n阶行列式
$$\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \
\vdots&\vdots& &\vdots \
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \
\end{vmatrix}$$
是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积
-
经过转置行列式的值不变，即$|A^T|=|A|$ $$\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \ b_{1} & b_{2} & b_{3} \ c_{1} & c_{2} & c_{3} \ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} \ a_{2} & b_{2} & c_{2} \ a_{3} & b_{3} & c_{3} \ \end{vmatrix} $$ 由此可见行列式中行的性质和列的性质是对等的
-
两行（两列）互换位置，行列式的值变号
特别地，两行（两列）相同，行列式的值为0 -
某行（或列）如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。即用数k乘以行列式|A|等于用k乘以它的某行（或列）
特别地：- 某行（或列）的元素全为0，行列式的值为0
- 若两行（或列）的元素对应成比例，行列式的值为0
-
如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和 $$\begin{vmatrix} a_{1}+b_{1} & a_{2}+b_{2} & a_{3}+b_{3} \ c_{1} & c_{2} & c_{3} \ d_1 & d_2 & d_3 \ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \ c_{1} & c_{2} & c_{3} \ d_1 & d_2 & d_3 \ \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} b_{1} & b_{2} & b_{3} \ c_{1} & c_{2} & c_{3} \ d_1 & d_2 & d_3 \ \end{vmatrix}$$
-
把某行（或列）的k倍加到另一行（或列），行列式的值不变 $$\begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \ b_{1} & b_{2} & b_{3} \ c_{1} & c_{2} & c_{3} \ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \ b_{1}+ka_1 & b_{2}+ka_2 & b_{3}+ka_3 \ c_{1} & c_{2} & c_{3} \ \end{vmatrix}$$
n阶行列式的值等于它的任何一行（列）元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即
注：关于代数余子式的概念
在n阶行列式中划去$a_{ij}$所在的第i行、第j列的元素，由剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式。称其为$a_{ij}$的余子式，记为$M_{ij}$；称$(-1)^{i+j}M_{ij}$为$a_{ij}$的代数余子式，记为$A_{ij}$即
-
上（下）三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积 $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ & &\ddots &\vdots \ & & & a_{nn} \ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} a_{11} & & & \ a_{12} & a_{22} & & \ \vdots & \vdots &\ddots &\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots& a_{nn} \ \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$$
-
关于副对角线的行列式 $$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1,n-1} & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2,n-1} & 0\ \vdots & \vdots & & \vdots &\vdots \ a_{n1} & 0 & \cdots & 0 & 0 \ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_{1n} \ 0 & \cdots & a_{2,n-1} & a_{2n} \ \vdots & &\vdots &\vdots \ a_{n1} & \cdots & a_{n,n-1} & a_{nn} \ \end{vmatrix}= (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2,n-1}...a_{n1}$$
-
两个特殊的拉普拉斯展开式 如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则 $$\begin{vmatrix} A & * \ O & B \ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} A & O \ * & B \ \end{vmatrix}=|A|\cdot |B| $$ $$\begin{vmatrix} O & A \ B & * \ \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} * & A \ B & O \ \end{vmatrix}= (-1)^{mn}|A|\cdot |B|$$
-
范德蒙行列式 $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \ \vdots & \vdots & & \vdots \ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \ \end{vmatrix} =\prod_{1\leq j<i\leq n}(x_i-x_j)$$ 等式右侧表示所有$(x_i-x_j)$的乘积
- 若A是n阶矩阵，$A^T$是A的转置矩阵，则$|A^T|=|A|$
- 若A是n阶矩阵，则$|kA|=k^n|A|$
- （行列式乘法公式）若A,B都是n阶矩阵，则$|AB|=|A||B|$。特别地$|A^2|=|A|^2$
- 若A是n阶矩阵，$A^$是A的伴随矩阵，则$|A^|=|A|^{n-1}$
- 若A是n阶可逆矩阵，$A^{-1}$是A的逆矩阵，则$|A^{-1}|=|A|^{-1}$
- 若A是n阶矩阵，$\lambda_i(i=1,2,...,n)$是A的特征值，则$|A|=\prod\limits^n_{i=1}\lambda_i$
- 若矩阵A和B相似$A\sim B$，则$|A|=|B|$
注：一般情况$|A+B|\neq |A|+|B|,|A-B|\neq |A|-|B|,|kA|\neq k|A|$
-
行列式的任一行（列）元素与另一行（列）元素的代数余子式乘积之和为0，即
$$\sum^n_{k=1}a_{ik}A_{jk}=a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots +a_{in}A_{jn}=0,\ i\neq j$$ $$\sum^n_{k=1}a_{ki}A_{kj}=a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots +a_{ni}A_{nj}=0,\ i\neq j$$ -
若A是n阶矩阵，$A^$是A的伴随矩阵，则 $$AA^=A^*A=|A|E$$
如果一个矩阵的所有元素都是0，即 $$\begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 0 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix}$$ 则称这个矩阵是零矩阵，可简记为$\bm{O}$
