-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy pathchaptermagnetoelasticity.tex
1046 lines (878 loc) · 55.1 KB
/
chaptermagnetoelasticity.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
\en{\chapter{Magnetoelasticity}}
\ru{\chapter{Магнитоупругость}}
\thispagestyle{empty}
\newcommand\electromagneticforce{\bm{\mathrm{F}}}
\newcommand\ponderomotiveforce{\bm{\mathrm{f}}}
\newcommand\chargedensity{\varrho} % {\uprho}
\newcommand\currentdensity{\bm{j}} % {\bm{\jmath}}
\newcommand\velocityofpoint{\mathdotabove{\locationvector}} % {\bm{v}}
%\bm{v} \equiv \mathdotabove{\locationvector}
\newcommand\vacuumpermittivity{\varepsilon_{\hspace{-0.1ex}\scalebox{.6}[.5]{$\raisemath{.1ex}{0}$}}}
\newcommand\vacuumpermeability{\mu_{\hspace{.05ex}\scalebox{.6}[.5]{$\raisemath{.1ex}{0}$}}}
\newcommand\maxwellstress{{^2\hspace{-0.25ex}\mathboldM}}
\newcommand\expminustwelve{\hspace{.16ex}\scalebox{.8}[1]{\hbox{--}}\raisemath{.1ex}{1\kern-0.07ex2}}
%% magneto-electro-elastic materials
\label{chapter:magnetoelasticity}
\begin{changemargin}{\parindent}{\parindent}
\vspace{-2em}
{\noindent\small
\en{Much in the~modern world}\ru{Многое в~современном мире}
\en{is built upon}\ru{построено на}
\en{the~theory of~electromagnetism}\ru{теории электромагнетизма}.
%
\en{This theory}\ru{Эта теория}
\en{was created}\ru{была создана}
\en{in~the}\ru{в}~\hbox{XIX$^{\textrm{\en{th}\ru{ом}}}$\hspace{-0.2ex}}~\en{century}\ru{веке}.
%
\en{Its creators}\ru{Её создатели}\:---
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Gian_Domenico_Romagnosi}{Gian Domenico Romagnosi},
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Hans_Christian_%C3%98rsted}{Hans Christian Ørsted},
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Andr%C3%A9-Marie_Amp%C3%A8re}{André\hbox{-}Marie Ampère},
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Michael_Faraday}{Michael Faraday},
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwell}{James Clerk Maxwell},
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Oliver_Heaviside}{Oliver Heaviside},
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Heinrich_Hertz}{Heinrich Hertz},
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Hendrik_Lorentz}{Hendrik Lorentz}
\en{and others}\ru{и~другие}\:---
\en{relied on}\ru{опирались на}
\en{the~experiments}\ru{эксперименты}
\en{with electric circuits}\ru{с~электрическими цепями}
\en{and}\ru{и}
\en{didn’t imagine}\ru{не~представляли}
\en{the~existænce}\ru{о~существовании}
\en{of electromagnetic waves}\ru{электромагнитных волн}.
%
\en{Nevertheless}\ru{Тем не~менее},
\en{the~entities}\ru{сущности}\ru{,}
\en{describing}\ru{описывающие}
\en{electricity}\ru{электричество}
\en{and}\ru{и}~\en{magnetism}\ru{магнетизм}
\en{at each point}\ru{в~каждой точке}\ru{,}
\en{were introduced}\ru{были введены}
\en{as vectors}\ru{как векторы},
\en{along with }\ru{вместе с~}\en{the~differential equations}\ru{дифференциальными уравнениями}
\en{featuring these vectors}\ru{с~участием этих векторов}.
%
\en{This happened}\ru{Это случилось}
\en{due to}\ru{из\hbox{-}за}
\emph{\ru{эфира~}\ru{\hspace{-0.2ex}(}\en{the~\hspace{-0.2ex}}æther\ru{)}},
\en{because}\ru{ведь}
\en{the~creators of~the~theory}\ru{создатели теории}
\en{were convinced}\ru{были убеждены}
\en{of its existænce}\ru{в~его существовании}
\en{and thus}\ru{и~поэтому}
\en{utilized}\ru{пользовались}
\en{the~concept of~it}\ru{этим концептом}.
\vspace{1ex}
%%\en{Problems}\ru{Проблемы},
%%\en{which}\ru{которые}
%%\en{are solved}\ru{решаются}
%%\en{using models}\ru{с~использованием моделей}
%%\en{of an~elastic continua}\ru{упругих \rucontinuum{}ов},
%%\en{usually}\ru{обыкновенно}
%%\en{include}\ru{включают}
%%\en{the~already known}\ru{уж\'{е} известные}
%%\en{external loads}\ru{внешние нагрузки}.
%%\en{How to~find}\ru{Как найти}
%%\en{these external loads}\ru{эти внешние нагрузки}\en{ is}\ru{\:---}
%%\en{another problem}\ru{другая проблема}.
%
\en{When}\ru{Когда}
\en{electric currents}\ru{электрические токи}
\en{flow}\ru{текут}
\en{in a~body}\ru{в~теле}~(\en{a~medium}\ru{среде}),
\en{the~magnetic field}\ru{магнитное поле}
\en{produces}\ru{производит}
\en{a~load}\ru{нагрузку},
\en{a~body}\ru{тело}
\en{deforms}\ru{деформируется},
\en{and this deformation}\ru{и~эта деформация}
\en{alters}\ru{изменяет}
\en{the~magnetic field itself}\ru{сам\'{о} магнитное поле}.
%
\en{If}\ru{Если}
\en{the~field}\ru{поле}
\en{is highly sensitive}\ru{высок\'{о} чувствительно}
\en{to deformations}\ru{к~деформациям},
\en{then}\ru{то}
\ru{возникает }\en{a~joint problem}\ru{совместная проблема}
\en{of elasticity}\ru{упругости}
\en{and magnetism}\ru{и~магнетизма}\en{ emerges}.
\par}
\vspace{-1em}
\end{changemargin}
\en{\section{Electromagnetic field}}
\ru{\section{Электромагнитное поле}}
\label{section:electromagneticfieldandwaves}
\dropcap{\en{H}\ru{В}}{\en{ere}\ru{от}}\en{ is}
\en{the~summary}\ru{краткое изложение}
\en{of the~theory}\ru{теории}
\en{of~}\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Electromagnetism}{\en{electromagnetism}\ru{электромагнетизма}}.
\noindent\hspace{\parindent}\hspace{1ex}
\en{The~theory}\ru{Теория}
\en{describes}\ru{описывает}
\en{the~couple}\ru{пару}
\en{of the~closely intertwined}\ru{тесно переплетённых}
\en{together}\ru{между собой}
\en{vector fields}\ru{векторных полей},
\en{the~electric one}\ru{электрическое}~${\hspace{.1ex}\boldmathbb{E}(\locationvector\hspace{-0.25ex}, t)}$
\en{and}\ru{и}~\en{the~magnetic one}\ru{магнитное}~${\hspace{.1ex}\boldmathbb{B}(\locationvector\hspace{-0.25ex}, t)}$.
\en{What are}\ru{Что такое}
\en{the~vector}\ru{вектор}~${\hspace{.1ex}\boldmathbb{E}}$
\en{and }\ru{и~}\en{the~pseudo\-vector}\ru{псевдо\-вектор}~${\hspace{.1ex}\boldmathbb{B}}$
\en{can be}\ru{можно}
\en{figured out}\ru{понять}
\en{from}\ru{из}
\en{the~expression}\ru{выражения}
\en{for}\ru{для}
\en{the~electromagnetic force}\ru{электромагнитной силы},
\en{or}\ru{или}
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force}{\en{the Lorentz force}\ru{силы Lorentz’а}}.
