From a2846b6731eb99b4117d3de04c6ab96d76223270 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: kanition <68691995+kanition@users.noreply.github.com> Date: Sat, 8 Mar 2025 02:36:24 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?#156=20Beckmann=E7=9A=84Lambda?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- bibliography.bib | 16 ++++++- content/chap0804.tex | 6 +-- content/chap08ex01.tex | 96 +++++++++++++++++++++++++++--------------- 3 files changed, 80 insertions(+), 38 deletions(-) diff --git a/bibliography.bib b/bibliography.bib index 5014883..ffc03d9 100644 --- a/bibliography.bib +++ b/bibliography.bib @@ -5916,4 +5916,18 @@ @inproceedings{10.2312/egs.20011003 publisher = {Eurographics Association}, issn = {1017-4656}, doi = {/10.2312/egs.20011003} -} \ No newline at end of file +} + +@article{Heitz2018GGX, + author = {Eric Heitz}, + title = {Sampling the GGX Distribution of Visible Normals}, + year = {2018}, + month = {11}, + day = {30}, + journal = {Journal of Computer Graphics Techniques (JCGT)}, + volume = {7}, + number = {4}, + pages = {1-13}, + url = {http://jcgt.org/published/0007/04/01/}, + issn = {2331-7418} +} diff --git a/content/chap0804.tex b/content/chap0804.tex index 8c54ae1..fa61754 100644 --- a/content/chap0804.tex +++ b/content/chap0804.tex @@ -169,7 +169,9 @@ \subsection{微面分布函数}\label{sub:微面分布函数} }; \end{lstlisting} -微面曲面的一个重要特性由分布函数$D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})$表示， +微面曲面的一个重要特性由分布函数$D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})$表示 +\sidenote{译者注：微面模型涉及的数学推导较为复杂，因此原书直接介绍了一些理论结果（例如公式）。 +如果读者想进一步了解其原理细节，可以参考笔者补充的\refsec{译者补充：微面模型相关推导}。}， 它给出了曲面法线为${\bm\omega}_{\mathrm{h}}$的微面的微分面积 （回想\reffig{8.12}展示了曲面的粗糙度是怎样和微面法线分布函数相联系的）。 在pbrt中，微面分布函数和\refvar{BxDF}{}在相同的BSDF坐标系下定义； @@ -233,8 +235,6 @@ \subsection{微面分布函数}\label{sub:微面分布函数} 而$y$轴的为$\alpha_y$，则中间朝向的$\alpha$值可用通过这些值构造的椭圆来插值。 对应的各向异性微面分布函数为 -\sidenote{译者注：\refsec{译者补充：微面模型相关推导}， - 给出了本节微面分布模型满足规范性的证明。} \begin{align}\label{eq:8.10} D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})=\frac{\mathrm{e}^{-\left(\frac{\cos^2\varphi_{\mathrm{h}}}{\alpha_x^2}+\frac{\sin^2\varphi_{\mathrm{h}}}{\alpha_y^2}\right)\tan^2\theta_{\mathrm{h}}}}{\pi\alpha_x\alpha_y\cos^4\theta_{\mathrm{h}}}\, . \end{align} diff --git a/content/chap08ex01.tex b/content/chap08ex01.tex index a83d773..0e94683 100644 --- a/content/chap08ex01.tex +++ b/content/chap08ex01.tex @@ -590,10 +590,10 @@ \subsubsection*{Smith微面} 设它在直角坐标系下和球面坐标系下具体的分量为 \begin{align} {\bm\omega}_{\mathrm{h}}=(x_{\mathrm{h}},y_{\mathrm{h}},z_{\mathrm{h}}) - =(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)\, , + =(\sin\theta_{\mathrm{h}}\cos\varphi_{\mathrm{h}},\sin\theta_{\mathrm{h}}\sin\varphi_{\mathrm{h}},\cos\theta_{\mathrm{h}})\, , \end{align} -其中$\theta$为天顶角（即${\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}}=\cos\theta$）， -$\varphi$为方位角 +其中$\theta_{\mathrm{h}}$为天顶角（即${\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}}=\cos\theta_{\mathrm{h}}$）， +$\varphi_{\mathrm{h}}$为方位角 \sidenote{参见\reffig{5.ex01}。