两个矩阵$\bm{A}=[a_{ij}]{m\times n},\bm{B}=[b{ij}]_{s\times t}$，如果m=s,n=t，则称A与B是同型矩阵
两个同型矩阵$\bm{A}=[a_{ij}]{m\times n},\bm{B}=[b{ij}]{m\times n}$，如果对应的元素都相等，即$a{ij}=b_{ij}(i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)$，则称矩阵A与B相等，记作A=B
n阶方阵$\bm{A}=[a_{ij}]{n\times n}$的元素所构成的行列式 $$\begin{vmatrix} a{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$ 注：矩阵A是一个表格，而行列式|A|是一个数。$\bm{A}=\bm{O}$与$|\bm{A}|=0$是不同的。当$\bm{A}\neq \bm{O}$时可以有$|\bm{A}|=0$
两个同型矩阵可以相加，且 $$\bm{A}+\bm{B}=[a_{ij}]{m\times n}+[b{ij}]{m\times n}=[a{ij}+b_{ij}]_{m\times n}$$
设k是数，$\bm{A}=[a_{ij}]{m\times n}$是矩阵，则定义数与矩阵的乘法为 $$k\bm{A}=k[a{ij}]{m\times n}=[ka{ij}]_{m\times n}$$
设A是一个$m\times s$矩阵，B是一个$s\times n$矩阵（A的列数=B的行数），则A,B可乘，且乘积AB是一个$m\times n$矩阵，记成$\bm{C}=\bm{AB}=[c_{ij}]{m\times n}$，其中C的第i行、第j列元素$c{ij}$是A的第i行s个元素和B的第j列的s个对应元素两两乘积之和，即 $$c_{ij}=\sum\limits^{s}{k=1}a{ik}b_{kj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}$$ 矩阵的乘法可图示如下： $$i\begin{bmatrix} \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{is} \ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vdots & b_{1j} & \vdots \ \vdots & b_{2j} & \vdots \ \vdots & \vdots & \vdots \ \vdots & b_{sj} & \vdots \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} & \vdots & \ \cdots & c_{ij} & \cdots \ & \vdots & \end{bmatrix}i$$ 特别地，设A是一个n阶方阵，则记$\overbrace{A\cdot A\cdots A}^{k个}=A^k$称为A的k次幂
将$m\times n$型矩阵$\bm{A}=[a_{ij}]{m\times n}$的行列互换得到的$n\times m$矩阵$[a{ji}]_{n\times m}$称为A的转置矩阵，记为$A^T$，即
A,B,C是同型矩阵，则
$\bm{A}+\bm{B}=\bm{B}+\bm{A}\ \ 交换律$ $(\bm{A}+\bm{B})+\bm{C}=\bm{A}+(\bm{B}+\bm{C})\ \ 结合律$ $\bm{A}+\bm{O}=\bm{A}\ \ 其中O是元素全为零的同型矩阵$ $\bm{A}+(-\bm{A})=\bm{O}$
$k(mA)=(km)A=m(kA)$ $(k+m)A=kA+mA$ $k(A+B)=kA+kB$ $1A=A,0A=O$
A,B,C满足可乘条件
$(AB)C=A(BC)$ $A(B+C)=AB+AC$ $(B+C)A=BA+CA$
注意一般情况
$(A+B)^T=A^T+B^T$ $(kA)^T=kA^T$ $(AB)^T=B^TA^T$ $(A^T)^T=A$
$AA^*=A^*A=|A|E$ - $(A^)^{-1}=(A^{-1})^=\frac{1}{|A|}A\ (|A|\neq 0)$
- $(A^)^T=(A^T)^$
- $(kA)^=k^{n-1}A^$
$|A^*|=|A|^{n-1}$ - $(A^)^=|A|^{n-2}A\ (n\geq 2)$
$(AB)^k=(AB)(AB)\cdots (AB)\neq A^kB^k$ $(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2\neq A^2+2AB+B^2$ $(A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2\neq A^2-B^2$
设A是n阶矩阵
- 单位矩阵：主对角元素为1，其余元素为0的矩阵称为单位阵，记成$E_n$（有时E记为I）
- 数量阵：数k与单位阵E的积$kE$称为数量阵
-
对角阵：非对角元素都是0的矩阵（即$\forall i\neq j$恒有$a_{ij}=0$）称为对角阵，记成$\Lambda$
$$\Lambda=diag[a_1,a_2,\cdots,a_n]$$ - 上（下）三角阵：当$i>j(i<j)$时，有$a_{ij}=0$的矩阵称为上（下）三角阵
- 对称阵：满足$A^T=A$，即$a_{ij}=a{ji}$的矩阵称为对称阵
- 反对称阵：满足$A^T=-A$，即$a_{ij}=-a{ji},a{ii}=0$的矩阵称为反对称阵
- 正交阵：$A^TA=AA^T=E$的矩阵称为正交阵，即$A^T=A^{-1}$
- 初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵
- 伴随矩阵：由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如 $$\begin{bmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix}$$ 的矩阵称为矩阵A的伴随矩阵，记为$A^*$
主要定理
定理2.1 若A可逆，则A的逆矩阵唯一
定理2.2
定义2.6 设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B使得
- 存在n阶矩阵B，使AB=E（或BA=E）
-
$|A|\neq 0$ ，或秩$r(A)=n$，或A的列（行）向量线性无关 - 齐次方程组$Ax=0$只有零解
-
$\forall b$ ，非齐次线性方程组$Ax=b$总有唯一解 - 矩阵A的特征值全不为0
若$k\neq 0$，则$(kA)^{-1}=\frac{1}{A}A^{-1}$，若A,B可逆，则$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$，特别地$(A^2)^{-1}=(A^{-1})^2$
若$A^T$可逆，则$(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T;(A^{-1})^{-1}=A;|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$
注：即使A,B和A+B都可逆，一般地$(A+B)^{-1}\neq A^{-1}+B^{-1}$
方法一 用公式，若$|A|\neq 0$，则
方法二 初等变换法
方法三 用定义求B，使AB=E或BA=E，则A可逆，且$A^{-1}=B$
方法四 用分块矩阵
设B,C都是可逆矩阵，则
$$\begin{bmatrix}
B & O\
O & C
\end{bmatrix}^{-1}
=\begin{bmatrix}
B^{-1} & O \
O & C^{-1}
\end{bmatrix};
\begin{bmatrix}
O & B \
C & O
\end{bmatrix}^{-1}
=\begin{bmatrix}
O & C^{-1} \
B^{-1} & O
\end{bmatrix}$$
主要结论：用初等矩阵P左乘A，所得PA矩阵就是矩阵A作了一次和矩阵P同样的行变换（若左乘就是相应的列变换）
定义2.7（初等变换） 设A是$m\times n$矩阵
- 用某个非零常数$k(k\neq 0)$乘A的某行（列）的每个元素
- 互换A的某两行（列）的位置
