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\contentsline {chapter}{Note introduttive}{v}{chapter*.2}%
\contentsline {section}{\numberline {0.1}Ciancio alle bande}{v}{section.0.1}%
\contentsline {section}{\numberline {0.2}Crediti}{v}{section.0.2}%
\contentsline {section}{\numberline {0.3}Contatti}{v}{section.0.3}%
\contentsline {chapter}{\numberline {1}Funzioni analitiche, prolungamenti ed espansioni asintotiche}{1}{chapter.1}%
\contentsline {section}{\numberline {1.1}Spunti di teoria generale (Davide Bufalini, Alessandro Marcelli)}{1}{section.1.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.1.1}I numeri complessi (Alessandro Marcelli)}{1}{subsection.1.1.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.1.2}Funzioni di variabile complessa (Alessandro Marcelli)}{2}{subsection.1.1.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.1.3}Zeri e singolarità (Alessandro Marcelli)}{3}{subsection.1.1.3}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {1.1.3.1}Zeri}{3}{subsubsection.1.1.3.1}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {1.1.3.2}Singolarità}{3}{subsubsection.1.1.3.2}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {1.1.3.3}Residui}{3}{subsubsection.1.1.3.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.1.4}Indicatore Logaritmico (Davide Bufalini)}{3}{subsection.1.1.4}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.1.5}Espansione di Weierstrass (Davide Bufalini)}{4}{subsection.1.1.5}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.1.6}Funzioni speciali (Alessandro Marcelli)}{4}{subsection.1.1.6}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {1.1.6.1}Funzione Gamma di Eulero}{4}{subsubsection.1.1.6.1}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {1.1.6.2}Funzione Digamma}{4}{subsubsection.1.1.6.2}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {1.1.6.3}Funzione beta di Eulero}{4}{subsubsection.1.1.6.3}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {1.1.6.4}Funzione zeta di Riemann generalizzata}{4}{subsubsection.1.1.6.4}%
\contentsline {section}{\numberline {1.2}Inversione e reciprocità locale (Davide Bufalini)}{5}{section.1.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.2.1}Spunti di teoria (Davide Bufalini)}{5}{subsection.1.2.1}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {1.2.1.1}Funzione reciproca}{5}{subsubsection.1.2.1.1}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {1.2.1.2}Funzione inversa}{6}{subsubsection.1.2.1.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.2.2}Numeri di Eulero}{7}{subsection.1.2.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.2.3}Numeri di Bernoulli}{7}{subsection.1.2.3}%
\contentsline {section}{\numberline {1.3}Espansione di Mittag-Leffler (Davide Bufalini)}{8}{section.1.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.3.1}Esempio 1: $\qopname \relax o{cot}(z)$}{8}{subsection.1.3.1}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {1.3.1.1}Calcolo dell'espansione}{8}{subsubsection.1.3.1.1}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {1.3.1.2}Verifica dell'espansione}{9}{subsubsection.1.3.1.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.3.2}Esempio 2: $\qopname \relax o{sin}^{-2}(z)$}{10}{subsection.1.3.2}%
\contentsline {section}{\numberline {1.4}Sommerfeld-Watson (Davide Bufalini)}{11}{section.1.4}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.4.1}Esempio 1}{11}{subsection.1.4.1}%
\contentsline {section}{\numberline {1.5}Espansioni asintotiche (Davide Bufalini, Alessandro Marcelli, Paolo Proia)}{12}{section.1.5}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.5.1}Spunti di teoria (Davide Bufalini, Alessandro Marcelli, Paolo Proia)}{12}{subsection.1.5.1}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {1.5.1.1}Definizione molto generale (Alessandro Marcelli)}{12}{subsubsection.1.5.1.1}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {1.5.1.2}Termine Leading: Metodo di Laplace (Alessandro Marcelli)}{12}{subsubsection.1.5.1.2}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {1.5.1.3}Metodo risolutivo generalizzato (Paolo Proia)}{12}{subsubsection.1.5.1.3}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {1.5.1.4}Metodo del punto di sella (Davide Bufalini, Alessandro Marcelli)}{13}{subsubsection.1.5.1.4}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.5.2}Esempio 1: metodo generalizzato (Paolo Proia)}{14}{subsection.1.5.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.5.3}Esempio 2 (Davide Bufalini) }{16}{subsection.1.5.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.5.4}Esempio 3 (Davide Bufalini)}{18}{subsection.1.5.4}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.5.5}Esempio 4 (Davide Bufalini)}{20}{subsection.1.5.5}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.5.6}Esempio 5: Punto di sella 1 (Davide Bufalini)}{22}{subsection.1.5.6}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.5.7}Esempio 6: Punto di sella 2 (Davide Bufalini)}{24}{subsection.1.5.7}%
