公式.md

导数公式

1. $(\sin x)'=\cos x$
2. $(\cos x)'=-\sin x$
3. $(\tan x)'=\sec^2 x$
4. $(\cot x)'=-csc^2 x$
5. $(\sec x)'=\sec x\tan x$
6. $(\csc x)'=-\csc x\cot x$
7. $(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
8. $(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
9. $(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$
10. $(arc\cot x)'=-\frac{1}{1+x^2}$

常用麦克劳林公式

1. $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$

2. $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...+\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})$
3. $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...+\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}+o(x^{2n})$
4. $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+...+x^n+o(x^n)$
5. $\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-...+(-1)^nx^n+o(x^n)$
6. $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-...+\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}+o(x^n)$
7. $(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\frac{a(a-1)(a-2)x^3}{3!}+...+\frac{a(a-1)...(a-n+1)x^n}{n!}+o(x^n)$
8. $\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-...+\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+1})$

积分公式

$\int^\pi_0xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int^\pi_0f(\sin x)dx$

伽马函数

$\Gamma(S)=\int^{+\infty}_0 x^{s-1}e^{-x}dx=(s-1)!$
$\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$
$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$

一阶非齐次线性微分方程通解公式

形如$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$的公式通解为 $y=[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]e^{-\int P(x)dx}$

二阶常系数齐次线性微分方程

$y''+py'+qy=0$ 特征方程：$\lambda^2+p\lambda+q=0$

1. $\Delta>0$ 通解：$y=C_1e^{\lambda_1 x}+C_2e^{\lambda_2 x}$
2. $\Delta=0$ 通解：$y=(C_1+C_2x)e^{\lambda_1}x$
3. $\Delta<0\rightarrow \lambda_{1,2}=\alpha\pm i\beta$ 通解：$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

二阶常系数非齐次线性微分方程

$y''+py'+qy=f(x)$

$f(x)=P_n(x)e^{kx}$

1. k非特征值，令$y_0=(a_0+a_1x+...+a_nx^n)e^{kx}=Q(x)e^{kx}$
2. k与一个特征值相同，令$y_0=x(a_0+a_1x+...+a_nx^n)e^{kx}=xQ(x)e^{kx}$
3. k与两个特征值相同，令$y_0=x^2(a_0+a_1x+...+a_nx^n)e^{kx}=xQ(x)e^{kx}$

$f(x)=e^{\alpha x}[P_l(x)\cos\beta x+P_s(x)\sin\beta x]$

1. 若$\alpha+i\beta$ 不是特征值，则令$y_0(x)=e^{\alpha x}[Q^{(1)}_n(x)\cos\beta x+Q^{(2)}_n(x)\sin\beta x]$
2. 若$\alpha+i\beta$ 是特征值，则令$y_0(x)=xe^{\alpha x}[Q^{(1)}_n(x)\cos\beta x+Q^{(2)}_n(x)\sin\beta x]$