Physik.tex

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%\renewcommand{\thesubsubsection}{\thesection.\thesubsection.\Roman{subsubsection}}

\iffalse
\fancyfoot[R]{Created \today \ at \thistime \qquad \thepage}
\fancyfoot[L]{Homepage: \href{www.latex4ei.de}{www.latex4ei.de} -- please report misstakes \emph{immediately}.}
\fancyfoot[C]{by Emanuel Regnath, contact \emph{\href{mailto:emanuel.regnath@tum.de}{emanuel.regnath@tum.de}}}
\fi

% Dokumentbeginn
% ======================================================================
\begin{document}


% Aufteilung in Spalten
\vspace*{-10mm} %TODO Später anpassen
\begin{multicols*}{4}


	\fstitle{Physik}

\iffalse
	\emphbox{
	\textbf{Wichtiger Hinweis}
	\\ Diese Formelsammlung ist noch in der Entwicklung und nicht prüfungstauglich ! \\ Allerdings würden wir uns über Unterstützung freuen das zu ändern. Wer Lust hat kann uns über das Kontaktformular auf www.latex4ei.de erreichen.
	}\fi
% ===============================================================================================
\section{Physikalische Größen und Einheiten}
%Kinematik; 
%Dynamik für Punktmassen: Kräfte & Newtonsche Gesetze; 
%Arbeit, Energie, Leistung
%Stöße zwischen Punktmassen
%Dynamik des starren Körpers

%7 SI Basiseinheiten: Sekunde, Meter, Kilogramm, Ampere, Candela, Kelvin, Mol\\ Abgeleitete Einheiten
\subsection{Messgenauigkeit und Messfehler}
Systematischer Fehler: Abw. einer Messung von ihrem Erwartungswert\\
Statistischer Fehler: Entstehung durch zufällige Abweichungen\\
Arithmetischer Mittelwert: $\ol x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$\\
Standardabweichung: $s = \sigma = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\ol x)^2}$\\
Standardabweichung mit TR: $s_{\text{Rechner}} = \sqrt{ \fr{\sum_{i=1}^n x_i^2 - \frac{1}{n} (\sum_{i=1}^n x_i)}{n-1} }$\\
Normalverteilung/Gauß-Funktion: $g(x) = \fr{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\exp(-\fr{(x-\ol x)^2}{2\sigma^2})$\\
Näherungsweise gilt: 
\begin{itemize}
\item 68(95)[99.8]\% aller Messwerte haben eine Abweichung $<$ $\pm 1(2)[3]\sigma$ vom Mittelwert.
%\item 95\% aller Messwerte haben eine Abweichung < $\pm 2\sigma$ vom Mittelwert.
%\item 99,8\% aller Messwerte haben eine Abweichung < $\pm 3\sigma$ vom Mittelwert.
\end{itemize}


\subsection{Konstanten}
%TODO Konstanten vervollständigen %TODO
Elektrische Feldkonstante $ \varepsilon_0 = 8.85\cdot 10^{12} \frac{C^2}{Nm^2}$\\
Vakuumlichtgeschwindigkeit $ c_0 = 299 792 458 \frac{m}{s} \approx 3\cdot 10^8 \frac{m}{s}$\\
Gravitationskonstante $G = 6,67\cdot 10^{-11} \frac{Nm^2}{kg}$\\
Boltzmannkonstante $k_B = \frac{R}{N_{Av}} = 1.381\cdot 10^{-23}$\\
Plank'sches Wirkungsquantum h $= 6.626\cdot 10^{-34}Js$ \hspace*{38.2mm} $=$  \hspace*{4mm} $4.136\cdot 10^{-15}eVs$\\
Avogadrokonstante $N_A = 6.022 \cdot 10^{-23} \frac{1}{mol}$\\
Gaskonstante $R = N_A \cdot k_B = C_{\text{p(mol)}} - C_{\text{v(mol)}} = 8.314 \frac{J}{mol\cdot K}$\\

%TODO Fehlerfortpflanzung EHER NICHT %TODO
%TODO Additionstheoreme EHER NICHT %TODO

\subsection{Trigonometrische Funktionen}

$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}
x & 0 & \pi / 6 & \pi / 4 & \pi / 3 & \pi / 2 & \pi & \frac{3}{2}\pi & 2 \pi \\ \hline
\sin & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{\sqrt 3}{2} & 1 & 0 & -1 & 0 \\
\cos & 1 & \frac{\sqrt 3}{2} & \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{2} & 0 & -1 & 0 & 1 \\     
\tan & 0 & \frac{\sqrt{3}}{3}&	1				 &	\sqrt{3} & \infty & 0 & - \infty & 0\\
\end{array}$ 

\iffalse
\begin{tabular}{l  l} 
		Additionstheoreme &	Stammfunktionen \\
	$\cosh x \,\; + \sinh x \,\,= e^{x}$ & $\int \sinh x \, dx = \cosh x + C$\\
	$\sinh({\rm arcosh}(x)) = \sqrt{x^2 - 1}$ & $\int \cosh x \, dx = \sinh x + C $\\
	$\cosh({\rm arsinh}(x)) = \sqrt{x^2 + 1}$ \\
	
 	$\cos (x - \frac{\pi}{2}) = \sin x$ & $\int x \cos(x) \diff x = \cos(x) + x \sin(x)$\\
 	
 	 $\sin (x + \frac{\pi}{2}) = \cos x$ & $\int x \sin(x) \diff x = \sin(x) - x \cos(x)$\\
 	
 	$\sin 2x = 2 \sin x \cos x $  & $\int \sin^2(x) \diff x = \frac12 \bigl(x - \sin(x)\cos(x) \bigr)$\\
     
 	$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$  & $\int \cos^2(x) \diff x = \frac12 \bigl(x + \sin(x)\cos(x) \bigr)$\\

 	$\sin(x) = \tan(x)\cos(x)$ & $\int \cos(x)\sin(x) = -\frac12 \cos^2(x)$ \\
\end{tabular}
\fi

\subsection{Quadratische Gleichung}
$x_1,_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ oder $P_{\text{1,2}} = \frac{-p}{2}\cdot\sqrt{\frac{p}{2}^2 - q}$\\




\section{Klassische Mechanik}
%Kinematik
%Dynamik für Punktmassen: Kräfte & Newtonsche Gesetze
%Kräfte, Arbeit, Energie, Leistung
%Stöße zwischen Punktmassen
%Dynamik des starren Körpers



