【译】算法的笔记

[reng99]

线性搜索

为了搜索一个目标元素，从数组的左侧到右侧遍历。

伪代码示例#1:

Repeat, starting at the first element:
  If the element is the target element, stop
  Else, move to the next element

伪代码示例#2:

For i from 0 to n-1
  If i'th element is target_element
    Reture true
  Reture false

JavaScript语言示例:

linearSearch = (arr, target) => {
  for(let i = 0; i < arr.length; i++) {
    if(arr[i] === target) return true;
  }
  return false
}

线性搜索算法

• 最坏的情况：

如果目标元素在数组的最后一个或不在数组中，需要遍历整个含有n个元素的数组。

用大O表示法，这会被转换成O(n)。

• 最好的情况：

目标元素是第一个元素。

用大O表示法，这会被转换成Ω(1)。

二分查找

为了找到目标元素，每次可以通过减少搜索区域的一半来查找。二分查找算法是针对有序的数组进行，否则毫无意义。

伪代码示例#1:

Repeat until the (sub)array is of size 0:
  Calculate the middle point of the current (sub)array
  If the target element is the middle element, stop
  Else if it's less than the middle:
    End point is now just to the left of the current middle, repeat
  Else if it's greater then the middle:
    Start point is now just to the right of the current middle, repeat

伪代码示例#2:

If no items
  Return false
If middle item is target_element
  Return  true
Else if target_element < middle item
  Update end point
  Search left half
Else if target_element > middle item
  Update start point
  Search right half

JavaScript语言示例（递归）:

binarySearch = (arr, target, start, end) => {
  if(end >= start) {
    let mid = Math.floor((start+end)/2);
    if(arr[mid] === target) return mid;
    else if(arr[mid] > target) return binarySearch(arr, target, start, mid-1);
    else return binarySearch(arr, target, mid+1, end);
  }
  return false;
}

二分查找算法：

• 最坏的情况：

需将n个（排序好的）元素列表分为两部分，并重复此操作直到查到目标元素，因为元素有可能在最后一次拆分中，或者不在数组中。

用大O表示法，这会被转换成O(log n)。

• 最好的情况

目标元素刚好在元素的中间，所以我们刚开始就可以停止搜索。

用大O表示法，这会被转换成Ω(1)。

冒泡排序

冒泡排序：将大值移动到数组右边，将小值移到数组的左边。

伪代码示例#1:

Set swap counter to a non-zero value
Repeat until the swap counter is equal to 0:
  Reset swap counter to 0
  Look at each adjacent pair:
    If two adjacent elements are not in order:
      Swap them
      Add one to the swap counter

伪代码示例#2:

Repeat until no swaps
  For i from 0 to n-2
    If i'th and i+1'th elements out of order
      Swap them

JavaScript语言示例:

bubbleSort = arr => {
  for(let i = 0; i < arr.length-1; i++) {
    for(let j = 0; j < arr.length-i-1; j++) {
      if(arr[j] > arr[j+1]) {
        let temp = arr[j];
        arr[j] = arr[j+1];
        arr[j+1] = temp;
      }
    }
  }
  return arr;
}

因为是比较第i和第i+1个元素，所以在交换不符合排序的两个元素之前，只需要对i进行n-2的排序就即可。知道最大的n-1个元素将向右冒泡，因此排序可以在n-1个通过之后停止。

当重新遍历数组时，只要考虑没有排序的元素。当交换器保持为0时，就没有其他要交换的内容了。

冒泡排序算法

• 最坏的情况：

一种情况是当数组已经是倒序排好，我们需要对每个数组元素进行冒泡。因为每遍只能将一个元素完全冒泡到其排序的位置，因此排序必须进行n次。

用大O表示法，这会被转换成O(n²)。

• 最好的情况：

数组已经是完美排序好了，导致第一遍就没有元素交换。

用大O表示法，这会被转换成Ω(n)。

选择排序

找到最小的未排序的元素，然后将它放到排序好的列表末尾。

伪代码示例#1:

Repeat until there is no unsorted elements remaining:
  Search unsorted part of data to find the smallest value
  Swap the found value with the first element of the unsorted part

伪代码示例#2:

For i from 0 to n-1
  Find smallest item between i'th item and last item
  Swap smallest item with i'th item

JavaScript语言示例:

selectionSort = arr => {
  for(let i = 0; i < arr.length-1; i++) {
    let min = i;
    for(let j = i+1; j < arr.length; j++) {
      if(arr[j] < arr[min]) {
        min = j
      }
    }
    let temp = arr[min];
    arr[min] = arr[i];
    arr[i] = temp;
  }
  return arr;
}