\en{This force}\ru{Эта сила}~${\electromagneticforce (\locationvector\hspace{-0.25ex}, \mathdotabove{\locationvector}\hspace{-0.25ex}, t, q)}$
\en{acts on}\ru{действует на}~\en{a~point-like charge}\ru{точечный заряд}\:---
\en{a~vanishingly small}\ru{исчезающе м\'{а}лую}
(\en{infinitesimal in size}\ru{бесконечно-м\'{а}леньких размеров})
\en{particle}\ru{частицу}\ru{,}
\en{that contains}\ru{содержащую}
\en{the~electric charge}\ru{электрический заряд}~$q$
\en{and}\ru{и}~\en{moves}\ru{движущуюся}
\en{with the~velocity}\ru{со~скоростью}~${\velocityofpoint}$
\nopagebreak\vspace{-0.8em}\begin{equation}\label{electromagneticforce}
\electromagneticforce = \hspace{.1ex} q \hspace{.2ex} \bigl(
\hspace{.1ex} \boldmathbb{E} \hspace{.2ex} + \hspace{.2ex} \velocityofpoint \hspace{-0.1ex} \times \hspace{-0.15ex} \boldmathbb{B}
\bigr)
\hspace{-0.1ex} .
\end{equation}
\vspace{-0.7em}\noindent
\en{In~essence}\ru{По~сути},
\en{the~part}\ru{часть}
\en{of the~electromagnetic force}\ru{электромагнитной силы}\ru{,}
\en{arising from an~interaction}\ru{возникающая от взаимо\-действия}
\en{with a~moving charge}\ru{с~движущимся зарядом}\:---
\en{the~magnetic force}\ru{магнитная сила}~${q \hspace{.1ex} \velocityofpoint \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.1ex} \boldmathbb{B}}$\:---
\en{reveals}\ru{являет}
\en{the~magnetic field}\ru{магнитное поле}~${\hspace{.1ex}\boldmathbb{B}}$,
\en{while}\ru{в~то время как}
\en{the~other part}\ru{другая часть}\:---
\en{the~electric force}\ru{электрическая сила}~${q \hspace{.2ex} \boldmathbb{E}}$\:---
\en{reveals}\ru{являет}
\en{the~electric field}\ru{электрическое поле}~${\hspace{.1ex}\boldmathbb{E}}$.
\vspace{-0.1em}
\en{The~acute question}\ru{Острый вопрос} \emph{\inquotes{%
\en{in~which exactly}\ru{в~какой~же именно} \en{frame of~reference}\ru{системе отсчёта} \en{is}\ru{измеряется} \en{velocity}\ru{скорость}~${\velocityofpoint}$ \en{of a~charged particle}\ru{заряжённой частицы}\en{ measured}?%
}}
\en{leads to}\ru{ведёт к}~\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Special_relativity}{\en{the~special theory of relativity}\ru{специальной теории относительности}}%
\footnote{%
\bookauthor{Albert Einstein}.
\href{http://users.physik.fu-berlin.de/~kleinert/files/1905_17_891-921.pdf}{Zur Elektrodynamik bewegter Körper.~//
Annalen der~Physik, IV\kern-0.33ex.\:Folge, Band~17, 1905. Seiten 891\hbox{--}921.}
}\hbox{\hspace{-0.55ex}.}
\en{However}\ru{Однако},
\en{here}\ru{здесь}
\en{I~will}\ru{я буду}
\en{follow}\ru{следовать}
\en{the~classical concept}\ru{классическому концепту}
\en{about the~existænce}\ru{о~существовании}
\en{of the~absolute space}\ru{абсолютного пространства}
\en{and time}\ru{и~времени}
\en{as}\ru{как}
\en{the~most frequently chosen}\ru{наиболее часто выбираемой}
\en{frame of~reference}\ru{системы отсчёта}.
% continual model
\subsection*{\en{Continual model}\ru{Континуальная модель}}
\en{May the~reader guess}\ru{Может~ли читатель угадать}
\en{by the~book’s title}\ru{по названию книги},
\en{the~model}\ru{модель}
\en{of what kind}\ru{какого вида}
\en{awaits him}\ru{ждёт его}
\en{hereafter}\ru{дальше}?
%
\en{Yep}\ru{Да},
\en{ignoring}\ru{игнорируя}
\en{the~discreteness}\ru{дискретность}
\en{of~charge}\ru{заряда},
\en{that}\ru{то, что}
\en{any}\ru{любой}
\en{electric charge}\ru{электрический заряд}
\en{may~be only}\ru{может быть лишь}
\en{an~integer multiplier}\ru{целым множителем}
\ru{заряда}\en{of} \en{a~single lone el\'{e}ctron’s}\ru{одинокого электр\'{о}на}\en{ charge},
\en{there is}\ru{это\:---}
\en{the~model}\ru{модель}
\en{of the~continuous distribution of~charge}\ru{континуального~(непрерывного) распределения заряда}
\en{within a~volume}\ru{в~объёме},
\en{when}\ru{когда}
\en{the~finite volume}\ru{конечный объём}~$\mathcal{V}$
\en{contains}\ru{содержит}
\en{the~electric charge}\ru{электрический заряд}%
\footnote{%
\en{Doesn’t it remind of something}\ru{Ничего не~напоминает}?
\en{Even}\ru{Даже}~\eqrefwithchapterdotsection{themassofthevolume}{chapter:nonlinearcontinuum}{section:continuum}?%
}
\nopagebreak\vspace{-0.5em}
\begin{equation}\label{thechargeofthevolume}
q \hspace{.2ex} = \hspace{-0.5ex}
\scalebox{.9}{$\displaystyle\integral\displaylimits_{\mathcal{V}}$} \hspace{-0.2ex}
\chargedensity \hspace{.2ex} d\mathcal{V}
, \hspace{.8em}
dq = \chargedensity \hspace{.2ex} d \mathcal{V}
%%.
\end{equation}
\vspace{-0.7em}\noindent
(\en{the~charge density}\ru{плотность заряда}~${\chargedensity\hspace{.1ex}(\locationvector\hspace{-0.25ex}, t)}$
\en{is}\ru{есть}
\en{the~electric charge}\ru{электрический заряд}
\en{per volume unit}\ru{на единицу объёма}).
\en{On}\ru{На}~\en{a~continuum}\ru{\rucontinuum}
\en{with }\ru{с~}\en{charges}\ru{зарядами}
\en{and}\ru{и}~\en{currents}\ru{токами}
\en{acts}\ru{действует}
\en{the~}\ru{\inquotes{пондеромоторная}~(}\inquotes{ponderomotive}\ru{)}
\en{force}\ru{сила}~$\ponderomotiveforce$\:---
\en{the~electromagnetic Lorentz force}\ru{электромагнитная сила Lorentz’а}
\en{per volume unit}\ru{на единицу объёма}
\nopagebreak\vspace{-0.4em}
\begin{equation}\label{ponderomotive.electromagneticforcepervolumeunit}
\ponderomotiveforce =
\hspace{.1ex} \chargedensity \hspace{.2ex} \bigl(
\hspace{.1ex} \boldmathbb{E} \hspace{.2ex} + \hspace{.2ex} \velocityofpoint \hspace{-0.1ex} \times \hspace{-0.15ex} \boldmathbb{B}
\bigr) \hspace{-0.1ex} =
\chargedensity \hspace{.16ex} \boldmathbb{E} \hspace{.1ex} + \hspace{.1ex} \currentdensity \hspace{-0.16ex} \times \hspace{-0.2ex} \boldmathbb{B}
%%\hspace{.1ex} .