\subsection{Kinematik}
momentane Geschwindigkeit: $v = \dot r$\\
mittlere Geschwindigkeit: $v_m = \frac{\Delta r}{\Delta t}$\\
\subsubsection{Galilei Transformation}
Gilt nur für $v<<c$\\
$x' = x - ut$ und $t' = t$ mit der Geschwindigkeit $u$ des bewegten \\Systems $\ra \dt x = \dt{x'} + u$\\
Transformation erleichtert Bezugssystem mit konstanter Geschwindigkeit
$\rightarrow$ Berechnung im Schwerpunktsystem
\subsubsection{Eindimensionale Bewegungen}
Mittlere Beschleunigung: $a = \dt v$\\
Gleichförmige, geradlinige Bewegung: $x(t) = v_0t+c$\\
Gleichförmig beschleunigte Bewegung: $x(t) = \frac{1}{2}a_0t^2+v_0t+x_0$\\
Momentane Geschwindigkeit: $v = \dt r$\\
\subsubsection{Zweidimensionale Bewegungen}
Unabhängige Bewegungen in den einzelnen Raumrichtungen\\
Schiefer Wurf:
Berechnung von z(x) durch Eliminieren von t: \\$x(t) = v_{0x}t \Rightarrow t = \frac{x}{v_{0x}}$\\
$z(x) = -\frac{1}{2}g(\frac{{x}}{v_{0x}})^2 + \frac{v_{0z}}{v_{0x}}x = -\frac{g}{2v^2_{x0}}x^2 + tan\theta x$\\
\subsection{Dynamik für Punktmassen}
\subsubsection{Schiefe Ebene}
Gewichtskraft: $F_G = mg$\\
Normalkraft: $F_N = mg\cos \alpha$\\
Hangabtriebskraft: $F_H = F_A = mg\sin \alpha$\\
Reibung: Körper steht, falls $F_{\text{Haft}} = F_{\text{Hang}}$\\
kritischer Neigungswinkel: $tan \alpha = \mu_h$\\
\subsubsection{Kreisbewegung}
Winkel $\phi = \frac{s}{r}$, mit Bogenlänge $s$, Radius $r$\\
Kreisfrequenz $\omega = \dt \phi = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f$, mit Umlaufdauer $T$, Frequenz $f$\\
Krummlinige Bewegung: $\ \v a = \dt {\v v} = \v a_t + \v a_{zp}$, mit Tangentialbeschl. $a_t$\\

\subsection{Kräfte, Arbeit, Energie, Leistung}
\subsubsection{Kraft}
Für $m_t \neq$ const: $\v F = m_t\frac{d}{dt}\v v +\v v\frac{d}{dt},_t$\\ %TODO DRINNEN LASSEN ODER RAUS NEHMEN? %TODO
Kräfte werden vektoriell addiert: $\v F_{ges} = \sum_{i=1}^n \v F_i$\\
Gravitationskraft: $F_G = -G \frac{m_1m_2}{r_{12}^2}$, mit $G = 6,67\cdot 10^{-11} \frac{Nm^2}{kg^2}$\\
Zentripetalkraft: $F_Z = m \frac{v^2}{r} = m\omega^2 r$\\

Federkraft (Hooke'sches Gesetz): $\v F_F = -k\v x$\\
mittlere Kraft: $\abs{<\v F>} = \abs{\frac{\Delta p}{\Delta t}} = \abs{\frac{m(v_E - v_A)}{\Delta t}}$\\
Coulombkraft: $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q_1Q_2}{r^2}$\\

Reibungskräfte allgemein: $\v F_R = \mu \v F$	,z.B. Haft-, Gleit- und Rollreibung\\
Körper beginnt zu rutschen, wenn $\mu_H \geq \tan \theta$\\

Luftwiderstand: $\v F_W = \frac{1}{2}\rho c_WAv^2$, mit $\rho$: Luftdichte\\
\subsubsection{Arbeit}
Generell: $W = \int_{r_1}^{r_2} F dr$ bzw. $W = Fs\cos \alpha$\\
Spannarbeit an einer Feder: $W = \frac{1}{2} k(x-x_a)^2 $\\
\subsubsection{Energie}
$\textbf{Energieerhaltung}$: Grundprinzip: $E_{\text{vorher}} = E_{\text{nachher}}$\\
potentielle Energie: $E_{\text{pot}} = mgh$\\
kinetische Energie: $E_{\text{kin}} = \frac{1}{2}mv^2$\\
Gesamte Rotationsenergie: $E_{rot} = \sum_{i=1}^N \frac{1}{2} \Delta m_ir_{i\perp}^2\omega ^2$\\
\subsubsection{Leistung}
$P = \dt W = \v F\v V = \dt E$\\

\subsection{Scheinkräfte}%TODO Evtl subsection Scheinkräfte VL5
Zentrifugalkraft $\v F_f = - \v F_z$, Kompensation zur Zentripetalkraft\\
Corioliskraft $\v F_c = m\v a_c = 2m\v v \times \v w$\\

\subsubsection{Stöße}
Impuls: $p = mv$, $F=\dot p$\\
\subsubsection{Inelastischer Stoß}
Massen bilden gemeinsame Masse: $v_1' = v_2' = v'$\\
\subsubsection{Elastischer Stoß}
Fall $m_1 = m_2$: $v_1' = v_2, v_2' = v_1$\\
Fall $m_1 = m_2, v_1 \neq 0, v_2 = 0$: $v_1' = 0, v_2' = v_1$\\
Fall $m_1 \neq m_2$: $\v v_{\text{1,end}} = \frac{1}{m_1+m_2}\left((m_1-m_2)\v v_{\text{1,anf}} + 2m_1\v v_{\text{2,anf}}\right)$\\

\subsubsection{Drehungen}
Drehmoment: $\v M = \v r \times \v F$\\
Drehimpuls: $\v L = \v r \times \v p$\\
%TODO $ \rightarrow \v L = mr^2 \v \omega \rightarrow \v L = J \v \omega $\\ %TODO fixen
Trägheitsmoment: $J = \sum_{i=1}^n m_iR_i^2 = \int_V r_\perp^2\rho dV$\\
Satz von Steiner: $J = J_S + Md^2$, Bei bel. Achse A: Summe vom $J_S$ der Rotation durch Schwerpunkt + $Md^2$ von Schwerpunkt um A\\ %TODO BESSER
$E_{kin}(\Delta m_i)=\frac{1}{2}\Delta m_iv_i^2=\frac{1}{2}\Delta m_ir_{i\perp}^2 \omega^2$\\
Gesamte Rotationsenergie: $E_{\text{rot}}=\lim_{N \rightarrow \infty} (\sum_i^N  \frac{1}{2}\Delta m_ir_{i\perp}^2 \omega^2)=\frac{1}{2} \omega ^2\int_Vr_\perp^2 dm$\\
Für ein Teilchensystem: $J = \sum_{i}m_ir_{i\perp}^2 \Rightarrow E_{\text{rot}}=\frac{1}{2}J\omega^2$\\
\subsection{Dynamik des starren Körpers}
Massenschwerpunkt $\v R_s = \frac{1}{M}\sum_im_i\v r_i$\\ %TODO Massenmittelpunkt VL8
\subsubsection{Trägheitsmomente}
%Vollzylinder: $J = \fr{1}{2}h\pi \rho R^4$ 
%Hohlzylinder: $J = \fr{1}{2}h\pi \rho[R^4-(R-d)^4] \approx 2 \pi h\rho R^3d$\\
$\textbf{Drehachse ist Körperachse:}$\\
Vollzylinder: $J = \frac{1}{2}m_{\text{ges}}r^2$\\
Zylindermantel: $J = m_{\text{ges}}r^2$\\
Hohlzylinder: $J = \frac{1}{2}m_{\text{ges}}(r_1^2+r_2^2)$\\

