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10-状态观测器.typ
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10-状态观测器.typ
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#import "@local/scibook:0.1.0": *
#show: doc => conf(
title: "状态观测器",
author: ("ivaquero"),
header-cap: "现代控制理论",
footer-cap: "github@ivaquero",
outline-on: false,
doc,
)
= Luenberger 观测器
<Luenberger-观测器>
观测器：根据系统输入和输出，估计系统的状态。
== 推导
<推导>
对系统
$
dot(x) = 𝑨 x + 𝑩 u\
y = 𝑪 x + 𝑫 u
$
其中，$u$为输入，$y$为输出。
引入 Luenberger 观测器，有
$
hat(dot(x)) = 𝑨 hat(x) + 𝑩 u + 𝑳 (y - hat(y))\
hat(y) = 𝑪 hat(x) + 𝑫 u
$
$(3), (4)$两式联立，得
$ hat(dot(x)) = (𝑨 - 𝑳 𝑪) hat(x) + (𝑩 - 𝑳 𝑫) u + 𝑳 y $
$(1) - (5)$，得
$ dot(x)- hat(dot(x)) = 𝑨 x + 𝑩 u - (𝑨 - 𝑳 𝑪) hat(x) - (𝑩 - 𝑳 𝑫) y - 𝑳 y $
代入$(2)$，得
$ dot(x)- hat(dot(x)) = (𝑨 - 𝑳 𝑪)(x - hat(x)) $
令$e_x = x - x ̂$，得
$ dot(e)_x = (𝑨 - 𝑳 𝑪) e_x $
若像使$e_x → 0$，则需
$ "Re"["Eig"(𝑨 - 𝑳 𝑪)] < 0 $
即当$|λ 𝑰 - (𝑨 - 𝑳 𝑪)| = 0$的解$λ < 0$，则系统稳定。
#tip[
通过矩阵的迹的性质，可以确定系统稳定性。
]
== 弹簧阻尼系统
<弹簧阻尼系统>
对弹簧阻尼系统
- $m = 1$
- $K = 1$
- $B = 0.5$
#figure(
image("images/model/vibration.drawio.png", width: 40%),
caption: [弹簧阻尼系统],
supplement: "图",
)
令
- $z_1 = x$
- $z_2 = dot(x)$（不可测）
- $u = F$
则
$
mat(delim: "[", dot(z)_1; dot(z)_2) =
mat(delim: "[", 0, 1; - 1, - 0.5)
mat(delim: "[", z_1; z_2) +
mat(delim: "[", 0; 1) u
$
同时
$ y = mat(delim: "[", 1, 0) mat(delim: "[", z_1; z_2) $
引入观测器，有
$
mat(delim: "[", hat(dot(z))_1; hat(dot(z))_2) =
mat(delim: "[", - 2.5, 1; 0.25, - 0.5)
mat(delim: "[", hat(z)_1; hat(z)_2) +
mat(delim: "[", 0; 1) u +
mat(delim: "[", 2.5; - 1.25) y
$
= 可观测性
<可观测性>
== 分离原理
<分离原理>
对系统
$
dot(x) &= 𝑨 x + 𝑩 u\
y &= 𝑪 x
$
引入观测器
$ dot(e)_x = (𝑨 - 𝑳 𝑪) e_x $
引入控制器
$
u &= -k hat(x) \
dot(x) &= 𝑨 x - 𝑩 k hat(x) = (𝑨 - 𝑩 k) x + 𝑩 k e
$
联立，得
$
mat(delim: "[", dot(e_λ); x ̇) = mat(delim: "[", 𝑨 - 𝑳 𝑪, 0; 𝑩 k, 𝑨 - 𝑩 k) mat(delim: "[", e_x; x ̇) = 𝑴 mat(delim: "[", e_x; x ̇)
$
为使$e_x → 0$，则需
$ "Re"["Eig"(𝑴)] < 0 $
由于$𝑴$的特征值即是$(𝑨 - 𝑳 𝑪)$和$(𝑨 - 𝑩 k)$的特征值，则系统稳定需同时满足以下条件
- $"Re"["Eig"(𝑨 - 𝑳 𝑪)] < 0$
- $"Re"["Eig"(𝑨 - 𝑩 k)] < 0$
#tip[
同一系统的观测器的收敛速度远大于控制器的。
]
#theorem("可观测性")[
若一个系统可观测，则其观测矩阵
$ 𝑫 = mat(delim: "[", 𝑪; 𝑪 𝑨; ⋮; 𝑪 𝑨^(n-1)) $
满秩。
]