\end{equation}
\vspace{-0.4em}\noindent
\:---
\en{the~differential}\ru{дифференциальная}
(\en{the~local}\ru{локальная},
\en{the~microscopic}\ru{микроскопическая},
\en{the~continual}\ru{континуальная})
\en{version of}\ru{версия}~\eqref{electromagneticforce}.
\en{Here}\ru{Тут}
${%
\currentdensity
\equiv
\hspace{-0.1ex} \chargedensity \hspace{.2ex} \mathdotabove{\locationvector}
}$\en{ is}\ru{\:---}
\en{the~volume(tric) density}\ru{объёмная плотность}
\en{of the~electric current}\ru{электрического тока},
\en{in other words}\ru{другими словами}
\inquotesx{\en{the~flux}\ru{поток}
\en{of~electric charge}\ru{электрического заряда}}[.]
\en{A~vacuum}\ru{\ruVacuum}
\en{is a~medium}\ru{это среда}
\en{without a~matter}\ru{без материи},
\en{a\;}\inquotesx{\en{free space}\ru{свободное пространство}}[.]
\en{Within a~vacuum}\ru{В~\ruvacuum{}е}
\en{there’s no}\ru{нет}~$\chargedensity$
\en{and}\ru{и}~$\currentdensity$,
\en{it is}\ru{это}
\en{a~region}\ru{регион}
\en{without charges}\ru{без зарядов},
${\chargedensity = 0}$,
\en{and without currents}\ru{и~без токов},
${\currentdensity = \zerovector}$,
\en{thus}\ru{потому}
\en{there’s no}\ru{там нет}
\en{ponderomotive force}\ru{пондеромоторной силы},
${\ponderomotiveforce = \zerovector}$.
...
% Maxwell’s equations
\subsection*{\ru{Уравнения}\en{The} Maxwell’\en{s}\ru{а}\en{ equations}}
\en{Electromagnetic phenomena}\ru{Электромагнитные явления}
\en{are usually described}\ru{обыкновенно описываются}
\en{by}\ru{уравнениями} \en{the }\href{https://en.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwell}{Maxwell}’\en{s}\ru{а}\en{ equations}.
\en{Differential}\ru{Дифференциальные}
\en{versions}\ru{версии}
\en{of~}\en{these equations}\ru{этих уравнений}
\en{are}\ru{таков\'{ы}}
\nopagebreak
\refstepcounter{equation}
\begin{align*}
\hspace*{4.4em} \boldnabla \dotp \hspace{.12ex} \boldmathbb{E} &= \smash{\displaystyle \frac{\chargedensity}{\raisemath{.16em}{\vacuumpermittivity}}}
& %%%%%%\hspace{.1em} &
\pushright{\scalebox{.9}{\hspace*{.8ex}
\begin{minipage}[c]{.5\textwidth}\setstretch{.96}
\ru{теорема }Gauss’\en{s}\ru{а}\en{ theorem} \en{for elec\-tri\-ci\-ty}\ru{для элек\-три\-чества}
\end{minipage}\hspace*{.33ex}}}
\tag{$\theequation^{\raisemath{.15em}{\alpha}}$}\label{maxwell.equations:gauss.electric}
\\[.25em]
%
\boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.1ex} \boldmathbb{E} &= - \hspace{.2ex} \mathdotabove{\boldmathbb{B}}
& %%%%%%\hspace{.1em} &
\pushright{\scalebox{.9}{\hspace*{.8ex}
\begin{minipage}[c]{.5\textwidth}\setstretch{.96}
\ru{уравнение }Maxwell\ru{’а}--Faraday\ru{’я}\en{ equation}\\
(\ru{закон индукции }Faraday’\en{s}\ru{я}\en{ law of~induction})
\end{minipage}\hspace*{.33ex}}}
\tag{$\theequation^{\raisemath{.15em}{\beta}}$}\label{maxwell.equations:faraday.induction}
\\[.25em]
%
\boldnabla \dotp \hspace{.12ex} \boldmathbb{B} &= \hspace{.1ex} 0
& %%%%%%\hspace{.1em} &
\pushright{\scalebox{.9}{\hspace*{.8ex}
\begin{minipage}[c]{.5\textwidth}\setstretch{.96}
\ru{теорема }Gauss’\en{s}\ru{а}\en{ theorem} \en{for mag\-net\-ism}\ru{для магнетизма}
\end{minipage}\hspace*{.33ex}}}
\tag{$\theequation^{\raisemath{.15em}{\gamma}}$}\label{maxwell.equations:gauss.magnetic}
\\[.25em]
%
c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{.22ex} \boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.1ex} \boldmathbb{B} &= \smash{\displaystyle \frac{\currentdensity}{\raisemath{.16em}{\vacuumpermittivity}} + \hspace{.1ex} \mathdotabove{\boldmathbb{E}}}
& %%%%%%\hspace{.1em} &
\pushright{\scalebox{.9}{\hspace*{.8ex}
\begin{minipage}[c]{.5\textwidth}\setstretch{.96}\raggedright
\ru{циркуляционный закон }Ampère’\en{s}\ru{а}\en{ circuital law}
\en{with }\ru{со~}\ru{слагаемым }Maxwell’\en{s}\ru{а}\en{ term}~${\smash{\mathdotabove{\boldmathbb{E}}}}$
\en{for the~balance of electric charge}\ru{для баланса электрического заряда}
\end{minipage}\hspace*{.5ex}}}
\tag{$\theequation^{\raisemath{.15em}{\delta}}$}\label{maxwell.equations:ampere.circuital.with.addition}
\end{align*}
....
\en{speed of~light}\ru{скорость света}
\en{in vacuum}\ru{в~\ruvacuum{}е}
${c = 299\:792\:458}$~\raisebox{.3em}{\en{m}\ru{м}}\hspace{-0.2ex}/\hspace{-0.25ex}\raisebox{-0.2em}{\en{s}\ru{с}}
\inquotesx{electric constant}[,] \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Vacuum_permittivity}{vacuum permittivity} $\vacuumpermittivity$
${\vacuumpermittivity \hspace{-0.12ex} \approx 8.8541878 \hspace{-0.25ex}\cdot\hspace{-0.3ex} 10^{\expminustwelve}}$~${\text{\en{F}\ru{Ф}} \hspace{-0.33ex}\cdot\hspace{-0.33ex} \text{\en{m}\ru{м}}^{\hspace{-0.2ex}\expminusone}}$~(\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Farad}{\en{farads}\ru{фарад}} \en{per~metre}\ru{на~метр})
\inquotesx{magnetic constant}[,] \href{https://en.wikipedia.org/wiki/Vacuum_permeability}{vacuum permeability}~${\vacuumpermeability \hspace{-0.24ex} = \hspace{-0.08ex} \smash{\scalebox{0.9}{$\displaystyle \frac{\raisemath{-0.16em}{1}}{\raisemath{-0.1em}{\vacuumpermittivity \hspace{.1ex} c^{\hspace{.16ex}2}}}$}}}$
...