$\textbf{Drehachse durch Mittelpunkt $\perp$ Körperachse:}$\\
Zylindermantel: $J = \frac{1}{2}m_{\text{ges}}r^2 + \frac{1}{12}m_{\text{ges}}l^2$\\
Vollzylinder: $J = \frac{1}{4}m_{\text{ges}}r^2 + \frac{1}{12}m_{\text{ges}}l^2$\\
Dünner Stab: $J = \frac{1}{12}m_{\text{ges}}l^2$ (Drehachse durch Mittelpunkt)\\
Dünner Stab:  $J = \frac{1}{3}m_{\text{ges}}l^2$ (Drehachse durch ein Ende)\\
Dünne Kugelschale: $J = \frac{2}{3}m_{\text{ges}}r^2$ (Drehachse durch Mittelpunkt)\\
Massive Kugel: $J = \frac{2}{5}m_{\text{ges}}r^2$ (Drehachse durch Mittelpunkt)\\
Massiver Quader: $J = \frac{1}{12}m_{\text{ges}}(a^2+b^2)$ (Drehachse durch Oberfläche)\\


Masse des Zylindermantel: $M \approx 2 \pi R h d \rho$\\
Energieerhalt. rollender Zylinder: $E_{\text{pot}} = E_{\text{kin,translation}} + E_{\text{rotation}} \rightarrow mgh = \frac{1}{2}mv_s^2 + \frac{1}{2}J\omega ^2; s = r\alpha, v = r\omega$\\
%TODO Tabelle Trägheitsmomente Demtröder VL9 S11 EINFUEGEN %TODO

%TODO evtl analogien Translation Rotation VL10 %TODO

\subsection{Planetenbewegung}
\begin{itemize}
\item[1.] Keplersches Gesetz: Planetenbahnen sind Ellipsen um Stern in einem der beiden Brennpunkte\\
\item[2.] Keplersches Gesetz: In gleicher Zeit wird die gleiche Fläche an einer Bahn aufgespannt\\$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \v r \v v sin \alpha = \frac{1}{2}\v r \times \v v = \frac{1}{2}m|\v L| \Rightarrow$ Der Drehimpuls ist zeitlich konstant\\
\item[3.] Keplersches Gesetz: $\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}$ mit T: Umlaufzeit, a: Große Halbachse\\
\end{itemize}
%TODO evtl Spezialfall Kreisbahn EHER NICHT %TODO

\section{Wellenlehre und Optik}
%Schwingungen
%Wellen
%Geometrische Optik
%Lichtwellen
%Laser
\subsection{Schwingungen}
Erzwungen: Amplitude $A(\omega) = \frac{\frac{F_0}{m}}{\sqrt{(\omega_0^2 - \omega^2)^2+ (2\gamma\omega)^2}}$\\ mit Resonanzfrequenz $\omega_0$, Abklingkonstante $\gamma = \frac{2b}{m}$\\

Logarithmisches Dekrement $\Lambda = \ln\frac{x_m}{x_n}=\gamma\cdot T = \frac{2\pi\gamma}{\sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}}$ (Maß für Dämpfungsverhalten)\\
Dämpfungsgrad $D = \frac{\gamma}{\omega_0}$\\
Gütefaktor Q eines Oszillators: $Q = \frac{\omega_0}{2\gamma}$\\

Falls von Reibung dominiert: $A = \frac{F_0}{b\sqrt{\frac{k}{m}}}$\\
Überlagerung von Schwingungen: $x(t)=\sum_nx_n(t)=\sum_na_n\cos{\omega_nt+\delta_n}$\\
\subsection{Harmonische Schwingungen} $x(t) = A \cos(\omega_0t + \Phi)$\\ mit Amplitude A, Kreisfrequenz $\omega$ [$\frac{rad}{s}$], Frequenz f [$\frac{1}{s}]$\\ Schwingungsdauer T = $\frac{1}{f}$, Phasenkonstante $\phi$\\
\subsubsection{Federpendel}
$\omega ^2 = \frac{\text{Rücktreibende Kraft}}{\text{Einheitsmasse $\times$ Einheitsauslenkung}} = \frac{k}{m} \rightarrow \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$\\
$\omega= 2 \pi f \rightarrow f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$\\
Energiebilanz: $E_{\text{ges}} = E_{\text{pot}} + E_{\text{kin}} = \frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}mv^2$\\
\subsubsection{Mathematisches Pendel} 
$F = -mg \sin \theta \approx -mg \theta$\\
Oft Kleinwinkelnäherung: Bis 15$^{\circ}$: Fehler $<$ 0.01\%\\ %TODO FEHLER FINDEN
$x = l\theta ; F=-\frac{mg}{l}x$\\
Hooke'sches Gesetz: Kraft proportional zur Auslenkung\\
$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$
\subsubsection{Torsionsschwingungen}
Elastisches Rückstelldrehmoment $M = -D\theta = J\alpha$\\ mit Torsionskonstante D und $\alpha = \frac{d^2 \theta}{dt^2}$\\
$\ddot{\theta}+\frac{D}{J}\theta = 0 \Rightarrow \omega = \sqrt{\frac{D}{J}}$\\
\subsubsection{Gedämpfter harmonischer Oszillator}
Stoke'sche Reibungskraft: $F_R = -bv = -b\dot{x}$\\
Bewegungsgleichung: $\ddot{x} + 2\gamma \dot{x} + \omega_0^2x = 0$; mit 2$\gamma$ = $\frac{b}{m}$\\
Lösungsansatz mit Cosinus: $x = Ae^{-\gamma t} \cos(\omega 't)$ \\mit $\omega ' = \sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}, \gamma = \frac{b}{2m}$, $\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$\\
schwache Dämpfung: $\gamma < \omega_0 \rightarrow$ $x = Ae^{- \frac{t}{t_{\text{\tiny L}}}} \cos(\omega 't)$\\
aperiodischer Grenzfall: $\gamma = \omega_0 \rightarrow	\omega' = 0$\\
überkritische Dämpfung: $\gamma \gg \omega_0 \rightarrow \omega' = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}$ = img.\\ $\rightarrow$ Das System schwingt nicht, kehrt langsam in GGP zurück\\
$t_L$ = mittlere Lebensdauer, Zeit um auf $\frac{1}{e}$ der Amplitude zurückzukehren\\