- 将A的某行（列）元素的k倍加到另一行（列）
称为矩阵的三种初等行（列）变换，且分别称为初等倍乘、互换、倍加行（列）变换，统称初等变换
定义2.8（初等矩阵） 由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，它们分别是（以三阶为例）
-
倍乘初等矩阵，记 $$E_2(k)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\ 0 & k &0\ 0&0&1 \end{bmatrix}$$
$E_2(k)$ 表示由单位阵E的第2行（或第2列）乘$k(k\neq 0)$倍得到的矩阵 -
互换初等矩阵，记 $$E_{12}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\ 1& 0 &0\ 0&0&1 \end{bmatrix}$$
$E_{12}$ 表示由单位阵的第1，第2行（或1,2列）互换得到的矩阵 -
倍加初等矩阵，记 $$E_{31}(k)=\begin{bmatrix} 1 &0 & 0\ 0& 1 &0\ k&0&1 \end{bmatrix}$$
$E_{31}(k)$ 表示由单位阵E的第1行的k倍加到第3行得到的矩阵。当看成列变换时，应是E的第3列的k倍加到第1列得到的矩阵
定义2.9（等价矩阵） 矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记成$A\simeq B$。若$A\simeq\begin{bmatrix}E_r&O\O&O\end{bmatrix}$，则后者称为A的等价标准形。（A的等价标准形是与A等价的所有矩阵中的最简矩阵）
- 初等矩阵的转置仍是初等矩阵
- 初等矩阵均是可逆阵，且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵 注意，有$E^{-1}i(k)=E_i(\frac{1}{k}),E^{-1}{ij}=E_{ij},E^{-1}{ij}(k)=E{ij}(-k)$
- A左乘（右乘）初等矩阵，相当于对A做相应的初等行（列）变换
- 当A是可逆阵时，则A可作一系列初等行变换化成单位阵，即存在初等矩阵$P_1,P_2,\cdots,P_N$，使得$P_N\cdots P_2P_1A=E$
求秩主要方法：
定理2.3 经初等变换矩阵的秩不变
定理2.4 如果A可逆，则$r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)$
定义2.10（矩阵的秩） 设A是$m\times n$矩阵，若A中存在r阶子式不等于零，且所有r+1阶子式（如果存在的话）均等于零，则称矩阵A的秩为r，记成r(A)，零矩阵的秩规定为0
注 在$m\times n$矩阵A中，任取k行与k列（$k\leq m,k\leq n$)，位于这些行与列的交叉点上的$k^2$个元素按其在原来矩阵A中的次序可构成一个k阶行列式，称其为矩阵A的一个k列子式
秩$r(A)=r\Leftrightarrow$矩阵A中非零子式的最高阶数是r
$r(A)<r\Leftrightarrow$A中每一个r阶子式全为0
$r(A)\geq r\Leftrightarrow$A中有r阶子式不为0
特别地，$r(A)=0\Leftrightarrow A=O$
若A是n阶矩阵，则
$r(A)=n\Leftrightarrow |A|\neq 0\Leftrightarrow A可逆$ $r(A)<n\Leftrightarrow |A|=0\Leftrightarrow A不可逆$
若A是$m\times n$矩阵，则$r(A)\leq \min(m,n)$
$r(A)=r(A^T);r(A^TA)=r(A)$ - 当$k\neq 0$时，$r(kA)=r(A);r(A+B)\leq r(A)+r(B)$
$r(AB)\leq \min(r(A),r(B))$ - 若A可逆，则$r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)$
- 若A是$m\times n$矩阵，B是$n\times s$矩阵，$AB=O$，则$r(A)+r(B)\leq n$
- 分块矩阵$r\begin{pmatrix}A&O\O&B\end{pmatrix}=r(A)+r(B)$
将矩阵用若干纵线和横线分成许多小块，每一小块称为原矩阵的子矩阵（或子块），把子块看成原矩阵的一个元素，则原矩阵叫分块矩阵
由于不同的需要，同一个矩阵可以用不同的方法分块，构成不同的分块矩阵 $A=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\ \vdots&\vdots& &\vdots\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \alpha_1\ \alpha_2\ \vdots\ \alpha_m \end{bmatrix}$，其中$\alpha_i=[a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}],i=1,2,\cdots,m$，是A的子矩阵，A是以行分块的分块阵
以列分块的矩阵类似
$C=\begin{bmatrix} c_{11}&c_{12}&0&0&0\ c_{21}&c_{22}&0&0&0\ c_{31}&c_{32}&c_{33}&c_{34}&c_{35}\ c_{41}&c_{42}&c_{43}&c_{44}&c_{45} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}C_1&O\C_3&C_4\end{bmatrix}$ 其中$C_1,O,C_3,C_4$是C的子矩阵
若B,C分别是m阶与s阶矩阵，则 $$\begin{bmatrix}B&O\ O&C\end{bmatrix}^n=\begin{bmatrix}B^n&O\ O&C^n\end{bmatrix}$$
若B,C分别是m阶与n阶可逆矩阵，则
$$\begin{bmatrix}B&O\
O&C\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}B^{-1}&O\
O&C^{-1}\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}O&B\
C&O\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}O&C^{-1}\
B^{-1}&O\end{bmatrix}$$
若A是$m\times n$矩阵，B是$n\times s$矩阵且AB=O，对B和O矩阵按列分块有
若AB=C，其中A是$m\times n$的矩阵，B是$n\times s$的矩阵，则对B,C按行分块有 $$\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\ \vdots&\vdots& &\vdots\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta_1\ \beta_2\ \vdots\ \beta_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\alpha_1\ \alpha_2\ \vdots\ \alpha_m\end{bmatrix}$$ 即 $$\begin{cases} a_{11}\beta_1+a_{12}\beta_2+\cdots+a_{1n}\beta_n=\alpha_1 \ a_{21}\beta_1+a_{22}\beta_2+\cdots+a_{2n}\beta_n=\alpha_2 \ \vdots\ a_{m1}\beta_1+a_{m2}\beta_2+\cdots+a_{mn}\beta_n=\alpha_m \end{cases}$$ 可见矩阵AB的行向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$可由B的行向量$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$线性表出