\en{With}\ru{С}~$\vacuumpermeability$\en{,}
\en{the~equation}\ru{уравнение}~\eqref{maxwell.equations:ampere.circuital.with.addition}
\en{is sometimes written as}\ru{иногда пишется как}
\nopagebreak\vspace{-0.3em}\begin{equation*}
\boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.1ex} \boldmathbb{B}
= \vacuumpermeability \hspace{.2ex} \currentdensity + \hspace{.1ex} \smash{\raisemath{.07em}{\scalebox{0.84}{$\displaystyle \frac{\raisemath{-0.16em}{1}}{\raisemath{-0.1em}c^{\hspace{.16ex}2}}$}}} \hspace{.1ex} \mathdotabove{\boldmathbb{E}}
%
\hspace{1em}\text{\en{or}\ru{или}}\hspace{.9em}
%
\boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.1ex} \boldmathbb{B}
= \vacuumpermeability \hspace{.2ex} \currentdensity + \vacuumpermeability \hspace{.1ex} \vacuumpermittivity \hspace{.1ex} \mathdotabove{\boldmathbb{E}}
\hspace{.2ex} .
\end{equation*}
...
% balance of charge
\subsection*{\en{The balance of charge}\ru{Баланс заряда}}
\en{The~balance}\ru{Баланс}
\en{of~charge}\ru{заряда}\:---
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Continuity_equation}{\en{the~continuity equation}\ru{уравнение непрерывности (сплошности, неразрывности)}}
\en{for}\ru{для}
\en{electric charges}\ru{электрических зарядов}\:---
\en{mathematically follows}\ru{математически следует}
\en{from}\ru{из}
\en{the}\ru{уравнений}
Maxwell’\en{s}\ru{а}\en{ equations}
\nopagebreak\vspace{.2em}\begin{equation*}
\left.\begin{array}{r@{\hspace{.6em}}c@{\hspace{.6em}}l}
\boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \eqref{maxwell.equations:ampere.circuital.with.addition}
& \Rightarrow &
c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{.22ex} \boldnabla \dotp \hspace{-0.1ex} \bigl( \boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.1ex} \boldmathbb{B} \hspace{.1ex} \bigr) \hspace{-0.1ex}
= \hspace{.1ex} \smash{\displaystyle \frac{\boldnabla \hspace{-0.15ex} \dotp \currentdensity}{\raisemath{.16em}{\vacuumpermittivity}}} \hspace{.1ex} + \boldnabla \dotp \hspace{.1ex} \mathdotabove{\boldmathbb{E}}
\\[.5em]
%
\eqref{maxwell.equations:gauss.electric}^{\hspace{-0.05ex}\tikz[baseline=-0.4ex]\draw[black, fill=black] (0,0) circle (.28ex);}
& \Rightarrow &
\boldnabla \dotp \hspace{.1ex} \mathdotabove{\boldmathbb{E}} \hspace{.1ex} = \smash{\displaystyle \frac{\mathdotabove{\chargedensity}}{\raisemath{.16em}{\vacuumpermittivity}}}
\\[.64em]
%
& &
\boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \bigl( \boldnabla \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.16ex} \bm{a} \bigr) \hspace{-0.3ex} = 0 \:\:\forall \bm{a}
\hspace{.1ex} , \hspace{.55em}
\currentdensity \equiv \chargedensity \hspace{.1ex} \mathdotabove{\locationvector}
\end{array}\hspace{.1ex}\right\rbrace
\hspace{.5ex}\Rightarrow\hspace*{4em}
\end{equation*}
\nopagebreak\vspace{-0.1em}\begin{equation}\label{continuity.balanceofelectriccharge}
\hspace*{1em}\Rightarrow\hspace{.7ex}
\boldnabla \hspace{-0.15ex} \dotp \hspace{-0.15ex} \bigl( \chargedensity \hspace{.1ex} \mathdotabove{\locationvector} \hspace{.1ex} \bigr) \hspace{-0.3ex} + \mathdotabove{\chargedensity} \hspace{.1ex} = 0
\hspace{.1ex} .
\vspace{-0.2em}\end{equation}
% Maxwell stress tensor
\subsection*{\en{The Maxwell stress tensor}\ru{Тензор напряжения Maxwell’а}}
\en{Upon a~continuum}\ru{На~\rucontinuum}\en{,}
\en{the~electro\-magnetic field}\ru{электро\-магнитное поле}
\en{acts}\ru{действует}
\en{with }\ru{с~}\en{the~ponderomotive}\ru{пондеромоторной}
\en{force}\ru{силой}~\eqref{ponderomotive.electromagneticforcepervolumeunit}.
%
\en{But}\ru{Но}
\en{there’s}\ru{есть}
\en{also}\ru{также}
\en{another}\ru{и~другое}
\en{expression}\ru{выражение}
\en{of~interaction}\ru{взаимо\-действия},
\en{the~bivalent}\ru{бивалентный}
\ru{тензор напряжения }\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell_stress_tensor}{\inquotes{Maxwell\ru{’а}}\en{ stress tensor}}
\nopagebreak\vspace{\en{-0.1em}\ru{-0.25em}}
\begin{equation}\label{maxwellstresstensor:definition}
\maxwellstress \equiv \hspace{.12ex}
\vacuumpermittivity \hspace{-0.33ex} \left(
\boldmathbb{E} \hspace{.1ex} \boldmathbb{E} + c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{.22ex} \boldmathbb{B} \boldmathbb{B}
- \hspace{.1ex} \smalldisplaystyleonehalf \hspace{.1ex} \bigl( \hspace{.1ex} \boldmathbb{E} \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{-0.15ex} \boldmathbb{E} + c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{.22ex} \boldmathbb{B} \hspace{-0.2ex} \dotp \hspace{-0.16ex} \boldmathbb{B} \bigr) \hspace{-0.06ex} \UnitDyad \hspace{.05ex}
\right)
\hspace{-0.22em} .
\end{equation}
\vspace{-0.2em}\noindent
\en{It derives}\ru{Он выводится} \en{from}\ru{из}~\eqref{ponderomotive.electromagneticforcepervolumeunit} \en{and}\ru{и} \ru{уравнений }Maxwell’\en{s}\ru{а}\en{ equations}
\nopagebreak\vspace{-0.1em}\begin{align*}
\eqref{maxwell.equations:gauss.electric}
& \hspace{.27em}\Rightarrow\hspace{.35em}
\chargedensity = \vacuumpermittivity \boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \boldmathbb{E}
\\[-0.1em]
%
\eqref{maxwell.equations:ampere.circuital.with.addition}
& \hspace{.27em}\Rightarrow\hspace{.35em}
\currentdensity = \vacuumpermittivity \hspace{.1ex} c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{.22ex} \boldnabla \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \boldmathbb{B} - \vacuumpermittivity \hspace{.1ex} \mathdotabove{\boldmathbb{E}}
\end{align*}
%
\nopagebreak\vspace{-1.2em}\begin{multline*}
\eqref{ponderomotive.electromagneticforcepervolumeunit}
\hspace{.27em}\Rightarrow\hspace{.35em}
\bm{f} = \hspace{.1ex} \vacuumpermittivity \hspace{-0.1ex} \boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \boldmathbb{E} \hspace{.16ex} \boldmathbb{E} \hspace{.2ex}
+ \bigl( \vacuumpermittivity \hspace{.1ex} c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{.22ex} \boldnabla \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \boldmathbb{B} - \vacuumpermittivity \hspace{.1ex} \mathdotabove{\boldmathbb{E}} \hspace{.1ex} \bigr) \hspace{-0.44ex} \times \hspace{-0.2ex} \boldmathbb{B} =
\\[-0.15em]
%
= \hspace{.1ex} \vacuumpermittivity \hspace{-0.1ex} \boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \boldmathbb{E} \hspace{.16ex} \boldmathbb{E} \hspace{.2ex}
+ \hspace{.1ex} \vacuumpermittivity \hspace{.1ex} c^{\hspace{.16ex}2} \bigl( \boldnabla \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \boldmathbb{B} \hspace{.1ex} \bigr) \hspace{-0.44ex} \times \hspace{-0.2ex} \boldmathbb{B} \hspace{.1ex}
- \hspace{.1ex} \vacuumpermittivity \hspace{.1ex} \mathdotabove{\boldmathbb{E}} \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.2ex} \boldmathbb{B}
\end{multline*}
\vspace{-0.1em}\begin{equation*}
\left.