\subsection{Wellen}
Allgemeine Wellengleichung: $\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} - \Delta u = 0$\\
Polarisation in Materie: $\v P = \chi_e\varepsilon_0\v E$, mit $\chi_e$: Elektrische Suszeptibilität, Materialeigenschaft, i.A. komplex\\
Longitudinale Welle: Auslenkung in Ausbreitungsrichtung\\
Transversale Welle: Auslenkung normal zur Ausbreitungsrichtung\\
Geschwindigkeit Seilwelle: $\nu = \sqrt{\frac{F_T}{\mu}}$\\ mit $F_T$ = Zugspannung, $\mu$ spezifische Masse\\ %TODO evtl S11 VL11 mit Bild
%TODO Formeln Geschwindigkeit VL11
%TODO VL12 S12 oben %TODO GAR NICHT SO WICHTIG
Masse $m = \mu\cdot vt \rightarrow \mu = \frac{m}{vt}$\\
Elastizitätsmodul: $E = \frac{F / A}{\Delta l / l}$\\
Kompressionsmodul: $K = \frac{-p}{\Delta V / V}$\\
Ausbreitungsgeschw. $\nu_{\text{Transv.}} = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$, $\nu_{\text{Longi.}} = \sqrt{\frac{E}{\rho}}$, $\nu_\text{l,Gas} = \sqrt{\frac{K}{\rho}}$\\ %in einer Zeile
%Ausbreitungsgeschwindigkeit Transversaal $\nu = \sqrt{\frac{F}{\mu}}$\\
%Ausbreitungsgeschwindigkeit Longitudinal $\nu_\text{l} = \sqrt{\frac{E}{\rho}}$\\
%Ausbreitungsgeschwindigkeit in Gasen: $\nu_\text{l,Gas} = \sqrt{\frac{K}{\rho}}$\\
Schwingungsenergie des Teilchens: $E = \frac{1}{2}kD_M^2$\\
$k = 4\pi ^2mf^2; E = 2\pi^2mf^2D_M^2$\\
$m = \rho V = \rho A v t; \Delta E = 2\pi^2 \rho A v \Delta tf^2D_M^2$\\
Durchschnittliche Leistung: $\ol{P} = \fr{\Delta E}{\Delta t} = 2\pi ^2 \rho a v f^2 D_M^2$\\
%TODO Overline oben definieren und stattdessen mean, RMS; Dach als peak definieren, etc %TODO NICHT WÄHREND PRÜFUNGSPHASE
Intensität: $ I = \fr{\ol{P}}{A} = 2\pi^2\rho v f^2D_M^2$\\
Intensität sphärische Welle: $I = \frac{\hat{P}}{q\pi r^2}$, mit $D_M \propto \frac{1}{r}$\\
%TODO Mathematische Beschreibung der Wellenausbreitung, Wellengleichung VL12 %TODO
Schallpegel $L = 10\log{\frac{I}{I_0}}$dB mit $I_0 = 10^{-12}\frac{W}{m^2}$, mit 1dB = 10Bel\\
%TODO evtl Schallpegeltabelle %TODO SICHER NICHT
%TODO Superpositionsprinzip VL13
\\
Reflexion bei elektrischen Leitungen: $ r = \frac{Z_{\text{Last}}-Z_{\text{Kabel}}}{Z_{\text{Last}}+Z_{\text{Kabel}}}$
%TODO subsection Interferenz VL14, Überlagerung von Wellen unterschiedlicher Frequenz

\subsection{Geometrische Optik}
$f\cdot\lambda = c$\\
Vakuumlichtgeschwindigkeit $c_0=2,99792458\cdot 10^8 \frac{m}{s} = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}}$\\
%TODO was ist Licht? %TODO LOL NEIN
Energie Photonen: $h\cdot c$, mit Plank'schem Wirkungsquantum $h$\\
Brechungsindex $n = \frac{c}{v}$\\
Dielektrizitätskonstante $\varepsilon = n^2 $\\
 Brechungsgesetz von Snellius: $\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} = \frac{v_1}{v_2}  = \frac{c/n_1}{c/n_2} = \frac{n_2}{n_1}$\\
%Snellius'sche Gesetz für bestimmte Winkel: $n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2$\\
Licht bricht immer zum Medium mit dem höheren Index hin\\
$\textbf{Fermatsches Prinzip}$: Licht folgt dem Weg mit der kürzesten Laufzeit$: \frac{dt}{dx} = 0$; Optischer Weg: $\int_{\gamma}n$\\
%TODO evtl Fata Morgana
Optische Wand, parallelverschiebung um $\Delta d:$\\$d = t\cdot\sin(\alpha)\cdot\left[1-\frac{\cos\alpha}{\sqrt{n^2- \sin ^2(\alpha)}}\right]$\\
Totalreflexion: falls $\theta>\theta_g$: $\sin(\theta_g) = \frac{n_2}{n_1}$\\
%TODO Besser

%TODO evtl Propagationsverluste in der Glasfaser oder was auch immer
%TODO Bild vom Prisma einfügen VL15 S20
Brechungsindex $n$ ist frequenzabh. $n(\omega)$\\
Ausbreitungsgeschw. ist frequenzabh. $v(\omega)$ heißt Dispersion\\
Maxwell Relation: $n = \sqrt{\varepsilon_r\cdot \mu_r} \approx \sqrt{\varepsilon_r} = \sqrt{1+\chi_e}$\\ %Not sure
Elektrische Suszeptibilität: $\v P = N \cdot \v p$\\% %TODO war das nicht schon oben? N im text
%TODO Bewegungsgleichung erzwungene Schwingung VL16 S7
$x_0 = \frac{eE_0}{m(\omega_0^2-\omega^2)}$\\
$\omega < \omega_0$: Auslenkung in Phase,
$\omega > \omega_0$: Auslenkung gegen Phase $F_{el}$\\
Dipolmoment: $|\v p(t)| = e\cdot x(t) = \left|\frac{e^2E_0\cdot sin(\omega t)}{m(\omega_0^2-\omega^2)}\right|$\\ %TODO große Betragsstriche
$\chi _e(\omega) = \frac{Ne^2}{\varepsilon_0(\omega_0^2 - \omega^2)}$\\
Sellmeier Gleichung: $n^2(\lambda) = 1 + \frac{B_1\lambda^2}{\lambda^2-C_1}\frac{B_2\lambda^2}{\lambda^2-C_2}\frac{B_3\lambda^2}{\lambda^2-C_3}$\\ mit $B_i$ und $C_i$ (i $\in$ 1-3) Sellmeier Koeffizienten, experimentell ermittelt\\
Anormale Dispersion: n steigt mit $\lambda$\\
Normale Dispersion: n fällt mit $\lambda$\\
\subsection{Abbildung}
Entweder reales Bild oder virtuelles Bild (z.B. Spiegel)\\
%TODO Spiegelarten und Strahlengang evtl mit Bildern
Strahlenkonstruktion allgemein: $\frac{1}{b}= \frac{1}{f} - \frac{1}{g}$\\
fokale Länge f = $\frac{r}{2}$, mit Gegenstandsweite g; Bildweite b\\
Vorzeichen korrekt wählen: +: g, b, Krummungsmittelp. vor dem Spiegel\\ %TODO Tabelle VL16 S18
%TODO Linsenarten mit Bildern evtl
Abbildungsmaßstab $V = \frac{B}{G}=\frac{-b}{g}$ \\bei V negativ: Bild umgekehrt\\
\subsubsection{Linsen}
Linsengleichung:
Gegenstandseite: $\frac{f}{g} = \frac{B}{B+G}$, 
Bildseite: $\frac{f}{b}= \frac{G}{G+B}$\\
Dicke Linsen: 2 Hauptebenen mit eigenem $f, b, g$, Bi-konvex: $\frac{f}{2n}$\\
Reziproke Brennweite = Brechkraft $\rightarrow$ Einheit Dioptrie [D]= 1dpt = $\frac{1}{m}$\\
$g>f$: Reelles Bild;
$g<f$: Virtuelles Bild\\
Berechnung Brennweite: $\frac{1}{f}=(n-1)(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})$\\
mit n = Brechungsindex der Linse, r Radien
%\\SKIZZE HIER SKIZZE HIER
%TODO SKIZZE
\subsubsection{Auge}
Weitsichtigkeit: Bild naher Gegenstände hinter Netzhaut\\
$\rightarrow$ Korrektur durch Sammellinse\\
Kurzsichtigkeit: Bild weiter Gegenstände vor Netzhaut\\
$\rightarrow$ Korrektur durch Zerstreuungslinse\\
Stabsichtiges Auge (Astigmatismus): abnormale Hornhautverkrümmung $\rightarrow$ Korrektur durch Zylinderlinsen\\
\\Sehwinkel/räumliche Auflösung des Auges: $\varepsilon_0^{min} \approx 1"$\\
$\Rightarrow \Delta x_{\text{min}} = S_0\cdot\varepsilon_o^{min} \approx 70 \mu m$\\
%TODO Die Lupe, Das Fernrohr VL17
Mikroskop: $V_{\text{Mikroskop}} = \frac{(l-f_e)\cdot L_d}{d_0\cdot f_e} = \beta_{\text{Objektiv}}\cdot V_{\text{Okular}}$\\
Vergrößerung Okular: $V_{\text{Okular}} = \frac{L_d}{F_e}$\\
$L_d$ = deutliche Sehweite des Menschen, ca 250mm\\
Auflösungsgrenze bei ca 1000-facher Vergrößerung\\
%TODO Dicke Linsen S16 VL 17, Fresnel Linse