类似地，对矩阵A,C按列分块，有 $$[\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n] \begin{bmatrix} b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1s}\ b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2s}\ \vdots&\vdots& &\vdots\ b_{n1}&b_{n2}&\cdots&b_{ns} \end{bmatrix}=[\delta_1,\delta_2,\cdots,\delta_s]$$
由此得 $$\begin{cases} b_{11}\gamma_1+b_{21}\gamma_2+\cdots+b_{n1}\gamma_s=\delta_1 \ b_{12}\gamma_1+b_{22}\gamma_2+\cdots+b_{n2}\gamma_s=\delta_2 \ \vdots\ b_{1s}\gamma_1+b_{2s}\gamma_2+\cdots+b_{ns}\gamma_s=\delta_s \end{cases}$$ 即矩阵AB的列向量可由A的列向量线性表出
n维向量 n个数$a_1,a_2,\cdots,a_n$所构成的一个有序数组称为n维向量。记成$(a_1,a_2,\cdots,a_n)$或$(a_1,a_2,\cdots,a_n)^T$，分别称为n维行向量或n维列向量，数$a_i$称为向量的第i个分量
零向量 所有分量都是0的向量称为零向量，记为0
n维向量$\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)^T,\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)^T$相等
n维向量的运算。如$\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)^T,\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)^T$，则
-
加法
$\alpha+\beta=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n)^T$ -
数乘
$k\alpha=(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)^T$ -
内积
$(\alpha,beta)=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n=\alpha^T\beta=\beta^T\alpha$ 特别地，如$(\alpha,\beta)=0$，则称向量$\alpha$与$beta$正交 又$(\alpha,\alpha)=\alpha^T\alpha=a^2_1+a^2_2+\cdots+a^2_n$，称$\sqrt{a^2_1+a^2_2+\cdots+a^2_n}$为向量$\alpha$的长度
向量的加法、数乘满足：
向量内积满足：
线性组合 m个n维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$及m个数$k_1,k_2,\cdots,k_m$所构成的向量
定义 3.1 对n维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s和\beta$，如果存在实数$k_1,k_2,\cdots,k_s$，使得
定义 3.2 设有两个n维向量组$(I)\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s;(II)\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t;$如果(I)中每个向量$\alpha_i(i=1,2,\cdots,s)$都可由(II)中的向量$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$线性表出，则称向量组(I)可由向量组(II)线性表出
如果两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价
注：
- 等价向量组具有传递性、对称性、反身性
- 向量组和它的极大线性无关组是等价向量组
- 向量组的任意两个极大线性无关组是等价向量组
- 等价的向量组有相同的秩，但秩相等的向量组不一定等价
定义 3.3 对于n维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$，如果存在不全为零的数$k_1,k_2,\cdots,k_s$使得
线性无关应当理解清晰：
只要$k_1,k_2,\cdots,k_s$不全为零，必有$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s\neq \bm{0}$
或者，当且仅当$k_1=k_2=\cdots=k_s=0$时，才有$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=\bm{0}$
显然，含有零向量、相等向量、坐标成比例的向量组都是线性相关的，而阶梯型向量组一定是线性无关的
定理 3.1 n维向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性相关
等价于 齐次方程组$(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)\begin{bmatrix}x_1\x_2\ \vdots\x_s\end{bmatrix}=0$有非零解
等价于 秩$r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)<s$
推论
- n个n维向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性相关$\Leftrightarrow$行列式$|\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n|=0$
- n+1个n维向量必线性相关
- 如果$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$线性相关，则$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r,\alpha_{r+1},\cdots,\alpha_s$必线性相关
- 如果n维向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性无关，则它的延伸组$\begin{pmatrix}\alpha_1\ \beta_1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}\alpha_2\ \beta_2\end{pmatrix},\cdots,\begin{pmatrix}\alpha_s\ \beta_s\end{pmatrix}$必线性无关
定理 3.2 n维向量$\beta$可由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性表出
等价于 非齐次方程组$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_m\alpha_m=\beta$有解
等价于 秩$r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)=r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m,\beta)$
定理 3.3 向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性相关 等价于 至少有一个向量$\alpha_i$可以由其余s-1个向量线性表出
定理 3.4 向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性无关，而向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,\beta$线性相关，则向量$\beta$可以由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性表出，且表示法唯一
定理 3.5 设有两个n维向量组$(I)\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s,(II)\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$