}；则该处附近的面元可以近似为以下平面 \begin{align} x_{\mathrm{h}}x+y_{\mathrm{h}}y+z_{\mathrm{h}}z=C\, . @@ -608,7 +608,7 @@ \subsubsection*{Smith微面} {\bm s}({\bm\omega}_{\mathrm{h}})=(x_s,y_s) =\left(-\frac{x_{\mathrm{h}}}{z_{\mathrm{h}}}, -\frac{y_{\mathrm{h}}}{z_{\mathrm{h}}}\right) - =-\tan\theta(\cos\varphi,\sin\varphi) + =-\tan\theta_{\mathrm{h}}(\cos\varphi_{\mathrm{h}},\sin\varphi_{\mathrm{h}}) \end{align} 为曲面在该处的斜率 \sidenote{原文slope，这里作者想表达的是$z$对$x$和$y$的偏导数， @@ -626,35 +626,35 @@ \subsubsection*{Smith微面} 公式\sidenote{见第\refsec{球体}。}，有 \begin{align}\label{eq:08-ex01-D_sphere} D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}} - =D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\sin\theta\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi\, . + =D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\sin\theta_{\mathrm{h}}\mathrm{d}\theta_{\mathrm{h}}\mathrm{d}\varphi_{\mathrm{h}}\, . \end{align} 斜率分布方面，其积分也有换元关系 \sidenote{这是微积分中常用的换元方法，此处我们不探究其使用条件，读者可参考相关教材。} \begin{align}\label{eq:08-ex01-Pxy-Jacobian} P_{xy}(x_s,y_s)\mathrm{d}x_s\mathrm{d}y_s - =P_{xy}(x_s,y_s)|J|\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi\, , + =P_{xy}(x_s,y_s)|J|\mathrm{d}\theta_{\mathrm{h}}\mathrm{d}\varphi_{\mathrm{h}}\, , \end{align} -其中$J$为$(x_s,y_s)$对参数$(\theta,\varphi)$的雅可比矩阵 +其中$J$为$(x_s,y_s)$对参数$(\theta_{\mathrm{h}},\varphi_{\mathrm{h}})$的雅可比矩阵 \begin{align} - J=\displaystyle\frac{\partial(x_s,y_s)}{\partial(\theta,\varphi)} + J=\displaystyle\frac{\partial(x_s,y_s)}{\partial(\theta_{\mathrm{h}},\varphi_{\mathrm{h}})} =\displaystyle\left[\begin{array}{cc} - \displaystyle\frac{\partial x_s}{\partial \theta} & - \displaystyle\frac{\partial x_s}{\partial \varphi} \\ - \displaystyle\frac{\partial y_s}{\partial \theta} & - \displaystyle\frac{\partial y_s}{\partial \varphi} + \displaystyle\frac{\partial x_s}{\partial \theta_{\mathrm{h}}} & + \displaystyle\frac{\partial x_s}{\partial \varphi_{\mathrm{h}}} \\ + \displaystyle\frac{\partial y_s}{\partial \theta_{\mathrm{h}}} & + \displaystyle\frac{\partial y_s}{\partial \varphi_{\mathrm{h}}} \end{array}\right] =\displaystyle\left[\begin{array}{rr} - \displaystyle -\frac{\cos\varphi}{\cos^2\theta} & - \displaystyle \tan\theta\sin\varphi \\ - \displaystyle -\frac{\sin\varphi}{\cos^2\theta} & - \displaystyle -\tan\theta\cos\varphi + \displaystyle -\frac{\cos\varphi_{\mathrm{h}}}{\cos^2\theta_{\mathrm{h}}} & + \displaystyle \tan\theta_{\mathrm{h}}\sin\varphi_{\mathrm{h}} \\ + \displaystyle -\frac{\sin\varphi_{\mathrm{h}}}{\cos^2\theta_{\mathrm{h}}} & + \displaystyle -\tan\theta_{\mathrm{h}}\cos\varphi_{\mathrm{h}} \end{array}\right]\, , \end{align} 于是雅可比行列式为 \begin{align}\label{eq:08-ex01-Jacobian-slope-normals} - |J|=\left(\frac{\partial x_s}{\partial \theta}\frac{\partial y_s}{\partial \varphi} - -\frac{\partial x_s}{\partial \varphi}\frac{\partial y_s}{\partial \theta}\right) - =\frac{\tan\theta}{\cos^2\theta}\, . + |J|=\left(\frac{\partial x_s}{\partial \theta_{\mathrm{h}}}\frac{\partial y_s}{\partial \varphi_{\mathrm{h}}} + -\frac{\partial x_s}{\partial \varphi_{\mathrm{h}}}\frac{\partial y_s}{\partial \theta_{\mathrm{h}}}\right) + =\frac{\tan\theta_{\mathrm{h}}}{\cos^2\theta_{\mathrm{h}}}\, . \end{align} 注意到$P_{xy}({\bm s})$应满足规范化约束， 即它在$x_s\in(-\infty,+\infty),y_s\in(-\infty,+\infty)$范围内非负，且有 @@ -665,17 +665,17 @@ \subsubsection*{Smith微面} 将上式和\refeq{08ex01-McrofacetDistributionNormalization}比对，可得 \begin{align}\label{eq:08-ex01-P2D} P_{xy}(x_s,y_s)\mathrm{d}x_s\mathrm{d}y_s= - D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\cos\theta\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\, . + D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\cos\theta_{\mathrm{h}}\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\, . \end{align} 联立\refeq{08-ex01-D_sphere}、\refeq{08-ex01-Pxy-Jacobian}和\refeq{08-ex01-P2D}可得 \begin{align} - P_{xy}(x_s,y_s)|J|\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi - =D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\sin\theta\cos\theta\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi\, , + P_{xy}(x_s,y_s)|J|\mathrm{d}\theta_{\mathrm{h}}\mathrm{d}\varphi_{\mathrm{h}} + =D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\sin\theta_{\mathrm{h}}\cos\theta_{\mathrm{h}}\mathrm{d}\theta_{\mathrm{h}}\mathrm{d}\varphi_{\mathrm{h}}\, , \end{align} 代入\refeq{08-ex01-Jacobian-slope-normals}后可知斜率分布与法线分布的关系为 \begin{align}\label{eq:08-ex01-relation-P2D-McrofacetDistribution} - P_{xy}(x_s,y_s)=\frac{1}{|J|}D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\sin\theta\cos\theta - =D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\cos^4\theta\, . + P_{xy}(x_s,y_s)=\frac{1}{|J|}D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\sin\theta_{\mathrm{h}}\cos\theta_{\mathrm{h}} + =D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\cos^4\theta_{\mathrm{h}}\, . \end{align} 利用前面的结果，我们尝试将积分域从法线分布空间转化到斜率分布空间。 @@ -696,7 +696,7 @@ \subsubsection*{Smith微面} & \int\limits_{\varOmega}\max({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}},0) D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\nonumber \\ = & \int\limits_{\varOmega}\frac{\max({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}},0)} - {\cos\theta}D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\cos\theta\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\nonumber \\ + {\cos\theta_{\mathrm{h}}}D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\cos\theta_{\mathrm{h}}\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\nonumber \\ = & \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\max({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}},0)} {{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}}} @@ -706,7 +706,7 @@ \subsubsection*{Smith微面} \chi(-x_sx_{\mathrm{o}}-y_sy_{\mathrm{o}}+z_{\mathrm{o}}) P_{xy}(x_s,y_s)\mathrm{d}x_s\mathrm{d}y_s\, . \end{align} -为了简化后续推导，这里我们不妨设出射方向${\bm\omega}_{\mathrm{o}}$的方位角$\varphi=0$，于是 +为了简化后续推导，这里我们不妨设出射方向${\bm\omega}_{\mathrm{o}}$的方位角$\varphi_{\mathrm{o}}=0$，于是 \begin{align} {\bm\omega}_{\mathrm{o}}=(\sin\theta_{\mathrm{o}},0,\cos\theta_{\mathrm{o}})\, . \end{align} @@ -824,7 +824,7 @@ \subsubsection*{Smith微面} 这是由描述曲面的统计模型和非自相关假设引起的。 现实中的连续曲面往往都有范围很宽的自相关函数。 但\citet{841905}表明忽略自相关性引发的误差仅在观察角度 -满足$\tan\theta>\frac{\sqrt{2}}{2}\sigma$时 +满足$\tan\theta_{\mathrm{o}}>\frac{\sqrt{2}}{2}\sigma$时 才足够明显（$\sigma^2$为斜率的方差），所以通常可以认为 Smith掩模函数可以较为准确地适用于自相关的曲面， 但具有重复性或结构化纹理的材料（例如布料）则不应在建模时忽视这种自相关性。 @@ -1172,10 +1172,10 @@ \subsection{掩模函数的拉伸不变性}\label{sub:掩模函数的拉伸不 \subsubsection*{各向同性斜率分布的形状不变性} 典型的各向同性参数化斜率分布依赖粗糙度参数$\alpha$，改变$\alpha$等价于拉伸分布而不改变其形状。 -这种情形下，斜率分布只决定于斜率大小$\displaystyle\tan\theta=\sqrt{x_s^2+y_s^2}$（也即 -微面法线天顶角正切值）与$\alpha$的比例$\displaystyle\frac{\tan\theta}{\alpha}$： +这种情形下，斜率分布只决定于斜率大小$\displaystyle\tan\theta_{\mathrm{h}}=\sqrt{x_s^2+y_s^2}$（也即 +微面法线天顶角正切值）与$\alpha$的比例$\displaystyle\frac{\tan\theta_{\mathrm{h}}}{\alpha}$： \begin{align} - P_{xy}(x_s,y_s,\alpha)=\frac{1}{\alpha^2}f\left(\frac{\sqrt{x_s^2+y_s^2}}{\alpha}\right)=\frac{1}{\alpha^2}f\left(\frac{\tan\theta}{\alpha}\right)\, , + P_{xy}(x_s,y_s,\alpha)=\frac{1}{\alpha^2}f\left(\frac{\sqrt{x_s^2+y_s^2}}{\alpha}\right)=\frac{1}{\alpha^2}f\left(\frac{\tan\theta_{\mathrm{h}}}{\alpha}\right)\, , \end{align} 其中$f$是定义分布形状的一维函数。这样的斜率分布具有\keyindex{形状不变性}{shape invariant}{}：对于任意系数$\lambda>0$， \begin{align} @@ -1189,7 +1189,7 @@ \subsubsection*{各向同性斜率分布的形状不变性} 且不会改变光线遮挡关系，所以掩模函数只决定于二者的比值 即$\displaystyle a=\frac{1}{\alpha\tan\theta_{\mathrm{o}}}$. 这也是为什么具有形状不变性的Beckmann-Spizzichino模型和GGX模型各自对应的函数$\Lambda$都只依赖于$a$的原因。 -具体而言，对于Beckmann-Spizzichino模型，其斜率分布为 +具体而言，对于Beckmann-Spizzichino模型\citep{1987BeckmannSpizzichino}，其斜率分布为 \begin{align} P_{xy}(x_s,y_s,\alpha)=\frac{1}{\pi\alpha^2}\exp\left(-\frac{x_s^2+y_s^2}{\alpha^2}\right)\, . \end{align} @@ -1197,10 +1197,10 @@ \subsubsection*{各向同性斜率分布的形状不变性} 并取正向的法线\sidenote{回顾\refeq{08-ex01-normals-by-slope}的批注。