formulaire_regul.tex

\documentclass[10pt, twocolumn]{article}
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\title{Formulaire - Regul}

\begin{document}
	\maketitle
	
	\section{Introduction}
		
		Régulateurs de base:
		
		\begin{itemize}
			\item À action manuelle
			\item À action à 2 positions (tout-ou-rien)
			\item À action proportionnelle: $u(t) = K_p \cdot e(t)$
				\begin{itemize}
					\item gain statique (statisme)
					\item instabilité si $K_p$ élevé
				\end{itemize}
		\end{itemize}
		
		Système de régulation automatique:\\
		
		% Img système régul
		
		Deux modes de régulation automatique:
		
		\begin{itemize}
			\item Régulation de correspondance (but: suivre une consigne)
			\item Régulation de maintien (but: maintenir une consigne malgré des perturbations)
		\end{itemize}
		
		Problèmes fondamentaux des systèmes de régulation automatique:
		
		\begin{enumerate}
			\item Stabilité
			\item Précision et rapidité
			\item Dilemme stabilité-précision
		\end{enumerate}
		
		\subsection*{Types de systèmes}
		
			Gain statique:
			\[K=\left.\frac{\lim _{t \rightarrow \infty} y(t)}{\lim _{t \rightarrow \infty} u(t)}\right|_{u(t)=\text { const. }}=\left.\frac{y_{\infty}}{u_{\infty}}\right|_{u(t)=\text { const. }} = \frac{\lim _{s \rightarrow 0} s \cdot Y(s)}{\lim _{s \rightarrow 0} s \cdot U(s)}\]
			
			\begin{itemize}
				\item Système statique: ne dépend que de l'entrée
				\item Système dynamique: dépend de l'entrée présente mais aussi des entrées (sorties) passées
				\item Système linéaire: si obéit au principe de superposition
			\end{itemize}
			
			Dans ce cours: systèmes linéaires, dynamiques, à constantes localisées.
	
	\section*{Modélisation}
		
		Réponses indicielles typiques:
		
		\begin{itemize}
			\item Système à retard pur
			\item Systèmes à modes apériodiques (sans oscillations)
			\item Systèmes à modes oscillatoires et systèmes à déphasage non-minimal (ou «vicieux»)
			\item Systèmes à comportement intégrateur ou dérivateur
		\end{itemize}
		
		Éléments d'un schéma fonctionnel:
		
		\begin{itemize}
			\item Gains
			\item Comparateurs
			\item Intégrateurs
		\end{itemize}
		
		\subsection*{Par équations différentielles}
			Système linéaire dynamique peut être modélisé par:
			
				\begin{itemize}
					\item une équation d'ordre n
					\item n équations différentielles d'ordre 1 (forme canonique: dérivée première dans le membre de gauche)
				\end{itemize}
		
		\subsection*{Par réponse impulsionnelle}
		
			\[y(t)=\int_{-\infty}^{t} g(t-\tau) \cdot u(\tau) \cdot d \tau=g(t) * u(t)\]
			
			avec $g(t)$ : réponse impulsionnelle (de Dirac) du système
		
		\subsection*{Par la fonction de transfert}
		
			Définition:
			
			%\[G(s)=\mathscr{L}\{g(t)\}\]
			\[y(t)=g(t) * u(t) \longrightarrow Y(s)=G(s) \cdot U(s)\]
			
			Forme générale:
			
			\[G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_{m} \cdot s^{m}+b_{m-1} \cdot s^{m-1}+\ldots+b_{1} \cdot s+b_{0}}{a_{n} \cdot s^{n}+a_{n-1} \cdot s^{n-1}+\ldots+a_{1} \cdot s+a_{0}}\]
			
			Forme de Bode:\\
			Coefficients des plus \emph{basses} puissances de $s$ unitaires
			
			\[G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_{0}}{a_{0}} \cdot \frac{1+\frac{b_{1}}{b_{0}} \cdot s+\frac{b_{2}}{b_{0}} \cdot s^{2}+\ldots+\frac{b_{m}}{b_{0}} \cdot s^{m}}{1+\frac{a_{1}}{a_{0}} \cdot s+\frac{a_{2}}{a_{0}} \cdot s^{2}+\ldots+\frac{a_{n}}{a_{0}} \cdot s^{n}}\]
			
			Forme de Bode factorisée:
			
			\[G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=K \cdot \frac{\left(1+s \cdot \tau_{1}^{*}\right) \cdot\left(1+s \cdot \tau_{2}^{*}\right) \cdot \ldots \cdot\left(1+s \cdot \tau_{m}^{*}\right)}{\left(1+s \cdot \tau_{1}\right) \cdot\left(1+\frac{2 \cdot \zeta}{\omega_{n}} \cdot s+\frac{1}{\omega_{n}^{2}} \cdot s^{2}\right) \cdot \ldots\left(1+s \cdot \tau_{n}\right)}\]
			