如果(I)能由(II)线性表出，且s>t，则$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$必线性相关
推论 若n维向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$可由$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$线性表出，且$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性无关，则$s\leq t$
定义 3.4 设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$中，有一个部分组$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}(1\leq r\leq s)$，满足条件
-
$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$ 线性无关 - 再添加任一向量$\alpha_j(1\leq j\leq s)$，向量组$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r},\alpha_j$必线性相关
则称向量组$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$是向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$的一个极大线性无关组
注
- 只有一个零向量构成的向量组没有极大线性无关组
- 一个线性无关的向量组的极大线性无关组是该向量组本身
- 向量组的极大线性无关组一般不唯一，但其极大线性无关组的向量个数是一样的
- 条件2. 的等价说法是：向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$中任一向量$\alpha_j(1\leq j\leq s)$，必可由$\alpha_{i_1},\alpha_{i_2},\cdots,\alpha_{i_r}$，线性表出
定义 3.5 向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$的极大线性无关组中所含向量的个数r称为向量组的秩，记为$r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)=r$
注
定理 3.6 如果向量组$(I)\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$可由$(II)\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_i$线性表出
则$r(I)\leq r(II)$
推论 如果向量组(I)和(II)等价，则$r(I)=r(II)$
定理 3.7 r(A)=A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）=A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）
定理 3.8 经初等变换向量组的秩不变
设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，其正交规范化方法步骤如下：
令$\beta_1=\alpha_1$
则$\beta_1,\beta_2,\beta_3$两两正交
再将$\beta_1,\beta_2,\beta_3$单位化，取
则$\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$是正交规范向量组（即两两正交且均是单位向量）
设A是n阶矩阵，满足$AA^T=A^TA=E$，则A是正交矩阵
A是正交矩阵
等价于
等价于 A的列（行）向量组是正交规范向量组
如A是正交矩阵，则行列式|A|=1或-1
定义 3.6 全体n维向量连同向量的加法和数乘运算合称为n维向量空间
定义 3.7 设W是n维向量的非空集合，如果满足
-
$\forall \alpha,\beta\in W$ 必有$\alpha+\beta\in W$ -
$\forall\alpha\in W$ 及任一实数k必有$k\alpha\in W$
则称W是向量空间的子空间
定义 3.8 如果向量空间V中的m个向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$满足
-
$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 线性无关 - 对于V中任意向量$\beta$，$\beta$均可由向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$线性表出，即
$$x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_m\alpha_m=\beta$$ 则称$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$为向量空间V的一个基底（或基）。基中所含向量的个数m称为向量空间V的维数，记作$dimV=m$，并称V是m维向量空间。向量$\beta$的表示系数$x_1,x_2,\cdots,x_m$称为向量$\beta$在基底$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$下的坐标
定义 3.9 设$e_1,e_2,\cdots,e_n$是向量空间的一组基，如果它们满足 $$(e_i,e_j)=\begin{cases}1,& i=j\0,& i\neq j\end{cases}$$ 则称$e_1,e_2,\cdots,e_n$为规范正交基
齐次方程组Ax=0的解向量的集合W，由解的性质知：
若$\alpha,\beta$是Ax=0的解，则$\alpha+\beta,k\alpha$仍是Ax=0的解，所以W是n维向量空间的子空间，通常称为解空间
例如$A=\begin{bmatrix}1&1&0&-1\0&1&0&1\end{bmatrix}$
则齐次方程组Ax=0的基础解系
本题中，$\eta_1与\eta_2$已经正交，将其单位化
定义 3.10 在n维向量空间给定两组基
其中$C=\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1n}\c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2n}\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots\c_{n1}&c_{n2}&\cdots&c_{nn}$
称为由基$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$到基$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$的过渡矩阵
定理 3.9 如果$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$与$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$是n维向量空间的两个基底，则由基$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$到基$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$的过渡矩阵C是可逆矩阵
定理 3.10 如果向量$\gamma$在基底$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$的坐标为$x_1,x_2,\cdots,x_n$，向量$\gamma$在基底$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$的坐标为$y_1,y_2,\cdots,y_n$，则坐标变换公式为 $$\begin{bmatrix}x_1\x_2\ \vdots\x_n\end{bmatrix}=C\begin{bmatrix}y_1\y_2\ \vdots\y_n\end{bmatrix} 或 x=Cy$$ 其中n阶矩阵C是由基底$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$到基底$\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n$的过渡矩阵
