 是整数环 $Z$ 的理想。这是因为：
- 加法: $(mZ, +)$ 是 $(Z, +)$ 的子群。
- 乘法: 对于任意 $a \in mZ$ 和 $z \in Z$，有 $az \in mZ$（az是m的倍数），满足乘法吸收律。
再举个例子，对于任意整数 $m$， $mZ_n$ 是整数模n环 $Z_n$ 的理想。这是因为：
- 加法: $(mZ_n, +)$ 是 $(Z_n, +)$ 的子群。
- 乘法: 对于任意 $a \in mZ_n$ 和 $z \in Z_n$，设 $a = mk$（k为整数），因此有 $az = mkz = m(kz) \in mZ$，满足乘法吸收律。
性质1. 零理想： $\set{0}$ 是任何环的理想，被称为零理想。
点我展开证明👀
$\set{0}$ 为零环，符合环的定义。 $\set{0} \subseteq R$ 且环 $R$ 任何元素乘以 $0$ 都等于 $0$。
性质2. 环 $R$ 是自身的理想。
点我展开证明👀
$R \subseteq R$。由于封闭性，环 $R$ 的元素相乘的结果仍属于环 $R$，因此满足乘法吸收律，是自身的理想。
$\set{0}$ 和 $R$ 本身也被称为环 $R$ 的平凡理想；除二者以外的理想被称为非平凡理想。
性质3. 若环 $R$ 的理想 $I$ 包含乘法单位元 $1$，那么 $I = R$。
点我展开证明👀
因为 $1 \in I$，因此任意 $r \in R$，有 $r \cdot 1= r \in I$，因此 $I = R$。
性质4. 理想 $I$ 包含零元 $0$，但不一定包含乘法单位元 $1$，因此不一定构成环。
点我展开证明👀
$0 \in R$，对于任意 $i \in I$，有 $0i = 0 \in I$，因此理想 $I$ 包含零元 $0$。
比如 $mZ_n$ 是整数模n环 $Z_n$ 的理想，但它不包含 $1$。因此，理想不一定包含乘法单位元 $1$。
理想满足环除了包含乘法单位元的其他性质，属于伪环。
性质5. 主理想：给定环 $R$ 和元素 $a \in R$，那么 $aR$ 为理想。我们称 $aR$ 为由 $a$ 生成的 $R$ 的主理想，记为 $(a)$。
点我展开证明👀
我们验证 $(a) = \set{ra | r \in R}$ 是否满足理想的性质：
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根据环的乘法封闭性，对于任意 $r \in R$，有 $ra \in R$，因此 $(a) \subseteq R$。
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加法构成子群：对于任意 $ra, r'a \in (a)$，有 $ra - r'a = (r-r')a \in (a)$，因此 $((a), +)$ 构成 $(R, +)$ 的子群。
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乘法吸收律：对于任意 $ra \in (a)$ 和 $r' \in R$，有 $r'ra = (r'r)a \in (a)$，因此 $(a)$ 满足乘法吸收律。
因此， $(a)$ 为 $R$ 的理想。
主理想是构造理想的最简单方法。举个例子，给定 $m \in Z$， $mZ$ 是整数环 $Z$ 的主理想。
商环和商群类似，定义了环的等价关系。我们先看一下它的定义：
设 $R$ 是一个环，$I$ 是 $R$ 的理想，我们称 $R/I = \set{a + I | a \in R}$ 为 $R$ 关于理想 $I$ 的商环。
根据理想的定义，商环的加法和乘法是定义良好的。
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加法运算：对于 $a,b \in R$，有 $(a + I) + (b + I) = (a + b) + I \in R$。
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乘法运算：对于 $a,b \in R$，有 $(a + I) \cdot (b + I) = ab + I \in R$。
我们容易验证商环满足环的基本性质。商环 $R/I$ 的零元为 $0 + I$，乘法单位元为 $1 + I$。
下面举个例子，考虑整数环 $\mathbb{Z}$ 和它的理想 $n\mathbb{Z}$（所有 $n$ 的整数倍）。商环记为 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$，它也等价于 $Z_n$，也就是整数模 $n$ 的剩余类环。其中，每个等价类由模 $n$ 同余的整数集合构成，零元为 $0$，单位元为 $1$。
与商群一样，我们可以在商环 $R/I$ 中定义同余关系（等价关系）：对于 $a, b \in R$，如果 $a - b \in I$，则称 $a$ 和 $b$ 在模 $I$ 下同余，记作 $a \equiv b \pmod{I}$。
这意味着 $I$ 中的元素在模运算下被视为相等。我们可以将 $R/I$ 中的元素看作是 $R$ 中在同余关系下等价的元素的等价类，这些等价类构成了商环 $R/I$。举个例子，元素 $a$ 构成的等价类 $[a] = \set{b \in R | b \equiv a \pmod{I}} = a + I$，表示在 $R$ 中与 $a$ 同余的元素集合。
还是用商环 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 为例，它等于 $\set{[0], [1], ... , [n-1]}$，其中元素分别代表与 $0, 1, ..., n-1$ 同余的整数集合。
这一讲，我们介绍了理想和商环。它们在环论中发挥着类似于正规子群和商群在群论中的作用，为研究环的结构提供了有力的工具。