}，可得 \begin{align} D({\bm\omega}_{\mathrm{h}},\alpha)=\frac{\chi({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}})} - {\pi\alpha^2\cos^4\theta}\exp\left(-\frac{\tan^2\theta}{\alpha^2}\right)\, . + {\pi\alpha^2\cos^4\theta_{\mathrm{h}}}\exp\left(-\frac{\tan^2\theta_{\mathrm{h}}}{\alpha^2}\right)\, . \end{align} 最后结合\refeq{08-ex01-condition-1d-slope}和\refeq{08-ex01-Lambda-function}，得到 -\begin{align} +\begin{align}\label{eq:08-ex01-Beckmann-Lambda} \Lambda({\bm\omega}_{\mathrm{o}},\alpha)= &\frac{1}{\cot\theta_{\mathrm{o}}} \int_{\cot\theta_{\mathrm{o}}}^{+\infty}(x_s-\cot\theta_{\mathrm{o}})P_x(x_s)\mathrm{d}x_s\nonumber \\ =&\frac{1}{\cot\theta_{\mathrm{o}}}\int_{\cot\theta_{\mathrm{o}}}^{+\infty} @@ -1228,7 +1228,35 @@ \subsubsection*{各向同性斜率分布的形状不变性} \left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}-\frac{\sqrt{\pi}}{2}\mathrm{erf}(a)\right)\nonumber\\ =&\frac{1}{2}\left(\mathrm{erf}(a)-1+\frac{\mathrm{e}^{-a^2}}{\sqrt{\pi}a}\right)\, , \end{align} -其中误差函数$\displaystyle\mathrm{erf}(a)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{a}\mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{d}x$. +其中使用了误差函数$\displaystyle\mathrm{erf}(a)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{a}\mathrm{e}^{-x^2}\mathrm{d}x$. +由于该模型计算开销大，\citet{10.5555/2383847.2383874}提出了对其 +掩模函数$G_1({\bm\omega}_{\mathrm{h}},{\bm\omega}_{\mathrm{o}})$进行简化近似计算的方法， +代入\refeq{08-ex01-Smith-masking-function}后相当于取 +\begin{align} + \Lambda({\bm\omega}_{\mathrm{o}},\alpha)\approx\left\{\begin{array}{l} + \displaystyle\frac{1-1.259a+0.396a^2}{3.535a+2.181a^2},\quad\text{若}a>1.6, \\ + 0,\quad\text{其他}. + \end{array}\right. +\end{align} + +类似地，对于Trowbridge-Reitz模型\citep{Trowbridge:75}， +也称GGX分布\sidenote{根据\citet{Heitz2018GGX}的说法， +“GGX”表示“ground glass unknown”，未知的磨砂玻璃。}\citep{10.5555/2383847.2383874}， +其斜率分布和微面分布函数分别为 +\begin{align} + P_{xy}(x_s,y_s,\alpha)=&\frac{1}{\displaystyle\pi\alpha^2\left(1+\frac{x_s^2+y_s^2}{\alpha^2}\right)^2}\, ,\\ + D({\bm\omega}_{\mathrm{h}},\alpha)=&\frac{\chi({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}})} + {\displaystyle\pi\alpha^2\left(1+\frac{\tan^2\theta_{\mathrm{h}}}{\alpha^2}\right)^2\cos^4\theta_{\mathrm{h}}}\, . +\end{align} +仿照\refeq{08-ex01-Beckmann-Lambda}的推导，可得 +\begin{align}\displaystyle + \Lambda({\bm\omega}_{\mathrm{o}},\alpha)=&\frac{1}{\cot\theta_{\mathrm{o}}}\int_{\cot\theta_{\mathrm{o}}}^{+\infty} + (x_s-\cot\theta_{\mathrm{o}})\left(\int_{-\infty}^{+\infty} + \frac{1}{\displaystyle\pi\alpha^2\left(1+\frac{x_s^2+y_s^2}{\alpha^2}\right)^2}\mathrm{d}y_s\right)\mathrm{d}x_s\nonumber \\ + =&\frac{1}{\cot\theta_{\mathrm{o}}}\int_{\cot\theta_{\mathrm{o}}}^{+\infty} + (x_s-\cot\theta_{\mathrm{o}}) +\end{align} + \subsection{典型微面分布函数的规范性证明}\label{sub:典型微面分布函数的规范性证明} 本节补充了\refeq{8.10}和\refeq{8.11}所给的 微面分布函数$D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})$满足规范性要求的证明，即证明