定理 3.11 若$e_1,e_2,\cdots,e_n$是规范正交基，设
克拉默法则 若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组
$$\begin{cases}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1,\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2,\
\cdots\
a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n
\end{cases}$$
的系数行列式$|A|\neq 0$，则方程组有唯一解，且
推论 若包含n个方程n个未知量的齐次线性方程组 $$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0,\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0,\ \cdots\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=0 \end{cases}$$ 的系数行列式$|A|\neq 0$的充要条件是方程组有唯一零解
反之，若齐次线性方程组有非零解，充要条件是其系数行列式$|A|\neq 0$
齐次线性方程组的表达形式 n个未知量，m个方程组成的方程组 $$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0,\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0,\ \cdots\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 \end{cases}$$ 称为齐次线性方程组，上式称为齐次线性方程组的一般形式
方程组写成向量形式，则是 $$\bm{\alpha}_1 x_1+\bm{\alpha}2 x_2+\cdots+\bm{\alpha}n x_n=\bm{0}$$ 其中$\bm{\alpha}j=[a{1j},a{2j},\cdots,a{mj}]^T,\ j=1,2,\cdots,n,\ \bm{0}=[0,0,\cdots,0]^T$
写成矩阵形式，则是
其中 $$\bm{A}=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\ \vdots&\vdots& &\vdots\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix},\ \bm{x}=\begin{bmatrix}x_1\x_2\ \vdots\x_n\end{bmatrix},\ \bm{0}=\begin{bmatrix}0\0\ \vdots\0\end{bmatrix}$$
齐次线性方程组的解 若将有序数组$c_1,c_2,\cdots,c_n$代入方程组的未知量$x_1,x_2,\cdots,x_n$，使每个方程等式成立，则称$[c_1,c_2,\cdots,c_n]^T$为方程组的一个解（或解向量），记成$\bm{\xi}=[c_1,c_2,\cdots,c_n]^T$，即$\alpha_1 c_1+\alpha_2 c_2+\cdots+\alpha_n c_n=\bm{0}$或$\bm{A}\bm{\xi}=\bm{0}$，即齐次方程组的解是使A的列向量线性组合为零的线性组合系数
若方程组只有零解 等价于
齐次线性方程组的基础解系 设$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$是$Ax=0$的解向量，若满足
-
$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$ 线性无关 -
$Ax=0$ 的任一解向量$\xi$均可由$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$线性表出
则称向量组$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$是$Ax=0$的基础解系
条件2.等价于“加入任一解向量$\xi$，使得$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r},\xi$线性相关”，等价于“r(A)=r”，即线性无关解向量的个数为n-r，满足r(A)+线性无关解的个数=n（n是未知量个数）
Ax=0的解的性质 若$\xi_1,\xi_2$是齐次线性方程组$Ax=0$的解，则$k_1\xi_1,k_1\xi_1+k_2\xi_2$仍是$Ax=0$的解，其中$k_1,k_2$是任意常数
同样，若$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_s$均是Ax=0的解，则$k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_s\xi_s$仍是Ax=0的解，其中$k_1,k_2,\cdots,k_s$均是任意常数
Ax=0的有解条件 齐次线性方程Ax=0一定有解，至少有零解
齐次线性方程组$A_{m\times n}x=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]x=\alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+\cdots+\alpha_n x_n=0$只有零解（有非零解）
等价于
等价于
基础解系向量个数与r(A)的关系 若A是$m\times n$矩阵，r(A)=r<n，则齐次线性方程组Ax=0存在基础解系，且基础解系有n-r个线性无关解向量组成。故
Ax=0的通解 若$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$是Ax=0的基础解系，则
基础解系和通解的求法 利用初等行变换不改变线性方程组的解，将A作初等行变换化成阶梯形矩阵，可具体求得基础解系
设
$$A\underrightarrow{初等行变换}
\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1r}&c_{1,r+1}&\cdots&c_{1n}\
0&c_{22}&\cdots&c_{2r}&c_{2,r+1}&\cdots&c_{2n}\
\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\
0&0&\cdots&c_{rr}&c_{r,r+1}&\cdots&c_{rn}\
0&0&\cdots&0&0&\cdots&0\
\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots& &\vdots\
0&0& &0&0& &0
\end{bmatrix}=B$$
得Ax=0的同解方程组Bx=0，即
$$\begin{aligned}
c_{11}x_1+c_{12}x_2+\cdots+c_{1r}x_r+c_{1,r+1}x_{r+1}+\cdots+c_{1n}x_n=0\
c_{22}x_2+\cdots+c_{2r}x_r+c_{2,r+1}x_{r+1}+\cdots+c_{2n}x_n=0\
\cdots\
c_{rr}x_r+c_{r,r+1}x_{r+1}+\cdots+c_{rn}x_n=0
\end{aligned}$$
阶梯形方程的每行中第一个系数不为零的r个未知量$x_1,x_2,\cdots,x_r$称为独立未知量，而后面的n-r个未知量$x_{r+1},\cdots,x_n$称为自由未知量，将自由未知量$x_{r+1},\cdots,x_n$分别赋下列n-r组值
可以证明，$\xi_1,\xi_2,\cdots\xi_{n-r}$即是方程组$Ax=0$的基础解系所以方程组的通解为$k_1\xi_i+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n_r}$，其中$k_i(i=1,2,\cdots,n-r)$是任意常数
注：初等行变换化阶梯形的过程不同，自由未知量的选择和赋值方法不同，基础解系不唯一，但所含线性无关解向量个数一样，全体解的解集合是一样的