\contentsline {subsection}{\numberline {1.5.8}Esempio 7: Prova d'esame (Paolo Flavoni)}{26}{subsection.1.5.8}%
\contentsline {chapter}{\numberline {2}Operatori Infinito-Dimensionali}{27}{chapter.2}%
\contentsline {section}{\numberline {2.1}Spunti di teoria generale (Alessandro Marcelli)}{27}{section.2.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.1.1}Nozioni generali sugli spazi}{27}{subsection.2.1.1}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.1.1.1}Spazi vettoriali}{27}{subsubsection.2.1.1.1}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.1.1.2}Spazi metrici, normati ed euclidei}{28}{subsubsection.2.1.1.2}%
\contentsline {paragraph}{\numberline {2.1.1.2.1}Teorema del completamento}{29}{paragraph.2.1.1.2.1}%
\contentsline {paragraph}{\numberline {2.1.1.2.2}Completezza di $l_2$}{30}{paragraph.2.1.1.2.2}%
\contentsline {paragraph}{\numberline {2.1.1.2.3}Teorema di ortonormalizzazione}{31}{paragraph.2.1.1.2.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.1.2}Operatori}{32}{subsection.2.1.2}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {2.1.2.1}Spettri per operatori Infinito-Dimensionali}{33}{subsubsection.2.1.2.1}%
\contentsline {section}{\numberline {2.2}Operatori integrali (Davide Bufalini, Alessandro Marcelli)}{34}{section.2.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.1}Spunti di teoria (Alessandro Marcelli)}{34}{subsection.2.2.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.2}Esempio 1 (Davide Bufalini)}{35}{subsection.2.2.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.3}Esempio 2 (Davide Bufalini)}{38}{subsection.2.2.3}%
\contentsline {section}{\numberline {2.3}Operatori differenziali (Davide Bufalini, Alessandro Marcelli)}{40}{section.2.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.3.1}Spunti di teoria (Alessandro Marcelli)}{40}{subsection.2.3.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.3.2}Esempio 1: Operatore Differenziale del IIo Ordine (Davide Bufalini)}{41}{subsection.2.3.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.3.3}Esempio 2 (Davide Bufalini)}{43}{subsection.2.3.3}%
\contentsline {section}{\numberline {2.4}Operatori a blocchi (Davide Bufalini, Alessandro Marcelli, Paolo Proia)}{45}{section.2.4}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.4.1}Esempio 1 con metodo esplicito e analitico (Davide Bufalini, Paolo Proia)}{45}{subsection.2.4.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {2.4.2}Esempio 2 con metodo esplicito e analitico (Davide Bufalini, Alessandro Marcelli)}{50}{subsection.2.4.2}%
\contentsline {chapter}{\numberline {3}Equazioni Differenziali Ordinarie}{55}{chapter.3}%
\contentsline {section}{\numberline {3.1}Spunti di teoria generale (Alessandro Marcelli)}{55}{section.3.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.1.1}Concetti generali}{55}{subsection.3.1.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.1.2}Esistenza ed unicità delle soluzioni}{55}{subsection.3.1.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.1.3}Distribuzioni}{56}{subsection.3.1.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.1.4}Equazioni Differenziali Lineari}{56}{subsection.3.1.4}%
\contentsline {section}{\numberline {3.2}EDO lineari del 1o ordine [teoria](Alessandro Marcelli)}{57}{section.3.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.2.1}Separazione di variabili + variazione delle costanti}{57}{subsection.3.2.1}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.2.2}Metodo della funzione di Green}{58}{subsection.3.2.2}%