\begin{array}{c}
\bigl( \hspace{.1ex} \boldmathbb{E} \times \hspace{-0.15ex} \boldmathbb{B} \hspace{.1ex} \bigr)^{\hspace{-0.1em}\tikz[baseline=-0.4ex]\draw[black, fill=black] (0,0) circle (.28ex);} \hspace{-0.15ex}
= \hspace{.1ex} \mathdotabove{\boldmathbb{E}} \times \hspace{-0.15ex} \boldmathbb{B} \hspace{.1ex} + \hspace{.1ex} \boldmathbb{E} \times \hspace{-0.15ex} \mathdotabove{\boldmathbb{B}}
\\[.15em]
\eqref{maxwell.equations:faraday.induction}
\hspace{.27em}\Rightarrow\hspace{.33em}
\mathdotabove{\boldmathbb{B}} = - \boldnabla \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \boldmathbb{E}
\end{array}
\hspace{-0.1em} \right\rbrace
%
\hspace{.1em} \Rightarrow \hspace{.22em}
%
\mathdotabove{\boldmathbb{E}} \times \hspace{-0.15ex} \boldmathbb{B} \hspace{.1ex}
= \hspace{-0.1ex} \bigl( \hspace{.1ex} \boldmathbb{E} \times \hspace{-0.15ex} \boldmathbb{B} \hspace{.1ex} \bigr)^{\hspace{-0.1em}\tikz[baseline=-0.4ex]\draw[black, fill=black] (0,0) circle (.28ex);} \hspace{-0.15ex}
+ \hspace{.1ex} \boldmathbb{E} \hspace{-0.1ex} \times \hspace{-0.4ex} \bigl( \boldnabla \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \boldmathbb{E} \hspace{.1ex} \bigr)
\end{equation*}
\noindent
\en{Then}\ru{Тогда}
\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation*}
\bm{f} = \hspace{.1ex} \vacuumpermittivity \hspace{-0.1ex} \boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \boldmathbb{E} \hspace{.1ex} \boldmathbb{E} \hspace{.2ex}
- \hspace{.1ex} \vacuumpermittivity \hspace{.1ex} c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{.22ex} \boldmathbb{B} \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.4ex} \bigl( \boldnabla \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \boldmathbb{B} \hspace{.1ex} \bigr) \hspace{-0.2ex}
- \hspace{.1ex} \vacuumpermittivity \hspace{.12ex} \boldmathbb{E} \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.4ex} \bigl( \boldnabla \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \boldmathbb{E} \hspace{.1ex} \bigr) \hspace{-0.2ex}
- \hspace{.1ex} \vacuumpermittivity \hspace{-0.07ex} \bigl( \hspace{.1ex} \boldmathbb{E} \times \hspace{-0.15ex} \boldmathbb{B} \hspace{.1ex} \bigr)^{\hspace{-0.1em}\tikz[baseline=-0.4ex]\draw[black, fill=black] (0,0) circle (.28ex);} \hspace{-0.15ex}
\end{equation*}
\vspace{-0.1em}\noindent
\en{For}\ru{Для} \en{the~symmetry}\ru{симметрии} \en{with}\ru{с}~${\boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \boldmathbb{E} \hspace{.1ex} \boldmathbb{E}}$, \en{the~null vector}\ru{нуль\hbox{-}вектор}
\nopagebreak\vspace{-0.1em}\begin{align*}
\eqref{maxwell.equations:gauss.magnetic}
& \hspace{.27em}\Rightarrow\hspace{.25em}
\boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \boldmathbb{B} \boldmathbb{B} = \hspace{.1ex} \zerovector
\hspace{.1ex} , \hspace{.4em}
c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{.22ex} \boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \boldmathbb{B} \boldmathbb{B} = \hspace{.1ex} \zerovector
\end{align*}
\nopagebreak\vspace{-0.2em}\noindent
\en{is added}\ru{добавляется} \en{to}\ru{к}~${\bm{f}\hspace{-0.1ex}}$.
...
\begin{align*}
\eqrefwithchapterdotsection{divergenceofdyadicproducoftwovectors}{chapter:mathapparatus}{section:spatialdifferentiation}
& \hspace{.27em}\Rightarrow\hspace{.32em}
\boldnabla \hspace{-0.16ex} \dotp \hspace{-0.2ex} \bigl( \hspace{-0.05ex} \bm{a} \bm{a} \bigr) \hspace{-0.33ex}
= \hspace{-0.1ex} \bigl( \boldnabla \hspace{-0.18ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \bm{a} \bigr) \hspace{-0.1ex} \bm{a} \hspace{.1ex} + \bm{a} \hspace{-0.07ex} \dotp \hspace{-0.2ex} \boldnabla \hspace{-0.1ex} \bm{a}
\\[-0.1em]
%
\eqrefwithchapterdotsection{gradientofdotproductoftwovectors}{chapter:mathapparatus}{section:spatialdifferentiation}
& \hspace{.27em}\Rightarrow\hspace{.32em}
\boldnabla \hspace{.1ex} \bigl( \hspace{-0.1ex} \bm{a} \hspace{-0.17ex} \dotp \hspace{-0.2ex} \bm{a} \bigr) \hspace{-0.33ex}
= 2 \hspace{.16ex} \boldnabla \hspace{-0.1ex} \bm{a} \hspace{-0.12ex} \dotp \hspace{-0.15ex} \bm{a}
\end{align*}
\begin{equation*}
\boldnabla \hspace{-0.16ex} \dotp \hspace{-0.12ex} \bigl( \hspace{-0.05ex} \bm{a} \hspace{-0.17ex} \dotp \hspace{-0.2ex} \bm{a} \hspace{.1ex} \UnitDyad \hspace{.12ex} \bigr) \hspace{-0.33ex}
= \hspace{-0.15ex} \boldnabla \hspace{-0.2ex} \dotp \hspace{-0.22ex} \UnitDyad \hspace{.13ex} \bigl( \hspace{-0.1ex} \bm{a} \hspace{-0.17ex} \dotp \hspace{-0.2ex} \bm{a} \bigr) \hspace{-0.33ex}
= \hspace{-0.15ex} \boldnabla \hspace{.1ex} \bigl( \hspace{-0.1ex} \bm{a} \hspace{-0.17ex} \dotp \hspace{-0.2ex} \bm{a} \bigr) \hspace{-0.33ex}
= 2 \hspace{.16ex} \boldnabla \hspace{-0.1ex} \bm{a} \hspace{-0.12ex} \dotp \hspace{-0.15ex} \bm{a}
\end{equation*}
\begin{multline*}
\boldnabla \hspace{-0.05ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \maxwellstress =
\hspace{.1ex} \vacuumpermittivity \Bigl( \hspace{-0.2ex}
\boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \bigl( \boldmathbb{E} \hspace{.1ex} \boldmathbb{E} \hspace{.1ex} \bigr) \hspace{-0.22ex}
+ \hspace{.1ex} c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{.22ex} \boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \bigl( \boldmathbb{B} \boldmathbb{B} \bigr) \hspace{-0.22ex}
- \hspace{.2ex} \smalldisplaystyleonehalf \hspace{.1ex} \boldnabla \hspace{-0.12ex} \dotp \hspace{-0.15ex} \bigl( \hspace{.1ex} \boldmathbb{E} \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{-0.15ex} \boldmathbb{E} \hspace{.1ex} \UnitDyad \hspace{.1ex}
+ c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{.22ex} \boldmathbb{B} \hspace{-0.2ex} \dotp \hspace{-0.16ex} \boldmathbb{B} \UnitDyad \hspace{.15ex} \bigr) \hspace{-0.2ex}
\Bigr) \hspace{-0.33ex} =
\\[-0.25em]
%
= \hspace{.1ex} \vacuumpermittivity \Bigl( \hspace{-0.2ex}
\boldnabla \hspace{-0.15ex} \dotp \boldmathbb{E} \hspace{.1ex} \boldmathbb{E} \hspace{.1ex}
+ \boldmathbb{E} \dotp \hspace{-0.22ex} \boldnabla \hspace{.2ex} \boldmathbb{E} \hspace{.1ex}
+ c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{.22ex} \boldnabla \hspace{-0.15ex} \dotp \boldmathbb{B} \boldmathbb{B}
+ c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{.22ex} \boldmathbb{B} \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{-0.22ex} \boldnabla \hspace{.2ex} \boldmathbb{B} \Bigr. \hspace{.3ex} -
\\[-0.55em]
%
- \hspace{-0.2ex} \Bigl. \boldnabla \hspace{.2ex} \boldmathbb{E} \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{-0.15ex} \boldmathbb{E} \hspace{.1ex}
- c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{.22ex} \boldnabla \hspace{.2ex} \boldmathbb{B} \hspace{-0.2ex} \dotp \hspace{-0.16ex} \boldmathbb{B} \hspace{-0.1ex}
\Bigr)
\end{multline*}
...