非齐次线性方程组的表达形式 n个未知量、m个方程组组成的方程组 $$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\ \cdots\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m \end{cases}$$ 称为非齐次线性方程组，上式称为非齐次线性方程组的一般形式，其中右端常数项$b_1,b_2,\cdots,b_m$不全为零
方程组写成向量形式则是
方程组写成矩阵形式则是
非齐次线性方程组的解 若将有序数组$c_1,c_2,\cdots,c_n$代入方程组的未知量$x_1,x_2,\cdots,x_n$，使得每个方程等式成立，则称$[c_1,c_2,\cdots,c_n]^T$为方程组的一个解（或解向量），记成$\eta=[c_1,c_2,\cdots,c_n]^T$，即$c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+\cdots+c_n\alpha_n=b$或$A\eta=b$，即向量形式非齐次方程组的解是b可由A的列向量线性表出的表出系数
Ax=b的解的性质 设$\eta_1,\eta_2$是Ax=b的两个解，$\xi$是对应齐次方程组Ax=0的解，则
Ax=b的有解条件
若$r(a_1,a_2,\cdots,a_n)=n=r(a_1,a_2,\cdots,a_n,b)\Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关，$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n.b$线性相关$\Leftrightarrow$b可由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性表出，且表出法唯一$\Leftrightarrow$Ax=b有唯一解
若$r(a_1,a_2,\cdots,a_n)=r(a_1,a_2,\cdots,a_n,b)=r<n\Leftrightarrow \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性相关，b可由$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性表出，且表出法不唯一$\Leftrightarrow$Ax=b有无穷多解
Ax=b的通解结构 设$A_{m\times n}x=b$有特解$\eta$，对应的齐次线性方程组Ax=0有基础解系$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$，则Ax=b的通解为
非齐次线性方程组Ax=b通解的求法
用高斯消元法，将增广矩阵(A|b)作初等行变换化成阶梯形矩阵，先求出对应齐次线性方程组的基础解系$\xi_1,\xi_2\cdots,\xi_{n-r}(r(A)=r)$，再求一个非齐次特解设为$\eta$（求$\eta$时，可取自由未知量为任意值，为计算简单，一般将自由未知量均取零值，代入方程，求得独立未知量，并得$\eta$，则$Ax=b$的通解为
A是n阶方阵，如果对于数$\lambda$，存在非零向量$\alpha$，使得
由上式得，$(\lambda E-A)\alpha=0$，因$\alpha\neq 0$，故 $$|\lambda E-A|=\begin{vmatrix} \lambda-a_{11}&-a_{12}&\cdots&-a_{1n}\ -a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&-a_{2n}\ \vdots&\vdots& &\vdots\ -a_{n1}&-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{nn}\end{vmatrix}=0$$ 上式称为A的特征方程，是未知元素$\lambda$的n次方程，在复数域内有n个根，方程的左端多项式称为A的特征多项式，矩阵$\lambda E-A$称为特征矩阵
设$A=[a_{ij}]_{n\times n},\lambda_i(i=1,2,\cdots,n)$是A的特征值，则
$\sum\limits^n_{i=1}\lambda_i=\sum\limits^n_{i=1}a_{ii}$ $\prod\limits^n_{i=1}\lambda_i=|A|$
设$A=[a_{ij}]_{n\times n}$,则由$|\lambda E-A|=0$求出A的全部特征值$\lambda_i$，再由齐次线性方程组
*注：*例如，对角阵和上下三角矩阵的特征值，即是主对角元素
利用定义，凡满足关系式$A\alpha=\lambda\alpha$的数$\lambda$即是A的特征值，$\alpha(\alpha\neq 0)$即是A的对应于$\lambda$的特征向量。一般用于抽象矩阵，或元素为文字的矩阵
*注：*例如，若齐次线性方程组$Ax=0$有基础解系$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{n-r}$，因$A\alpha_i=\bm{0}=0\alpha_i(i=1,2,\cdots,n-r)$，故$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{n-r}$是A的对应于$\lambda=0$的线性无关特征向量，故当$|A|=0$时，A有特征值$\lambda=0$
设A,B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=B$，则称A相似于B，记成$A\sim B$。若$A\sim\Lambda$，其中$\Lambda$是对角阵，则称A可相似对角化。$\Lambda$是A的相似标准形
定理 5.1 n阶矩阵A可对角化$\Leftrightarrow$A有n个线性无关的特征向量
定理 5.2
推论 n阶矩阵A有n个互不相同的特征值$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\Rightarrow$A有n个线性无关特征向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\Leftrightarrow$A可相似于对角阵
取$P=[\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n]$，则有$P^{-1}AP=\Lambda$，其中$\Lambda=\begin{bmatrix}\lambda_1&0&\cdots&0\0&\lambda_2&\cdots&0\ \vdots&\vdots& &\vdots\0&0&\cdots&\lambda_n\end{bmatrix}$，注意P中$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$排列次序应与$\Lambda$中$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$的排列次序一致
定理 5.3
推论 n阶矩阵A可相似对角化 等价于 A的每一个$r_i$重特征值对应的线性无关特征向量个数等于该特征值的重数$r_i$
当A的$r_i$重特征值$\lambda_i$对应的线性无关特征向量个数少于特征值的重数$r_i$时，A不能相似于对角阵
例如$A=\begin{bmatrix}1&1\0&1\end{bmatrix},|\lambda E-A|=(\lambda-1)^2=0,\lambda=1$是A的而重特征值，但由于$r(E-A)=r\begin{bmatrix}0&-1\0&0\end{bmatrix}=1,(E-A)x=0$只有一个线性无关解，即对应于$\lambda=1$（二重根）只有一个线性无关特征向量，故$A=\begin{bmatrix}1&1\0&1\end{bmatrix}$不能与对角阵相似
-
$A\sim A$ ，反身性 - 若$A\sim B\Rightarrow B\sim A$，对称性
- 若$A\sim B,B\sim C\Rightarrow A\sim C$，传递性
$|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$ $r(A)=r(B)$ - A,B有相同的特征值
$|A|=|B|=\prod\limits^n_{i=1}\lambda_i$ $\sum\limits^n_{i=1}a_{ii}=\sum\limits^n_{i=1}b_{ii}=\sum\limits^n_{i=1}\lambda_{i}$