\subsection{Abbildungsfehler (Abberationen)} %TODO ausarbeiten VL17,evtl mit Bildern
%ausarbeiten VL17,evtl mit Bildern
\subsubsection{Schärfefehler}
Sphärische Abberationen; %: Größerer EInfallswinkel am Rand $\rightarrow$ Zerstreuungskreis (Kaustik)\\
Koma; 
Astigmatismus $\rightarrow$ Sinus ist nichtlinear\\
\subsubsection{Lagefehler}
Bildfeldwölbung; 
Verzeichnung $\rightarrow$ Sinus ist nichtlinear
\subsubsection{Farbfehler/Chromatische Abberationen}
Farblängsfehler; Farbquerfehler $\rightarrow$ Dispersion\\

\subsection{Welleneigenschaft des Lichts}
$W_{\text{Welle}} = W_{\text{el}}+W_{\text{magn}} = \frac{1}{2}\cdot\varepsilon_0\cdot E^2 + \frac{1}{2\mu_0}\cdot B^2$\\
mit $E = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}\cdot B = c\cdot B \rightarrow W_{\text{Welle}} = \varepsilon_0E^2 = \frac{B^2}{\mu_0}$\\
Permittivität $\varepsilon$: Durchlässigkeit eines Materials für el. Felder\\
magn. Permittivität $\mu$: Durchlässigkeit von Materie für magn. Felder\\
$\varepsilon = \varepsilon_r\varepsilon_0; \mu = \mu_r\mu_0$\\

Welleneigenschaften: 
Pointingvektor $\v S=\frac{1}{\mu_0}\cdot \v E \times \v B = \v E \times \v H$ \\
zeigt in Ausbreitungsrichtung, Betrag = Intensität der Strahlung\\
Intensität S = Energiedichte $\times$ Ausbreitungsgeschw., $[S]  = \frac{W}{m^2}$\\
Lichtwellen sind transversale e-m-Wellen mit $\v E\perp \v B \perp\v k$, mit $\v k \parallel$ Achse\\
$\v E = \v E_0\cdot\cos(k\cdot z - \omega\cdot t - \Phi) = \v E_0\cdot \cos(\frac{2\pi}{\lambda}(z-c\cdot t)-\Phi)$\\
$\v B$ ist direkt mit $\v E$ verknüpft\\
\subsubsection{Kohärenz}
Gleiche Frequenz und eine feste Phasendifferenz ermöglicht die Interferenz\\
Die meisten Lichtquellen sind inkohärent. Laser stellen eine Ausnahme dar\\
Bei inkohärentem Licht mittelt sich die Interferenz zu null.\\

Leistung eines Dipols (max $10^{-10}$m): $P = \frac{2}{3}\cdot\frac{e^2\cdot\omega^4\cdot d^2}{4\pi\varepsilon_0\cdot c^3}$\\
 mit $\omega^2\cdot d = a \equiv$ Beschleunigung bei zirkularer Frequenz $\omega$\\ 
Lebensdauer atomare Schwingung: 1ns bis 10ns\\
Kohärenzlänge (Wegstrecke in 1ns): 30cm\\
%TODO evtl Fresnel'scher Doppelspiegel, Interferometer, Entspiegelung, Newtonsche Ringe
Fabry-Perot-Interferometer: Wellenlängenauflösung: $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{n}{N}$\\

Huygens-Fresnel-Prinzip: jeder Raumpunkt ist Ausgangspunkt für eine neue Kugelwelle (Elementarwelle)\\
\subsubsection{Beugung am Einfachspalt}
Interferenz falls Spalt breiter als $\lambda$\\
Bedingung für Minima: $a\!\cdot\!\sin\theta = Z\cdot\lambda$, mit Z $\in 1,2,3,...$\\ %TODO besser
Bedingung für Maxima: $a\cdot\sin\theta = (Z+\frac{1}{2})\cdot\lambda$, mit Z $\in -\frac{1}{2},1,2,3,...$\\%TODO
\subsubsection{Beugung am Doppelspalt}
Gangunterschied $\Delta s = q\cdot\sin\alpha$\\
Konstruktive Interferenz für Richtungen mit: $\Delta s = Z \cdot \lambda$\\
Destruktive Interferenz für Richtungen mit: $\Delta s = (Z+\frac{1}{2})\lambda$\\
%TODO Strichgitter, Kreuzgittertier VL19 NEIN
%TODO evtl Fresnelsche Zonenplatte NEIN
\subsection{Mikroskop}
Auflösungsvermögen Mikroskop mit Spalt b: $\Psi_{\text{min}} = \alpha = \arcsin\frac{\lambda}{b} \approx \frac{\lambda}{b}$ (Abbé Limit)\\
für runde Linse mit Durchmesser D: $\Psi_{\text{min}} = D\cdot\sin\alpha = 1,22\frac{\lambda}{D}$\\
\subsubsection{Röntgenbeugung}
Bragg-Bedingung für konstruktive Interferenz: $n\lambda = 2d\sin\theta $, n$\in \N $\\
\subsubsection{Polarisation von Licht}
E-M-Welle ist transversal, also $\v E \perp \v k$ bzw $\v B\perp\v k$\\
linear polarisiert $\rightarrow$ E-Feld steht nur in eine Richtung\\
Die Richtung von $\v E$ ist die Polarisationsrichtung\\
und die von k,E aufgespannte Ebene die Polarisationsebene\\

Emmissionsakt eines einzelnen Atoms i.d.R. polarisiert, ungeregelte Überlagerung $\rightarrow$ unpolarisiert\\
Zwei Polarisationen:
$\textbf{S}$ (Senkrecht) oder $\textbf{P}$ (Parallel) zur Einfallsebene\\
Einfallsebene: $\v k$ und $\hat n$ spannen Ebene auf\\
Für Interferenz gilt: Beide Quellen müssen die gleiche Polarisation haben\\
Polarisation ist linear, elliptisch und zirkular möglich und auch eine Superposition mehrerer ist möglich\\