\en{\section{Electromagnetic waves}}
\ru{\section{Электромагнитные волны}}
To derive wave equations
\nopagebreak\begin{equation*}
\begin{array}{r@{\hspace{.5em}}c@{\hspace{.5em}}r@{\hspace{.3em}}c@{\hspace{.3em}}l}
\boldnabla \hspace{-0.25ex} \times \hspace{-0.25ex} \eqref{maxwell.equations:faraday.induction}
& \Rightarrow &
\boldnabla \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.3ex} \bigl( \boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.1ex} \boldmathbb{E} \hspace{.1ex} \bigr) \hspace*{-0.3ex} &
= &
- \hspace{.1ex} \boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.1ex} \mathdotabove{\boldmathbb{B}}
\\[.1em]
%
\boldnabla \hspace{-0.25ex} \times \hspace{-0.25ex} \eqref{maxwell.equations:ampere.circuital.with.addition}
& \Rightarrow &
\boldnabla \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.3ex} \bigl( \boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.1ex} \boldmathbb{B} \bigr) \hspace*{-0.3ex} &
= &
\boldnabla \hspace{-0.12ex} \times \hspace{-0.33ex} \biggl( \displaystyle \frac{\currentdensity}{\raisemath{-0.1em}{ \vacuumpermittivity \hspace{.1ex} c^{\hspace{.16ex}2} }} + \hspace{.1ex} \displaystyle \frac{\raisemath{-0.12em}{ \mathdotabove{\boldmathbb{E}} }}{\raisemath{-0.1em}{ c^{\hspace{.16ex}2} }} \biggr)
\end{array}
\end{equation*}
\nopagebreak\begin{equation*}
\begin{array}{r@{\hspace{.4em}}r@{\hspace{.5em}}c@{\hspace{.5em}}l}
%
\boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.1ex} \mathdotabove{\boldmathbb{E}} \hspace{.1ex}
= \hspace{-0.1ex} \bigl( \boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.1ex} \boldmathbb{E} \hspace{.1ex} \bigr)^{\hspace{-0.2ex}\tikz[baseline=-0.4ex]\draw[black, fill=black] (0,0) circle (.28ex);}
\hspace{-0.33ex} , &
\eqref{maxwell.equations:faraday.induction}
& \Rightarrow &
\boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.1ex} \mathdotabove{\boldmathbb{E}} \hspace{.1ex}
= - \hspace{.15ex} \mathdotdotabove{\boldmathbb{B}}
\\[.1em]
%
\boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.1ex} \mathdotabove{\boldmathbb{B}}
= \hspace{-0.1ex} \bigl( \boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.1ex} \boldmathbb{B} \bigr)^{\hspace{-0.2ex}\tikz[baseline=-0.4ex]\draw[black, fill=black] (0,0) circle (.28ex);}
\hspace{-0.33ex} , &
\eqref{maxwell.equations:ampere.circuital.with.addition}
& \Rightarrow &
\boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.1ex} \mathdotabove{\boldmathbb{B}}
= \displaystyle \frac{\currentdensity^{\hspace{.1ex}\tikz[baseline=-0.36ex]\draw[black, fill=black] (0,0) circle (.28ex);}}{\raisemath{-0.1em}{ \vacuumpermittivity \hspace{.1ex} c^{\hspace{.16ex}2} }} + \hspace{.1ex} \displaystyle \frac{\raisemath{-0.12em}{ \mathdotdotabove{\boldmathbb{E}} }}{\raisemath{-0.1em}{ c^{\hspace{.16ex}2} }}
\end{array}
\end{equation*}
${
\boldnabla \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.3ex} \bigl( \boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.1ex} \boldmathbb{E} \hspace{.1ex} \bigr) \hspace{-0.25ex}
= \hspace{-0.1ex} \boldnabla \boldnabla \dotp \hspace{.12ex} \boldmathbb{E} \hspace{.1ex} - \Laplacian \hspace{.05ex} \boldmathbb{E}
}$
${
\boldnabla \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.3ex} \bigl( \boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.1ex} \boldmathbb{B} \bigr) \hspace{-0.25ex}
= \hspace{-0.1ex} \boldnabla \boldnabla \dotp \hspace{.12ex} \boldmathbb{B} \hspace{.1ex} - \Laplacian \hspace{.05ex} \boldmathbb{B}
}$
\begin{align*}
\Laplacian \hspace{.05ex} \boldmathbb{E} - \hspace{-0.15ex} \boldnabla \tikzmark{beginElectricGaussInWaves} \boldnabla \dotp \hspace{.12ex} \boldmathbb{E} \tikzmark{endElectricGaussInWaves} \hspace{.2ex}
&= %%\hspace{-0.1ex} \boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.1ex} \mathdotabove{\boldmathbb{B}}
\hspace{.1ex} \displaystyle\frac{\raisemath{-0.12em}{ \mathdotdotabove{\boldmathbb{E}} }}{\raisemath{-0.1em}{ c^{\hspace{.16ex}2} }}
+ \hspace{.1ex} \displaystyle\frac{\currentdensity^{\hspace{.1ex}\tikz[baseline=-0.36ex]\draw[black, fill=black] (0,0) circle (.28ex);}}{\raisemath{-0.1em}{ \vacuumpermittivity \hspace{.1ex} c^{\hspace{.16ex}2} }}
\\[.2em]
%
\Laplacian \hspace{.05ex} \boldmathbb{B} - \hspace{-0.15ex} \boldnabla \tikzmark{beginMagneticGaussInWaves} \boldnabla \dotp \hspace{.12ex} \boldmathbb{B} \tikzmark{endMagneticGaussInWaves} \hspace{.1ex}
&=
\hspace{.1ex} \displaystyle\frac{\raisemath{-0.12em}{ \mathdotdotabove{\boldmathbb{B}} }}{\raisemath{-0.1em}{ c^{\hspace{.16ex}2} }}
- \hspace{.1ex} \displaystyle\frac{ \boldnabla \hspace{-0.33ex} \times \hspace{-0.25ex} \currentdensity }{\raisemath{-0.1em}{ \vacuumpermittivity \hspace{.1ex} c^{\hspace{.16ex}2} }}
\end{align*}%
\AddUnderBrace[line width=.75pt][0.2ex, 0.1ex][xshift=0.55em, yshift=.25ex]{beginElectricGaussInWaves}{endElectricGaussInWaves}{${%
\scalebox{0.77}{$ \raisemath{.36em}{\chargedensity} \hspace{-0.25ex} / \hspace{-0.3ex} \raisemath{-0.22em}{\vacuumpermittivity
} \hspace{.4ex}\eqref{maxwell.equations:gauss.electric} $}%
}$}%
\AddUnderBrace[line width=.75pt][0.2ex, 0.1ex][xshift=0.75em, yshift=.3ex]{beginMagneticGaussInWaves}{endMagneticGaussInWaves}{${%
\scalebox{0.77}{$ 0 \hspace{.7ex}\eqref{maxwell.equations:gauss.magnetic} $}%
}$}
...