元素$a_{ij}$都是实数的对称矩阵称为实对称矩阵，$a_{ij}$是实数$\Leftrightarrow a_{ij}=\bar{a}{ij}$（$\bar{a}{ij}$是$a_{ij}$的共轭）记$\bar{A}=[\bar{a}_{ij}]$，则A是实对称阵$\Leftrightarrow A^T=A$，且$\bar{A}=A$
定理 5.4 实对称矩阵的特征值全部是实数 定理 5.5 实对称矩阵的属于不同特征值对应的特征向量相互正交 定理 5.6 实对称矩阵必相似于对角阵，即存在可逆阵P，使得$P^{-1}AP=\Lambda$，且存在正交阵Q，使得$Q^{-1}AQ=Q^T AQ=\Lambda$
- 解特征方程$|\lambda E-A|=0$，求出全部特征值：$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r$（均为实数）（若求得的是特征值的取值范围，则$\lambda$的取值范围应限于实数，去除复数）
- 求$(\lambda_i E-A)x=0$的基础解系$\alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ik_i},i=1,2,\cdots,r$，即是A的属于特征值$\lambda_i$的线性无关的特征向量。若$\lambda_i$是$k_i$重根，则必有$k_i$个线性无关特征向量（若求解方程$(\lambda_i E-A)x=0$的基础解系时，使$\alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ik_i}$能相互正交更好，可免去下一步将$\alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ik_i}$正交化的工作）
- 将每个属于$\lambda_i$的特征向量$\alpha_{i1},\alpha_{i2},\cdots,\alpha_{ik_i}$正交化（不同特征值对应的特征向量已相互正交）正交后的向量组记成$\beta_{i1},\beta_{i2},\cdots,\beta_{ik_i}$
- 将全部特征向量单位化。得标准正交向量组记成
$$\beta_{11},\beta_{12},\cdots,\beta_{1k_1},\beta_{21},\beta_{22},\cdots,\beta_{2k_2},\cdots,\beta_{r1},\beta_{r2},\cdots,\beta_{rk_r}$$ - 将n个单位正交特征向量合并成正交矩阵，记成
$$Q=[\beta_{11},\beta_{12},\cdots,\beta_{1k_1},\beta_{21},\beta_{22},\cdots,\beta_{2k_2},\cdots,\beta_{r1},\beta_{r2},\cdots,\beta_{rk_r}]$$
此即是所求的正交阵，且有
定义 6.1 n个变量的一个二次齐次多项式
称为n个变量的二次型，系数均为实数时，称为n元实二次型
例如：$f(x_1,x_2,x_3)=x^2_1+2x_1x_2+4x_1x_3+2x^2_2+6x_2x_3+x^2_3$是一个三元二次齐次多项式，称为三元二次型
首先将二次型表示成矩阵形式，因表示成矩阵形式，因$x_ix_j=x_jx_i$，具有对称性，若令$a_{ij}=a_{ji},i<j$，则$2a_{ij}x_ix_j=a_{ij}x_ix_j+a_{ji}x_jx_i$，则二次型可以写成矩阵形式： $$\begin{aligned} f(x_1,x_2,\cdots,x_n) &= \sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1}a_{ij}x_ix_j\ &= [x_1,x_2,\cdots,x_n] \begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\ \vdots&\vdots& &\vdots\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\x_2\ \vdots\x_n\end{bmatrix}=\bm{x}^T \bm{Ax}\end{aligned}$$ 其中$A^T=A$是对称矩阵，称为二次型f的对应矩阵
例如： $$ \begin{aligned} f(x_1,x_2,x_3) &= x^2_1+2x_1x_2+4x_1x_3+2x^2_2+6x_2x_3+x^2_3\ &=[x_1,x_2,x_3] \begin{bmatrix} 1&1&2\ 2&2&3\ 2&3& \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\x_2\x_3\end{bmatrix}=\bm{x^TAx} \end{aligned}$$
定义 6.2 若二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$只有平方项，没有混合项（即混合项的系数全为零），即 $$\begin{aligned} f(x_1,x_2,\cdots,x_n)&=\bm{x^TAx}\ &=d_1x^2_1+\cdots+d_px^2_p-d_{p+1}x^2_{p+1}-\cdots-d_{p+q}x^2_{p+q}\end{aligned}$$ 其中$d_i>0,i=1,2,\cdots,p+q\ p+q=r\leq n$ 则称二次型为标准形（又称平方和）
在二次型的标准形中，若平方项的系数$d_i$只是1,-1,0,即
定理 6.1 对任意一个n元二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\bm{x}^T\bm{Ax}$，必存在正交变换$\bm{x}=\bm{Qy}$，其中Q是正交阵，化二次型为标准形，即
用矩阵的语言表达，即
对任意一个n阶实对称阵A，必存在正交阵Q，使得
定理 6.2 任一个n元二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\bm{x}^T\bm{Ax}$，都可以通过（配方法）可逆线性变换$x=Cy$，其中C是可逆阵，化成标准形，即
定义 6.3（合同） 设A，B是两个n阶方阵，，若存在可逆阵C，使得$C^TAC=B$，则称A合同于B
合同矩阵有如下性质
- 反身性：A合同于A
- 对称性：若A合同于B，则B合同于A
- 传递性：若A合同于B，B合同于C，则A合同于C
一个二次型$f=x^TAx$，经过可逆线性变换$x=Cy$，其中C是可逆阵，得
其中$B=C^TAC$，且B仍是对称阵
此时称A和B是合同矩阵，二次型f和g称为合同二次型。显然合同局长（合同二次型）有相同的秩
定理 6.3（惯性定理） 对于一个二次型，作可逆线性变换化成标准形（或规范形）。所作的可逆线性变换不唯一，标准形也不唯一，但其标准形中正平方项的项数p，负平方项的项数q都是由所给二次型唯一确定的
正平方项的项数p称为正惯性指数，赋平方项的项数q称为负惯性指数，p+q=r是二次型对应矩阵的秩，p-q称为符号差
定理 6.4 实对称阵A合同于B
A合同于B$\Rightarrow r(A)=r(B)$
定义 6.4（正定） 若对于任意的非零向量$\bm{x}=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T$，恒有
例如：$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=d_1x^2_1+d_2x^2_2+\cdots+d_nx^2_n$，其中$d_i>0,i=1,2,\cdots,n$。因其对任意的非零向量$\bm{x}=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T\neq \bm{0}$，均有
反之，只有平方项的二次型正定，则其系数$d_i>0,i=1,2,\cdots,n$，故
定理 6.5 可逆线性变换不改变二次型的正定性
由定理可知，对一般的二次型（或对称阵）应设法做可逆线性变换化成标准形（或规范形），看$d_i$是否均大于零来判别其正定性
定理 6.6 f正定的充要条件
定理 6.7
若二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\bm{x}^T\bm{Ax}$正定，则
- A的主对角元素$a_{ii}>0$
- A的行列式$|A|>0$