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title: "Carateres de um grupo e a ordem generalizada"
number-sections: true
lang: pt-BR
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Neste projeto vamos ver como trabalhar com carateres de grupos e vamos resolver um problema relacionado com a ordem generalizada de elementos (veja o [artigo](https://link.springer.com/article/10.1007/s00013-023-01931-5) para a teoria mais detalhada).
## A ordem generalizada
:::{.problem}
Seja $G$ um grupo e $x\in G$. A *ordem generalizada* $[x]$ de $x$ é o menor número natural $k$ tal que a identidade $1$ de $G$ pode ser escrita como um produto de $k$ conjugados de $x$. Ou seja, $[x]$ é o menor natural $k$ tal que
$$
x^{g_1}\cdots x^{g_k}=1
$$
com algum $g_1,\ldots,g_k\in G$.
:::{#thm-ord-gen}
Seja $G$ um grupo finito, seja $g\in G$ e sejam $\chi_1,\ldots,\chi_m$ os carateres irredutíveis de $G$. Defina, para $k\geq 1$,
$$
\alpha_{g,k}=\frac {|G|^{k-1}}{|C_G(g)|^k}\sum_{i=1}^m\frac{\chi_i(g)^k}{\chi_i(1)^{k-2}}.
$${#eq-genord}
Então $\alpha_{g,k}$ é um número natural e ele é igual ao número de maneiras de escrever a identidade $1$ de $G$ como produto de conjugados de $g$. Em particular,
$$
[g]=\min\{k\geq 1\mid \alpha_{g,k}\geq 1\}.
$$
:::
:::
## Carateres em `GAP`
:::{.subexample}
Vamos ver primeiro como trabalhar com carateres em `GAP`. Seja $G$ um grupo finito e seja $\varrho:G\to \operatorname{GL}(n,\mathbb C)$ um homomorfismo. O homomorfismo $\varrho$ chama-se também uma *representação linear* de $G$. O carater associado com $\varrho$ é
$$
\chi:G\to\mathbb C,\quad \chi(g)=\mbox{trace}(\varrho(g)).
$$
Note que $\mbox{trace}$ significa o traço da matriz $\varrho(g)$; ou seja, a soma dos elementos na diagonal principal. É bem conhecido que o caracter carrega muita informação sobre $\varrho$.
Em `GAP`, carateres podem ser calculados na seguinte maneira. Note que estamos interessados principalmente nos carateres que correspondem às representações irredutíveis.
```matlab
gap> G := SmallGroup( 24, 10 );
<pc group of size 24 with 4 generators>
gap> t := CharacterTable( G );
CharacterTable( <pc group of size 24 with 4 generators> )
gap> irr := Irr( t );
[ Character( CharacterTable( <pc group of size 24 with 4 generators> ),
[ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ] ),
Character( CharacterTable( <pc group of size 24 with 4 generators> ),
[ 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, 1 ] ),
...etc...
gap> irr[3];
Character( CharacterTable( <pc group of size 24 with 4 generators> ),
[ 1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, 1, 1, -1 ] )
```
:::
:::{.subexample}
Vamos calcular a ordem generalizada de um elemento do grupo dihedral $D_8$, usando a equação @eq-genord.
```matlab
gap> D8 := DihedralGroup( 8 );
<pc group of size 8 with 3 generators>
gap> t := CharacterTable( D8 );
CharacterTable( <pc group of size 8 with 3 generators> )
gap> OrdersClassRepresentatives( t );
[ 1, 2, 4, 2, 2 ]
gap> irr := Irr( t );
[ Character( CharacterTable( <pc group of size 8 with 3 generators> ),
[ 1, 1, 1, 1, 1 ] ), Character( CharacterTable( <pc group of size 8 with
3 generators> ), [ 1, -1, 1, 1, -1 ] ),
Character( CharacterTable( <pc group of size 8 with 3 generators> ),
[ 1, 1, -1, 1, -1 ] ), Character( CharacterTable( <pc group of size 8 with
3 generators> ), [ 1, -1, -1, 1, 1 ] ),
Character( CharacterTable( <pc group of size 8 with 3 generators> ),
[ 2, 0, 0, -2, 0 ] ) ]
gap> k := 1;; Sum( List( irr, x->x[3]^k/x[1]^(k-2) ));
0
gap> k := 2;; Sum( List( irr, x->x[3]^k/x[1]^(k-2) ));
4
```
Note que obtemos que o ordem generalizada de $a$ é $2$. Note que a ordem do mesmo elemento é $4$.
:::
## Tarefa 1
:::{.problem}
1. Escreva uma função `generalized_order( G, i )` que dado um grupo $G$ e $i\geq 1$, devolve a ordem generalizada de um elemento na $i$-ésima classe de conjugação de $G$ usando a equação @eq-genord.
2. Escreva uma função `generalized_orders( G )` que calcula a lista das ordens generalizadas das classes de conjugação de $G$.
O resultado do seu código deve seguir os seguintes exemplos.
```matlab
gap> generalized_order( SymmetricGroup( 5 ), 2 );
2
gap> generalized_order( SmallGroup( 18, 3 ), 2 );
2
gap> generalized_order( SmallGroup( 18, 3 ), 5 );
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gap> generalized_orders( AlternatingGroup( 5 ));
[ 1, 2, 2, 2, 2 ]
gap> generalized_orders( AlternatingGroup( 7 ));
[ 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3 ]
```
:::
:::{.hint}
Calcule a soma na equação @eq-genord para todo $k$ até ela vira não nula. Usa o laço `repeat` (@sec-repeat).
:::
<!--
generalized_orders := G -> List( [1..NrConjugacyClasses( G )], x->generalized_order( G, x ));
-->
<!--
generalized_order := function( G, x )
local t, irr, k;
t := CharacterTable( G );
irr := Irr( t );
k := 0;
repeat
k := k+1;
until Sum( List( irr, chi->chi[x]^k/chi[1]^(k-2))) > 0;
return k;
end;
-->
## Tarefa 2
:::{.subproblem}
1. Usando as funções na tarefa anterior, ache um grupo $G$ que possui elemento $x\in G$ tal que $[x]$ não é divisor de $|G|$.
2. Ache um grupo $G$ que possui um elemento $x\in G$ tal que $[x]$ é coprimo com $|G|$.
3. Ache um grupo $G$ que possui um elemento $x\in G$ tal que $[x]$ é um primo $p$ tal que $p\nmid |G|$.
:::
:::{.hint}
Escreva uma função para cada um dos itens nesta tarefa. A função deve devolver `true` se o grupo sataisfaz a condição procurada, e `false` caso contrário. Use `Filtered` sobre `AllSmallGroups( Size, list )` (veja a @sec-list).
:::