Intensität in bestimmter Polarisationsrichtung: $I' = I\cdot\cos ^2\alpha$\\



\section{Hydromechanik}
%Flüssigkeiten und Gase:
%Dichte
%Druck
%Oberflächenspannung

%Strömende Flüssigkeiten:
%Strömungen
%Reale Flüssigkeiten: Viskosität
%Strömung einer viskosen Flüssigkeit durch  ein Rohr

\subsection{Flüssigkeiten und Gase}
Dichte $\rho = \frac{m}{V}$\\
%TODO Dichte Süßwasser $ \approx \rho (T) = \rho_{\text{max}} -7 \cdot 10^{-3}(T-4)^2 $, T in °C\\
Normalkraft $\v F_N$ senkrecht zur Oberfläche A erzeugt Druck $p = \frac{F_N}{A}$\\
Schweredruck: $p_s = \rho_{\text{Fl}}\cdot h\cdot g$\\
%TODO Formel hydraulischer Lift? VL19
Kompressibilität $\kappa = -\frac{1}{p}\cdot \frac{\Delta V}{V} \rightarrow \frac{\delta V}{V}=-\kappa\cdot \delta p$\\
Kompressionsmodul K = $\frac{1}{\kappa}$\\
Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeit: $v_0 = \sqrt{\frac{dp}{d\rho}} = \sqrt{\frac{1}{\rho\kappa}}$\\
Gewicht pro Volumen $\gamma = \rho g$, Einheit [$\gamma$] = [$\frac{N}{m^3}$]\\ zum Beispiel: $\gamma_{\text{Wasser}} = 998\frac{kg}{m^3}\cdot 9.807\frac{m}{s^2} = 9790 \frac{N}{m^2}$\\
%TODO evtl Tabelle Dichten und Schallgeschwindigkeiten
Auftriebskraft: $F_A = \rho_{\text{Fl}}\cdot g\cdot V_K$ mit Volumen $V_K$\\
$V_{\text{Verdrängt }} = \frac{\rho_K}{\rho_{Fl}}\cdot V_K$; Einsinken bis $m_v = m_k$\\
$\rho_k < $ (=) [$>$]$ \rho_{\text{Fl}}$: Körper schwimmt (schwebt) [sinkt]\\ %EINE ZEILE
%$\rho_k < \rho_{\text{Fl}}$: Körper schwimmt\\
%$\rho_k = \rho_{\text{Fl}}$: Körper schwebt\\
%$\rho_k > \rho_{\text{Fl}}$: Körper sinkt\\
Oberflächenspannung $\sigma = \frac{F}{L} = \frac{dE}{dA}$ (auch $\gamma$)\\
zum Beispiel $\sigma_{\text{Wasser}} =$ 0.073 $\frac{N}{m}$\\
Kapillarspannung $p_{\text{kap}} = \sigma(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2})$\\
kreisrunde Kapillare: $p_{\text{kap}} = \frac{2\sigma}{r}\cos (\phi)$, mit Kontaktwinkel $\phi$ $\Leftrightarrow p_S = \rho\cdot g\cdot h_{\text{kap}}$\\
%TODO Steighöhe $h_{\text{kap}} = \frac{2\sigma}{\rho gr}\cos(\phi}$\\
%TODO Bild benetzend oder nicht
\subsection{Strömende Flüssigkeiten}
$\textbf{laminare Strömung:}$ kleine Geschwindigkeiten, große innere Reibung, geringe Reibung mit Wänden\\
$\textbf{turbulente Strömung:}$ große Geschwindigkeiten, geringe innere Reibung, hohe Reibung mit Wänden\\
Kontinuitätsgleichung für inkompressible Flüssigkeit: $A_1\cdot v_1 = A_2\cdot v_2$, mit Querschnittsfläche A\\
Volumenstrom $\dot V = \frac{dV}{dt} = A\cdot v$ ist konstant\\
%TODO evtl mit Masse des Volumenelements
Bernoulligleichung: $p + \rho\cdot g\cdot h + \frac{1}{2}\cdot \rho\cdot v^2 =$ const., mit geodätischer Höhe h\\
Hydrodynamisches Paradoxon: Gleichgewicht bei $mg = \iffalse $p_{\text{atm}}\cdot A - p_1\cdot A =$ \fi
\frac{1}{2} \rho  v^2  A$\\ 

ideale Gasgleichung: $ \fr{\rho _0}{P_0} = \fr{M}{RT}$\\
Luftdruck: $p(h) = 1013hPa\cdot\exp{-\frac{h}{h_s}}$, mit $h_s = \frac{RT}{Mg} = 8428m$\\

Kraft bei linearem Geschwindigkeitsprofil: $F = \eta\cdot A\cdot\frac{v}{z}$, mit Abstand z\\
Viskosität $\eta$ [$Pa\cdot s$] (stark Temperaturabhängig)\\

Strömung einer viskosen Flüssigkeit durch ein Rohr: \\$v(r) = \frac{p_1-p_2}{4\cdot\eta\cdot l}\cdot(R^2-r^2)$, v steigt parabelförmig zur Mitte hin an\\
%Volumenstrom: $ \dot V =$ $\frac{\pi\cdot (p_1-p_2)}{2\cdot\eta\cdot l}\cdot\lfloor R^2\int_0^R r\cdot dr - \int_0^Rr^3\cdot dr\rfloor =$
%$\frac{\pi\cdot(p_1-p_2)}{2\cdot\eta\cdot l}\cdot \lfloor \frac{R^4}{2}-\frac{R^4}{4}\rfloor $\\ $\rightarrow$ 
Gesetz von Hagen-Poiseuille: $\dot V  = \frac{\pi\cdot(p_1-p_2)}{8\cdot\eta\cdot l}\cdot R^4$ (Volumenstrom für laminare Strömung)\\

Reynolds Zahl: $R_e = \frac{v \cdot\rho \cdot L}{\eta}$ mit L: char. Länge/Durchm. des Körpers:\\ 
1) für $R_e >> 1$: Newtonsches Reibungsgesetz $F = c_W \cdot A \cdot \frac{\rho\cdot v^2}{2}$\\
2) für $R_e < 1$: Stokessches Reibungsgesetz $F = b\cdot v$\\
Rein laminare Strömung bei $R_e \leq 0.1$\\

\vspace{-8mm}
\section{Thermodynamik}
Beschreibung von Vielteilchensystemen durch Mittelung\\

Wärmemenge Q bei Erwärmung: $Q = C_p\cdot (T_2 - T_1)$\\ mit $C_p =$ Wärmekapazität in $\frac{J}{K}$\\
Gaskonstante: $R = C_{\text{p(mol)}} - C_{\text{v(mol)}}$, bzw. $n R = C_p - C_p$\\ mit Wärmekapazität $C_p$ bei isobarer, $C_v$ bei isochorer Zustandsänderung\\
spezifische Wärmekapazität $c = \frac{C}{m} = \frac{\Delta Q}{\Delta T\cdot m}$, mit Wärmezufuhr $\Delta Q$, Temperaturerhöhung $\Delta T$, Masse des Körpers $m$\\
%Wärmekapazität bei konstantem Druck (ideales Gas): $C_p = pV = n RT$\\