			Forme de Laplace: \\ 
			Coefficients des plus \emph{hautes} puissances de $s$ unitaires
			
			\[G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_{m}}{a_{n}} \cdot \frac{s^{m}+\frac{b_{m-1}}{b_{m}} \cdot s^{m-1}+\ldots+\frac{b_{0}}{b_{m}}}{s^{n}+\frac{a_{n-1}}{a_{n}} \cdot s^{n-1}+\ldots+\frac{a_{0}}{a_{n}}}\]
			
			Forme de Laplace factorisée:
			
			\[G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_{m}}{a_{n}} \cdot \frac{\left(s-z_{1}\right) \cdot\left(s-z_{2}\right) \cdot \ldots \cdot\left(s-z_{m}\right)}{\left(s-s_{1}\right) \cdot\left(s-s_{2}\right) \cdot \ldots \cdot\left(s-s_{n}\right)}\]
			
			\begin{itemize}
				\item $n$: nombre de pôles (réels ou complexes) $\rightarrow$ ordre du système
				\item $m$: nombre de zéros (réels ou complexes)
				\item $d=n-m$: degré relatif
				\item Type $\alpha$: nombre de pôles à $s=0$ (intégrateurs purs)
			\end{itemize}
			
			Système à retard pur: $ L{\{u(t-T_r)\}} = U(s) \cdot e^{-s\cdot T_r}$ \\
			
			MatLab:
			
			\begin{itemize}
				\item $numG$, $denomG$: vecteurs des coefficients de $s$ (ordre décroissant)
				\item $G = tf(numG, denomG)$: objet «fonction de transfert»
				\item $step(G)$: fonction saut indiciel
			\end{itemize}
		
		\subsection*{Systèmes fondamentaux}
			
			Système fondamental si:
			
				\begin{itemize}
					\item Si d'ordre 1 ou 2 à pôles complexes
					\item Type $\alpha = 0$
					\item N'a pas de zéro $\rightarrow$ Gain statique K infini
				\end{itemize}
				
			\subsubsection*{Système fondamental d'ordre 1}
			
				Forme:
				\[G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{K}{1+s \cdot \tau}=\frac{K}{\tau} \cdot \frac{1}{s+\frac{1}{\tau}}=\frac{k}{s-s_{1}}\]
				
				Équation différentielle:
				\[\tau \cdot \frac{d y}{d t}+y(t)=K \cdot u(t)\]
				
				Réponse à une impulsion de Dirac:
				\[g(t) = k \cdot e^{-t/\tau}\]
				
				Réponse à un saut indiciel:
				\[\gamma(t) = K \cdot (1-e^{-t/\tau}) \cdot \epsilon (t)\]
				
				Mode temporel: $e^{s_1 \cdot t} \cdot \epsilon (t)$
				
			\subsubsection*{Système fondamental d'ordre 2}
				
				\[G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} =\frac{b_{0}}{a_{2} \cdot s^{2}+a_{1} \cdot s+a_{0}}=\frac{k}{(s-s_{1}) \cdot(s-s_{2})}\]
				\[s_{1,2}=-\delta \pm j \cdot \omega_{0}\]
				
				Forme de Laplace:
				\[G(s) = \frac{k}{(s+\delta)^{2}+\omega_{0}^{2}}\ \quad k=\frac{b_0}{a_2}\]
				
				Forme de Bode:
				\[G(s)=\frac{K}{1+\frac{2 \cdot \zeta}{\omega_{n}} \cdot s+\frac{1}{\omega_{n}^{2}} \cdot s^{2}} \quad K = \frac{b_0}{a_0}\]
				
				Réponse à une impulsion de Dirac:
				\[g(t)=\frac{k}{\omega_{0}} \cdot e^{-\delta \cdot t} \cdot \sin \left(\omega_{0} \cdot t\right) \cdot \epsilon(t)\]
				
				Réponse à une impulsion unité:
				
				\begin{itemize}
					\item Taux d'amortissement $\zeta$: détermine le nombre d'oscillations (mais n'est pas égal à...) de la réponse temporelle avant la stabilisation.
					\item Pulsation propre non-amortie $\omega _n$: pulsation de résonnance de phase.
					\item Pulsation propre du régime libre $\omega _0$: $\omega _0 = \omega _n \cdot \sqrt{1-\zeta ^2} = \sqrt{\omega_{n}^{2}-\delta^{2}}$
					\item Facteur d'amortissement $\delta$: rapidité avec laquelle le régime transitoire s'atténue ($sin (\omega _0 \cdot t)$ est pondéré par $e^{-\delta \cdot t}$)
					\item Pulsation de résonance: $\omega _r = \omega _n \cdot \sqrt{1-2\cdot\sigma^2}$
				\end{itemize}
				
				Réponse indicielle:
				
				\[\gamma(t) = 1-e^{-\zeta \omega_{n} t}\left[\cos \omega_{0} t+\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}} \sin \omega_{0} t\right]\]
				
		\subsection*{Pôles dominants}
			
			Pôle(s) le(s) plus proche(s) de 0 sur l'axe des réels. Permet une simplification des calculs.
			