选择排序算法

• 最坏的情况：

必须重复n次排序过程才能迭代数组中的每一个，以找到未排序元素的最小元素，将其排序。每遍只排序一个元素。

用大O表示法，这会被转换成O(n²)。

• 最好的情况：

与最好的情况相同，因为在排序过程遍历数组的所有元素之前，无法保证对数组进行排序。

用大O表示法，这会被转换成Ω(n²)。

插入排序

在适当的位置建立一个排序的数组；在构建数组时，如有必要，将元素移开以腾出空间。

伪代码示例#1:

Call the first element of the array sorted
Repeat until all elment are sorted:
  Insert next unsorted item into sorted part shifting the required number of items

伪代码示例#2:

For i from 1 to n-1
  Insert next unsorted item into sorted part shifting i items

JavaScript语言示例:

insertionSort = arr => {
  for(let i = 1; i < arr.length; i++) {
    let key = arr[i];
    let j = i-1;
    while(j >= 0 && arr[j] > key) {
      arr[j+1] = arr[j];
      j = j-1;
    }
    arr[j+1] = key;
  }
  return arr;
}

插入排序算法

• 最坏的情况：

因为已经是反向有序的数组了，所以每次需要将n个元素从n个位置移开。

用大O表示法，这会被转换成O(n²)。

• 最好的情况：

数组已经排序。此时当我们遍历每个元素时，只在未排序和已排序元素之间移动。

用大O表示法，这会被转换成Ω(n)。

递归

优雅地编码！🌹

递归与算法或函数的实现方式有关，它不是算法本身。

递归函数将其自身作为执行函数的一部分进行调用。

使用阶乘函数的详细例子：

• n! 在所有的整数上定义
• n! 是所有小于等于n的整数相乘
• n! 正如 fact(n):

伪代码示例#1:

fact(1) = 1
fact(2) = 2 * 1
fact(3) = 3 * 2 * 1
…

伪代码示例#2:

fact(1) = 1
fact(2) = 2 * fact(1)
fact(3) = 3 * fact(2)
…

阶乘函数的递归定义的基础：

fact(n) = n * fact(n-1)

使用递归函数，需要考虑两种情况。

• 基本情况（base case）：触发时终止递归过程
• 递归情况（recursive case）: 递归发生在哪里

int fact(int n) {
  // base case
  if(n == 1)
    return 1;
  // recursive case
  else
    return n * fact(n-1)
}

可有有多种的基本情况。

斐波那契数列示例，其中：

• 第一个元素是0
• 第二个元素是1
• 第n个元素是(n-1)+(n-2)的和

也可能有多种的递归情况。

比如科拉茨推测。

下面使用javascript来定义collatz函数，计算需要多少步才能置1：

collatz = steps => {
  // base case
  if(step == 1) return 0;
  // recursive case: even numbers
  else if ((steps % 2) == 0) return 1+collatz(steps/2)
  // recursive case: odd numbers
  else return 1+collatz(3*steps+1)
}

归并排序

将数组拆分为小的数组进行排序，然后将这些排序好的数组重新组合在一起。

伪代码示例#1:

If only one element
  Return
Else
  Sort left half of elements
  Sort right half of elements
  Merge sorted halves

伪代码示例#2:

Sort the left half of the array (assuming n > 1)
Sort right half of the array (assuming n > 1)
Merge the two halves together

JavaScript语言示例（递归）：

// to merge left subarray and right subarray
merge = (left, right) => {
  let resultArray = [], leftIndex = 0, rightIndex = 0;
    
  // concat values into the resultArray in order
  while(leftIndex < left.length && rightIndex < right.length) {
    if(left[leftIndex] < right[rightIndex]) {
      resultArray.push(left[leftIndex]);
      leftIndex++;
    } else {
      resultArray.push(right[rightIndex]);
      rightIndex++;
    }
  }
  // concat remaining element from either left OR right
  return resultArray
    .concat(left.slice(leftIndex))
    .concat(right.slice(rightIndex))
}

mergeSort = arr => {
  // if array has one element or is empty, no need to sort
  if(arr.length <= 1) return arr;
  
  const mid = Math.floor()
  // divide the array into left and right
  const left = arr.slice(0, mid);
  const right = arr.slice(mid);
  
  // merge back together using recursison
  return merge(mergeSort(left), mergeSort(right)))
}

归并排序算法

• 最坏的情况：

必须分解n个元素，然后才能有效地重新组合它们，从而在构建排序后的子数组的时重建它们。

用大O表示法，这会被转换成O(n log n)。

• 最好的情况：

数组已经是排序好的了，但是仍然需要需要拆分并重组回来。

用大O表示法，这会被转换成Ω(n log n)。

资源

Comparison Sorting Algorithms (visualization)

Sorting Algorithms on brilliant.org

Sorting Algorithms on geeksforgeeks.org

Sorting Algorithms Visualized

参考和后话

• 原文：https://dev.to/hexangel616/notes-on-algorithms-36pi