Zustandsgleichung des idealen Gases: $\rho\cdot V  = n \cdot R\cdot T = N\cdot k_B\cdot T$, mit $n$ Stoffmenge in Mol, Gaskonstante $R$ %= 8.314 $\frac{J}{mol\cdot K}$
, Anzahl der Gasatome $N$\\%$k_B = \frac{R}{N_{\text{Av}}} = 1.381\cdot 10^{-23}$ Boltzmannkonstante\\
\\Kinetische Gastheorie $pV = Nm\langle v_z^2 \rangle$\\
%TODO evtl VL 21 S6 oben
mittlere kin. Energie der Teilchen eines idealen Gases $\bar{E}_{\text{kin}} = \frac{3}{2}k_B T$\\ % Wir haben keine Freiheitsgrade eingeführt nur $3/2k_B$ angenommen
Gesamte Translationsenergie eines idealen Gases: $\frac{3}{2}\frac{RT}{M}$\\
$W = -\int_{V_1}^{V_2}pdV$\qquad$\Delta U = \int_{T_1}^{T_2}CdT$

\subsection{Hauptsätze der Thermodynamik}
\begin{itemize}
\item[0.] Zwei Körper im thermischen Gleichgewicht zu einem dritten\\ $\rightarrow$ Alle stehen untereinander im Gleichgewicht\\
\item[1.] $\Delta U = \Delta Q + \Delta W \rightarrow $ Es gibt kein Perpetuum mobile erster Art - Maschine mit $>$100\% Wirkungsgrad\\
$\textbf{Verschiedene Möglichkeiten für Zustandsänderung:}$\\
%TODO BESSERE LISTE %TODO
$\textbf{a)}$ Isobarer Prozess, $p =$ const.\\ $\rightarrow$ im idealen Gas ist $C_p$ konstant $\Rightarrow Q_{12} = C_p \Delta T$\\
$\textbf{b)}$ Isochorer Prozess: $V =$ const.\\ $\rightarrow$ im idealen Gas ist $C_v$ konstant $\Rightarrow Q_{12} = \Delta U$\\
$\textbf{c)}$ Isothermer Prozess: $T =$ const.\\ $\Rightarrow$ $W_{12} = -Q_{12}$ %Umsetzung der Wärmezufuhr in Arbeit $\Rightarrow W_{12} = \\$
$ =n RT \ln\frac{V_1}{V_2}$
\\Freiwerdende Wärme: $Q_{12} = -W_{12}$\\
$\textbf{d)}$ Adiabatischer Prozess: $\Delta Q = 0$\\
%TODO Isochorer Prozess, Isothermer Prozess, adiabatischer Prozess verbessern\\
In differentieller Schreibweise: $\partial U = \partial W + \partial Q $\\
\item[2.] Thermische Energie ist nicht in beliebigem Maße in andere Energiearten umwandelbar. $\eta < 1$
\item[3.] Nernst'sches Theorem: $\lim_{T \rightarrow 0} S(T) = 0$ (Entropie bei 0 K ist 0)\\
\end{itemize}

%TODO Formeln mit $\propto$
%TODO evtl VL22 S9 unten
%TODO INHALTSVERZEICHNIS: Grundlagen; Das ideale Gas; Zustandsänderungen: Hauptsätze der Thermodynamik; reversible und irreversible Prozesse, Entropie; thermodynamische Maschinen
%TODO Adiabatengleichung
%\subsection{Zustandsänderungen: Hauptsätze der Thermodynamik II}

\subsection{Zustandsänderungen, Thermodynamische Systeme}
Vom System geleistete Arbeit: $\partial W = -F \cdot ds = -p \cdot A \cdot ds = -p \cdot dV$\\
Adiabatengleichung $p\cdot V^\kappa =$ const., mit Adiabatenexponent $\kappa$ = ($\frac{C_p}{C_v}$)\\
isotherme Zustandsänderung: $p \cdot V =$ const.\\
Carnotscher Kreisprozess: Idee der Wärmekraftmaschine\\
Wirkungsgrad $\eta = \frac{\vert W\vert}{Q_{12}}$, $\eta_{\text{Carnot}} = \frac{T_2-T_1}{T_2} < 1$\\
%\subsection{Zustandsänderungen, Thermodynamische Systeme}
\subsection{Reversible und irreversible Prozesse}
$\textbf{Reversibler Prozess:}$ z.B. Carnot- oder Stirling- Motor $\rightarrow$ Abwechselnde Kompression/Expansion eines Gases führt zu Temperaturveränderungen %Wärmekraftmaschine, die durch abwechselnde Kompression und Expansion eines Gases als Wärmepumpe/Kältemaschine (bzw. Motor bei externer Wärmeeinwirkung) genutzt werden kann.\\
$\textbf{Irreversibler Prozess:}$ $\eta_{\text{irreversibel}} < \eta_{\text{Carnot}}$ $\rightarrow$ Es kann nicht mehr in den Ausganszustand zurückgegangen werden\\

Entropie S: $\partial S = \frac{dQ_{\text{rev}}}{T} \qquad \Delta S = \int \frac{dQ_{\text{rev}}}{T}$\\
Für ideales Gas: $\Delta S = n\cdot C_v\cdot\ln\frac{T_2}{T_1} + n\cdot R\cdot\ln\frac{V_2}{V_1}$\\
\subsubsection{Das reale Gas}
1. Endliche Ausdehnung der Moleküle: $V_{\text{real}} = V_{\text{ideal}} + nb$\\ mit Eigenvolumen von 1 Mol: b\\
2. Anziehung: van-der-Waals-Kraft: $p_{\text{real}} = p_{\text{ideal}} - a(\frac{n^2}{V^2})$\\ mit Materialkonstante a, welche die vdW-Kräfte berücksichtigt \\$\rightarrow$ Druckreduktion\\

van-der-Waals-Gasgleichung: $(p+a\frac{n^2}{V^2})\cdot(V-nb) = n\cdot R\cdot T$\\
\\
Wärmeleitung: $\dot Q = \frac{dQ}{dt} = - \lambda  A \frac{dT}{dx}$\\

\pagebreak
\vspace{-8mm}
\section{Quantenmechanik}
%Welle-Teilchen-Dualismus
%Wellenfunktion
%Unschärferelation
%Schrödingergleichung
%Lösung der Schrödingergleichung für verschiedene Potentiale

Wärmestrahlung: Gesetz von Stefan und Boltzmann: 
Strahlungsleistung Schwarzkörper $P_s$ eines schwarzen Körpers = $ P_S = \sigma\cdot A\cdot T^4 $\\
Stefan-Boltzmann-Konstante: $\sigma = 5.670 \cdot 10^{-8}\frac{W}{m^2\cdot K^4}$\\
effektiv abgestrahlte Leistung: $\Delta P_s = \sigma\cdot A (T_1^4-T_2^4)$\\

Für nichtideale Körper $\Delta P_s = \varepsilon\sigma\cdot A (T_1^4-T_2^4)$\\
Wien'scher Verschiebungssatz: $\lambda_{max} = \frac{2897,8\mu\cdot K}{T}$\\