\contentsline {section}{\numberline {3.3}EDO lineari del 2o ordine (Adriano Chialastri, Alessandro Marcelli)}{60}{section.3.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.1}Spunti di teoria (Alessandro Marcelli)}{60}{subsection.3.3.1}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.3.1.1}Metodo del Wronskiano}{62}{subsubsection.3.3.1.1}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.3.1.2}Metodo della funzione di Green}{63}{subsubsection.3.3.1.2}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.3.1.3}Teorema di Green}{65}{subsubsection.3.3.1.3}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.3.1.4}Applicazione del teorema di Green ai problemi di Sturm-Liouville}{66}{subsubsection.3.3.1.4}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.3.1.5}Applicazione del teorema di Green ai problemi di Cauchy}{67}{subsubsection.3.3.1.5}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.3.1.6}Operatori lineari, unicità delle soluzioni e teorema dell'alternativa}{67}{subsubsection.3.3.1.6}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.3.1.7}Applicazione del teorema dell'alternativa alle funzioni di Green}{69}{subsubsection.3.3.1.7}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.2}Messaggio dall'autore}{70}{subsection.3.3.2}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.3}Esempio 1: Problema di Cauchy (Adriano Chialastri) }{70}{subsection.3.3.3}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.4}Esempio 2: Omogenea di Eulero (Adriano Chialastri)}{72}{subsection.3.3.4}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.5}Esempio 3: Problema di Sturm-Liouville (Adriano Chialastri)}{73}{subsection.3.3.5}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.6}Esempio 4: Problema di Cauchy non lineare (Adriano Chialastri)}{75}{subsection.3.3.6}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.7}Esempio 5: Prova d'esame (Alessandro Marcelli)}{78}{subsection.3.3.7}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.3.8}Esempio 6: Prova d'esame (Alessandro Marcelli)}{80}{subsection.3.3.8}%
\contentsline {section}{\numberline {3.4}Equazioni Differenziali Ordinarie Complesse (Alessandro Marcelli)}{82}{section.3.4}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.4.1}Spunti di teoria}{82}{subsection.3.4.1}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.4.1.1}Concetti introduttivi}{82}{subsubsection.3.4.1.1}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.4.1.2}Punti regolari e soluzione per serie}{83}{subsubsection.3.4.1.2}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.4.1.3}Punti singolari}{86}{subsubsection.3.4.1.3}%
\contentsline {paragraph}{\numberline {3.4.1.3.1}Soluzioni per autovalori di $A$ non coincidenti}{87}{paragraph.3.4.1.3.1}%
\contentsline {paragraph}{\numberline {3.4.1.3.2}Soluzioni per autovalori di $A$ coincidenti}{88}{paragraph.3.4.1.3.2}%
\contentsline {paragraph}{\numberline {3.4.1.3.3}Punti singolari regolari e teorema di Fuchs}{89}{paragraph.3.4.1.3.3}%
\contentsline {subparagraph}{\numberline {3.4.1.3.3.1}Verifica dei coefficienti}{91}{subparagraph.3.4.1.3.3.1}%
\contentsline {subparagraph}{\numberline {3.4.1.3.3.2}Convergenza delle serie}{93}{subparagraph.3.4.1.3.3.2}%
\contentsline {paragraph}{\numberline {3.4.1.3.4}Punti singolari non regolari}{95}{paragraph.3.4.1.3.4}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.4.1.4}Punto all'infinito}{96}{subsubsection.3.4.1.4}%
\contentsline {subsubsection}{\numberline {3.4.1.5}Equazioni fuchsiane}{98}{subsubsection.3.4.1.5}%
\contentsline {paragraph}{\numberline {3.4.1.5.1}Trasformazioni conformi}{99}{paragraph.3.4.1.5.1}%
\contentsline {paragraph}{\numberline {3.4.1.5.2}Equazioni con 1 punto fuchsiano}{101}{paragraph.3.4.1.5.2}%
\contentsline {paragraph}{\numberline {3.4.1.5.3}Equazioni con 2 punti fuchsiani}{102}{paragraph.3.4.1.5.3}%
\contentsline {paragraph}{\numberline {3.4.1.5.4}Equazioni con 3 punti fuchsiani: Papperitz-Riemann}{104}{paragraph.3.4.1.5.4}%
\contentsline {paragraph}{\numberline {3.4.1.5.5}Equazione ipergeometrica}{106}{paragraph.3.4.1.5.5}%
\contentsline {subparagraph}{\numberline {3.4.1.5.5.1}Soluzioni dell'ipergeometrica}{107}{subparagraph.3.4.1.5.5.1}%
\contentsline {subparagraph}{\numberline {3.4.1.5.5.2}Relazioni tra le soluzioni dell'ipergeometrica}{109}{subparagraph.3.4.1.5.5.2}%
\contentsline {subparagraph}{\numberline {3.4.1.5.5.3}Convergenza della serie ipergeometrica}{109}{subparagraph.3.4.1.5.5.3}%
\contentsline {paragraph}{\numberline {3.4.1.5.6}Equazione ipergeometrica confluente}{110}{paragraph.3.4.1.5.6}%
\contentsline {subsection}{\numberline {3.4.2}Esempi}{112}{subsection.3.4.2}%