% potential formulation
${\boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{-0.1ex} \bigl( \boldnabla \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.16ex} \bm{a} \bigr) \hspace{-0.3ex} = 0 \:\:\forall \bm{a}}$
${
\boldnabla \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.28ex} \boldnabla = \hspace{.08ex} \zerovector
\hspace{.1ex} , \hspace{.33em}
\boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.25ex} \boldnabla \alpha = \zerovector \:\:\forall \alpha
}$
vector potential $\boldmathbb{A}$
\nopagebreak\[
\boldnabla \dotp \hspace{.12ex} \boldmathbb{B} = \hspace{.1ex} 0
\;\;\eqref{maxwell.equations:gauss.magnetic}
\hspace{.4em} \Leftrightarrow \hspace{.4em}
\boldmathbb{B} = \hspace{-0.1ex} \boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.12ex} \boldmathbb{A}
\]
potential~${\boldmathbb{A}}$ is not unique and has gauge freedom ${\boldmathbb{A} + \hspace{-0.2ex} \boldnabla a}$
\[
\boldmathbb{B} = \hspace{-0.1ex} \boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.3ex} \bigl( \boldmathbb{A} + \hspace{-0.2ex} \boldnabla a \hspace{.1ex} \bigr)
\hspace{.25em} \Leftrightarrow \hspace{.27em}
\boldnabla \dotp \hspace{.12ex} \boldmathbb{B} = \hspace{.1ex} 0
\;\;\eqref{maxwell.equations:gauss.magnetic}
\]
scalar potential $\upphi$
\nopagebreak\begin{multline}
\boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.1ex} \boldmathbb{E} = - \hspace{.2ex} \mathdotabove{\boldmathbb{B}}
\;\;\eqref{maxwell.equations:faraday.induction}
\hspace{.4em} \Rightarrow \hspace{.3em}
\boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.1ex} \boldmathbb{E} = - \hspace{.2ex} \boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.3ex} \bigl( \mathdotabove{\boldmathbb{A}} + \hspace{-0.2ex} \boldnabla \mathdotabove{a} \hspace{.15ex} \bigr)
\hspace{.4em} \Rightarrow
\\[-0.1em]
\Rightarrow \hspace{.3em}
\boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.3ex} \bigl( \hspace{.1ex} \boldmathbb{E} + \mathdotabove{\boldmathbb{A}} + \hspace{-0.2ex} \boldnabla \mathdotabove{a} \hspace{.15ex} \bigr) \hspace{-0.4ex} = \zerovector
\hspace{.4em} \Rightarrow \hspace{.25em}
- \boldnabla \upphi = \hspace{.1ex} \boldmathbb{E} + \mathdotabove{\boldmathbb{A}} + \hspace{-0.2ex} \boldnabla \mathdotabove{a}
\hspace{.4em} \Rightarrow
\\[-0.1em]
\Rightarrow \hspace{.33em}
\boldmathbb{E} = - \boldnabla \hspace{.1ex} \bigl( \upphi \hspace{-0.1ex} + \mathdotabove{a} \hspace{.1ex} \bigr) \hspace{-0.3ex} - \mathdotabove{\boldmathbb{A}}
\hspace{.2ex} .
\end{multline}
And
\nopagebreak\vspace{-0.1em}\begin{equation}\label{electromagnetic.firstequationofwave}
\boldnabla \dotp \hspace{.12ex} \boldmathbb{E} = \displaystyle \frac{\chargedensity}{\raisemath{.16em}{\vacuumpermittivity}}
\;\;\eqref{maxwell.equations:gauss.electric}
\hspace{.44em} \Rightarrow
%
\begin{array}{r@{\hspace{.3em}}c@{\hspace{.3em}}l}
- \hspace{-0.1ex} \Laplacian \bigl( \upphi \hspace{-0.1ex} + \mathdotabove{a} \hspace{.1ex} \bigr) \hspace{-0.2ex} - \hspace{-0.15ex} \boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \mathdotabove{\boldmathbb{A}} & = & \scalebox{0.9}{$\displaystyle \frac{\chargedensity}{\raisemath{.16em}{\vacuumpermittivity}}$}
\\[.66em]
- \hspace{-0.1ex} \Laplacian \upphi - \hspace{-0.15ex} \boldnabla \hspace{-0.12ex} \dotp \hspace{-0.12ex} \bigl( \mathdotabove{\boldmathbb{A}} + \hspace{-0.2ex} \boldnabla \mathdotabove{a} \hspace{.15ex} \bigr) \hspace*{-0.33ex} & = & \scalebox{0.9}{$\displaystyle \frac{\chargedensity}{\raisemath{.16em}{\vacuumpermittivity}}$}
\end{array}
\end{equation}
${\boldnabla \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.3ex} \bigl( \boldnabla \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \boldmathbb{A} \bigr) \hspace{-0.25ex} = \hspace{-0.1ex} \boldnabla \boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \boldmathbb{A} - \Laplacian \hspace{.05ex} \boldmathbb{A}}$
${\boldnabla \boldnabla \hspace{-0.2ex} \dotp \hspace{-0.25ex} \boldnabla a - \hspace{-0.2ex} \boldnabla \hspace{-0.2ex} \dotp \hspace{-0.25ex} \boldnabla \boldnabla a = \zerovector}$ (partial derivatives of a~smooth function commute)
\nopagebreak\vspace{-0.4em}\begin{multline}\label{electromagnetic.secondequationofwave}
c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{.22ex} \boldnabla \hspace{-0.15ex} \times \hspace{-0.1ex} \boldmathbb{B}
= \displaystyle \frac{\currentdensity}{\raisemath{.16em}{\vacuumpermittivity}} + \hspace{.1ex} \mathdotabove{\boldmathbb{E}}
\;\;\eqref{maxwell.equations:ampere.circuital.with.addition}
\hspace{.44em} \Rightarrow
%
\\[-0.4em]
%
\Rightarrow \hspace{.33em}
c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{.22ex} \boldnabla \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.3ex} \bigl( \boldnabla \hspace{-0.2ex} \times \hspace{-0.2ex} \boldmathbb{A} \bigr) \hspace{-0.15ex}
= \hspace{.1ex} \displaystyle \frac{\currentdensity}{\raisemath{.16em}{\vacuumpermittivity}} - \hspace{-0.15ex} \boldnabla \hspace{.1ex} \bigl( \mathdotabove{\upphi} \hspace{-0.1ex} + \mathdotdotabove{a} \hspace{.2ex} \bigr) \hspace{-0.3ex} - \mathdotdotabove{\boldmathbb{A}}
\hspace{.44em} \Rightarrow
%
\\[-0.4em]
%
\Rightarrow \hspace{.33em}
c^{\hspace{.16ex}2} \bigl( \boldnabla \boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \boldmathbb{A} - \Laplacian \hspace{.05ex} \boldmathbb{A} \bigr) \hspace{-0.15ex}
= \hspace{.1ex} \displaystyle \frac{\currentdensity}{\raisemath{.16em}{\vacuumpermittivity}} - \hspace{-0.15ex} \boldnabla \mathdotabove{\upphi} - \hspace{-0.15ex} \boldnabla \hspace{.1ex} \mathdotdotabove{a} \hspace{.1ex} - \mathdotdotabove{\boldmathbb{A}}
\hspace{.2ex} .