	\section*{Réponse fréquentielle}
		
		\subsection{Introduction}
		
			\paragraph{Réponse fréquentielle:} réponse à un régime permanent sinusoidal, qui est constituée:
			\begin{enumerate}
				\item du gain 
				\item de la phase
			\end{enumerate}
		
		\subsection{Calcul de la réponse fréquentielle}
		
			\[
			\left.G(s)\right|_{s=j \cdot \omega}=G(j \cdot \omega) \longrightarrow\left\{\begin{array}{l}
			A(\omega)=|G(j \cdot \omega)| \\
			\varphi(\omega)=\arg \{G(j \cdot \omega)\}
			\end{array}\right.
			\]
		
		\subsection{Diagramme de Bode}
		
			Formes canoniques:
			
			\begin{enumerate}
				\item $G_{c 1}(s)=K$
				\item $G_{c 2}(s)=1+s \cdot \tau$
				\item $G_{c 3}(s)=\frac{1}{1+s \cdot \tau}$
				\item $G_{c 4}(s)=\frac{K}{s}=\frac{1}{\bar{w}_{p 0}}=\frac{\omega_{p 0}}{s}$
				\item $G_{c 5}(s)=K \cdot s=\frac{s}{\omega_{a 0}}$
				\item $G_{c 6}(s)=\frac{1}{1+\frac{2 \cdot \zeta}{w_{n}} \cdot s+\frac{1}{\omega_{n}^{2}} \cdot s^{2}}$
				\item $G_{c 7}(s)=1+\frac{2 \cdot \zeta}{\omega_{n}} \cdot s+\frac{1}{\omega_{n}^{2}} \cdot s^{2}$
			\end{enumerate}
			
			\[A_{\mathrm{~dB}}=A_{1 \mathrm{~dB}}+A_{2 \mathrm{~dB}}+\ldots\]
			\[\varphi(\omega)=\varphi_{1}(\omega)+\varphi_{2}(\omega)+\ldots\]
			
			Méthode:
			
			\begin{enumerate}
				\item présenter $G(s)$ sous forme de Bode;
				\item factoriser $G(s)$ de manière à faire apparaître les formes canoniques;
				\item identifier les pulsations caractéristiques de chacun des éléments et tracer leur diagramme de Bode;
				\item sommer les réponses des éléments
			\end{enumerate}
		
		\subsection{Système fondamental d'ordre 1}
		
			\[G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{K}{1+s \cdot \tau}=\frac{K}{1+\frac{s}{\omega_{p}}}\]
			\[\omega_{p}=\frac{1}{\tau}\]
			
			Pour le gain:
			
			\begin{enumerate}
				\item une asymptote horizontale jusqu'à la pulsation caractéristique $\omega_p = 1/\tau$
				\item une asymptote oblique à partir de $\omega_p$ ayant une pente de -20dB/décade.
			\end{enumerate}
			
			Pour la phase:
			
			\begin{enumerate}
				\item une asymptote horizontale à 0\textdegree jusqu'à $\omega_p/10$
				\item une asymptote oblique de $\omega_p/10$ à $10\cdot \omega_p$ ayant une pente de -45\textdegree/décade
				\item une asymptote horizontale à -90\textdegree dès $10\cdot \omega_p$.
			\end{enumerate}
		
		\subsection{Système fondamental d'ordre 2}
		
			\[G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{K}{1+\frac{2 \cdot \zeta}{\omega_{n}} \cdot s+\frac{1}{\omega_{n}^{2}} \cdot s^{2}}\]
			
			Pour le gain:
			
			\begin{enumerate}
				\item une asymptote horizontale jusqu'à la pulsation caractéristique $\omega _p = \omega _n$, qui correspond à la pulsation propre non-amortie;
				\item une asymptote oblique à partir de $\omega _n$ ayant une pente de -40dB/décade.
			\end{enumerate}
			
			Pour la phase:
			
			\begin{enumerate}
				\item une asymptote horizontale à 0\textdegree jusqu'à $\omega_n/10$
				\item une asymptote oblique de $\omega_n/10$ à $10\cdot \omega _n$ ayant une pente de -90\textdegree/décade
				\item une asymptote horizontale à -180\textdegree dès $10\cdot \omega_n$.
			\end{enumerate}
			
			Pulsation de résonance de gain (gain maximum):
			
			\[\omega_{r}=\omega_{n} \cdot \sqrt{1-2 \cdot \zeta^{2}}\]
		
		\subsection{Systèmes à retard pur}
		
			\[G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_{m} \cdot s^{m}+b_{m-1} \cdot s^{m-1}+\ldots+b_{1} \cdot s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1} \cdot s^{n-1}+\ldots+a_{1} \cdot s+a_{0}} \cdot e^{-s \cdot T_{r}}\]
		
			\[\arg \left\{e^{-j \cdot \omega \cdot T_{r}}\right\}=-\omega \cdot T_{r}\]
	
	\section*{Schémas fonctionnels}
	
	\section*{Stabilité}
	
	\section*{Régulateur PID}
	
	\section*{Performance}
	
	\section*{Synthèse fréquentielle}
	
\end{document}