\subsection{Welle-Teilchen-Dualismus}
Der Photoeffekt: Metallplatte entlädt sich durch Beleuchtung mit kurzwelligem Licht\\
Um ein Elektron abzulösen ist Austrittsarbeit $W_A = E_{\text{ph}} - E_{\text{kin}}$ nötig\\
%Energie eines Photons: $E_{ph} = h\cdot f$ mit f = Frequenz des Lichts, h = Plank'sches Wirkungsquantum = $6.626\cdot 10^{-34}Js = 4.136\cdot 10^{-15}eVs$\\

Teilchen haben Welleneigenschaften\\
de Broglie-Wellenlänge $p = \frac{h}{\lambda} \Rightarrow \lambda = \frac{h}{p}$\\
Materialwellen: $\hbar = \frac{h}{2\pi} \Rightarrow p = \hbar 2\pi \frac{1}{\lambda}$\\
aus der Wellenmechanik: $2\pi\frac{1}{\lambda} = k \rightarrow \v p = \hbar \v k$\\
Impuls des Teilchens wird mit der Wellenzahl verknüpft\\

\subsection{Wellenfunktion}
Ansatz: eben Welle für ein Teilchen mit Masse $m_0$, das sich mit der Geschwindigkeit $v$ bewegt: $E = \hbar\omega$, $p =\hbar k$ $\rightarrow \psi(x,t) = Ce^{i(\omega t-kx)}$\\
$\psi(x,t) = Ce^{i(\frac{E}{\hbar}t - \frac{p}{h}x)}$ Die Phase ist das Argument des Imaginärteils der Exponentialfunktion!\\
Phasengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, bei der die zeitliche Änderung der Phase gleich 0 ist:
 $\frac{d}{dt}(\omega t - kx) = 0 \Rightarrow \omega - kv_{\text{ph}} = 0 \Rightarrow v_{\text{ph}} = \frac{\omega}{k}$\\
%Photonen: $\v_{\text{ph}} = \frac{\omega}{k}$ 
%$= \frac{w\pi f}{\frac{2\pi}{\lambda}} = \frac{E}{p} = \frac{\frac{1}{2}mv_r^2}{mv_r} = \frac{1}{2}v_r $\\ $Massebehaftete Teilchen, nicht relativistisch, S25 VL23\\
Phasengeschwindigkeit $V_{\text{ph}}  \leftrightarrow$ Ausbreitungsgeschwindigkeit $\frac{1}{2}v_T$\\
$y(x,t) = 2y_0 \sin(kx-\omega t)\cos(\Delta kx - \Delta \omega t)$\\
\subsection{Unschärferelation}
Ansatz: $\psi(x,t)  \int_{k_o - \frac{\Delta k}{2}}^{k_0 + \frac{\Delta k}{2}} C(k)e^{i(\omega t - kx)} dk$
Lösung: $\psi(x,t) = 2C \frac{\sin(u\frac{\Delta k}{2}}{u}$\\
Teil der Lösung: $u = ( (\frac{d\omega}{dk})_{k0}\cdot t-x$ mit $\nu_{gr} = (\frac{d\omega}{dk}_{k0}$\\
$\Delta x\cdot \Delta k = 2\pi$\\
Breite der Wellenfunktion $\Delta x$ bei $\Delta k$ mit $p = \hbar m$\\
$\Delta x\cdot \Delta p_x \geq \hbar$\\
Genauigkeit der Frequenzmessung hängt von der Lebensdauer des Zustandes ab: $\Delta \omega = \frac{1}{\tau}$\\
Zur Deutung von $\psi(x,t)$:
"Wahrscheinlichkeitsdichte" $|\psi(x,t)|^2$\\ $\psi(x,t)$ muss NORMIERT werden, da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten zum Auftreten des Teilchens an allen Orten x und Zeiten t gleich 1 ist (100\% !)\\

Allgemein im Raum:$\iiint$\\

\subsection{Schrödingergleichung}
Erwin Schrödinger (1887 - 1961)\\

Räumliche und zeitliche Entwicklung von $\psi$ und damit der Wahrscheinlichkeit $W(\v x, t) = |\psi(\v x, t)|^2$\\
Muss DGL erster Ordnung sein (damit an $t_0$ durch Anfangsbedingung bestimmt), muss homogen sein, Lösungen sollten harmonische Wellen sein, damit man sie Superpositionieren kann (z.B. für Wellenpakete)\\

Ansatz:$\psi(x,t) = Ae^{i(kx-\omega t)}$\\
$\psi(x,t) = Ae^{\frac{i}{\hbar} (p_x x - E_{\text{kin}} t) }$ Ziel ist DGL für $\psi$\\S
Stationärer Fall: E hängt nicht von t ab: $\psi(x) = Ae^{ikx}$\\
$E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}} = E$ $E_{\text{kin}} = \frac{p^2}{2m} = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}+ E_{\text{pot}} = E$\\
Zweimaliges Differenzieren von $\psi$:\\
$\frac{\partial^2\psi(x)}{\partial x^2} = -k^2\psi(x)$\\

Stationäre Schrödingergl. in einer Dim.: $-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+E_{\text{pot}} = E\psi(x)$\\

Verallgemeinerung auf 3 Dimensionen: 
$ - \frac{\hbar^2}{2m}\Delta \psi + E_{\text{pot}} \psi = E \psi$\\
mit Laplaceoperator $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}$\\ und Hamiltonoperator $\hat H = - \frac{\hbar^2}{2m}\Delta + E_{\text{pot}}$\\

Zeitabhängigkeit : $\frac{d\psi(x,t)}{dt} = - \frac{i}{\hbar}E_{\text{kin}}\psi$\\
Von vorher: $\Rightarrow E_{\text{kin}} = \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\cdot( - \frac{\hbar^2}{2m}$\\

Zeitabhängige Schrödingergleichung: $i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}= \hat H \psi$\\
$\hat H \psi = E \psi$\\


\subsection{Lösung der Schrödingergleichung für verschiedene Potentiale}
%TODO Evtl S14
Für $E_{\text{pot}} = 0$: $\bar H \psi = i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t}$\\
Für unendlichen Potentialtop: $ - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial x} + E_{\text{pot}}\psi = E\psi$\\
Allgemeiner Lösungsansatz: $\psi = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}$\\
Mit Randbedinungen: $\frac{\partial ^2 \psi}{\partial x^2}$ definiert und $\psi = 0$ bei $x=0 und x=a$\\

Ergebnis: $0 = 2Ai\sin(ka)$, $ka = n\pi$; $n = 1,2,3,...$ und $\psi = 2Ai\sin(\frac{n\pi}{a}x)$\\

Wichtige Eigenschaft: Die Energien $E_n$ sind diskret\\

Coulombsches Gesetz: $E_{\text{pot}}(r) = \frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{1}{r}$\\

\subsubsection{Unendlicher Potentialtopf}
$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}$ muss definiert sein\\
$\psi$ muss stetig und diff'bar sein bei x = a und x = 0\\
$\rightarrow$ $\psi = 0$ bei x = 0 und x = a\\

Ergebnis: $0 = 2Ai\sin(ka)$, $ka = n\pi$; n = 1,2,3,...\\
$\psi = 2Ai\sin(\frac{n\pi}{a}x)$

\end{multicols*}
\end{document}