\end{multline}
\en{With a~gauge freedom}\ru{Со~свободой калибровки}
\en{it’s possible}\ru{возможно}
\en{to~simplify}\ru{упростить}
\en{the wave equations}\ru{волновые уравнения}~\eqref{electromagnetic.secondequationofwave}
\en{and}\ru{и}~\eqref{electromagnetic.firstequationofwave},
\en{assuming that}\ru{полож\'{и}в}
\nopagebreak\vspace{-0.25em}\begin{gather*}
\left.
\begin{array}{r@{\hspace{.55em}}c@{\hspace{.55em}}l}
- \boldnabla \hspace{.1ex} \mathdotdotabove{a} \hspace{.1ex} = \hspace{-0.2ex} \boldnabla \mathdotabove{\upphi} + c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{.22ex} \boldnabla \boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \boldmathbb{A}
& \Rightarrow &
%
\mathdotdotabove{a} \hspace{.1ex} = - \hspace{.4ex} \mathdotabove{\upphi} - c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{.22ex} \boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \boldmathbb{A}
%
\\[.2em]
%
- \boldnabla \hspace{-0.12ex} \dotp \hspace{-0.2ex} \bigl( \mathdotabove{\boldmathbb{A}} + \hspace{-0.2ex} \boldnabla \mathdotabove{a} \hspace{.15ex} \bigr) \hspace{-0.2ex}
= \raisemath{.07em}{\scalebox{0.84}{$\displaystyle \frac{\raisemath{-0.16em}{1}}{\raisemath{-0.1em}c^{\hspace{.16ex}2}}$}} \hspace{.16ex} \mathdotdotabove{\upphi}
& \Rightarrow &
%
\mathdotabove{\upphi} = \hspace{-0.1ex} - \hspace{.3ex} c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{.33ex} \boldnabla \hspace{-0.12ex} \dotp \hspace{-0.2ex} \bigl( \boldmathbb{A} + \hspace{-0.2ex} \boldnabla a \hspace{.1ex} \bigr)
\end{array}
\hspace{-0.2em} \right\rbrace \hspace{.1em} \Rightarrow
%
\\
%
\Rightarrow \hspace{.4em}
c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{.22ex} \boldnabla \hspace{-0.12ex} \dotp \hspace{-0.12ex} \boldmathbb{A} + c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{-0.4ex} \Laplacian \hspace{.07ex} a
- c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{.22ex} \boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \boldmathbb{A} = \hspace{.15ex} \mathdotdotabove{a}
\hspace{.16ex} ,
\end{gather*}
\vspace{-0.16em}\noindent
\en{finally}\ru{наконец}
\en{presenting as}\ru{становясь}
\en{the }\en{homogeneous}\ru{однородным}
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation}{\en{wave equation}\ru{волновым уравнением}}
\en{for}\ru{для}~$a$
\nopagebreak\vspace{-0.12em}\begin{equation}\label{gaugeadditioniswave}
\mathdotdotabove{a} \hspace{.1ex} = c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{-0.4ex} \Laplacian \hspace{.07ex} a
\hspace{.16ex} .
\end{equation}
\vspace{-0.15em}\noindent
\en{The more popular condition}\ru{Более популярное условие}\en{ is}\ru{\:---}
\en{even more stiff}\ru{ещё более жёсткое}
\nopagebreak\vspace{-0.1em}\begin{equation*}
\Laplacian \hspace{.07ex} a = 0
\hspace{.3em} \Rightarrow \hspace{.3em}
\mathdotdotabove{a} = 0
\hspace{.1ex} , \:\:
\mathdotabove{\upphi} + c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{.22ex} \boldnabla \hspace{-0.1ex} \dotp \boldmathbb{A} = 0
\hspace{.1ex} .
\end{equation*}
\vspace{-0.2em}\noindent
\en{This}\ru{Это}
\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Lorenz_gauge_condition}{\ru{условие калибровки }Lorenz\ru{’а}\en{ gauge condition}}
\en{gives}\ru{даёт}
\en{the~same}\ru{такой~же}
\en{effect}\ru{эффект},
\en{being just the~particular}\ru{будучи лишь частным}\:---
\en{the }\href{https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_function}{\en{harmonic}\ru{гармоническим}}\:--- \en{case}\ru{случаем}~\en{of~}\eqref{gaugeadditioniswave}.
\en{Following from}\ru{Следующие из}~\eqref{electromagnetic.firstequationofwave} \en{and}\ru{и}~\eqref{electromagnetic.secondequationofwave} \en{with condition}\ru{с~условием}~\eqref{gaugeadditioniswave}, \en{equations}\ru{уравнения} \en{of electromagnetic waves}\ru{электромагнитных волн} \en{in the~potential formulation}\ru{в~потенциальной формулировке}\en{ are}
\nopagebreak\begin{equation}
\begin{array}{c}
- \hspace{-0.1ex} \Laplacian \upphi + \raisemath{.07em}{\scalebox{0.84}{$\displaystyle \frac{\raisemath{-0.16em}{1}}{\raisemath{-0.1em}c^{\hspace{.16ex}2}}$}} \hspace{.16ex} \mathdotdotabove{\upphi} = \smash{\displaystyle \frac{\chargedensity}{\raisemath{.16em}{\vacuumpermittivity}}}
\hspace{.1ex} ,
\\[.5em]
- \hspace{.3ex} c^{\hspace{.16ex}2} \hspace{-0.4ex} \Laplacian \hspace{.05ex} \boldmathbb{A} = \displaystyle \frac{\currentdensity}{\raisemath{.16em}{\vacuumpermittivity}} - \mathdotdotabove{\boldmathbb{A}}
\hspace{.2ex} .
\end{array}
\end{equation}
...
\en{\section{Electrostatics}}
\ru{\section{Электростатика}}
\begin{otherlanguage}{russian}
Рассмотрение этого вопроса полезно и для последующего опис\'{а}ния магнетизма.
В~статике
\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation*}
\velocityofpoint = \zerovector
\hspace{.44em} \Rightarrow \hspace{.33em}
\boldmathbb{B} = \zerovector
\end{equation*}
...
\en{The~}\en{volume}\ru{Объёмная} \inquotes{\en{ponderomotive}\ru{пондеромоторная}} \en{force}\ru{сила}, с~которой электростатическое поле действует на~среду ...
...
\ru{Тензор напряжения }Maxwell\ru{’а}\en{ stress tensor}~\eqref{maxwellstresstensor:definition} \en{in~electrostatics}\ru{в~электростатике}\en{ is}
\nopagebreak\vspace{-0.2em}\begin{equation*}
\maxwellstress = \vacuumpermittivity \hspace{-0.2ex} \left( \boldmathbb{E} \boldmathbb{E} - \smalldisplaystyleonehalf \hspace{.2ex} \boldmathbb{E} \hspace{-0.1ex} \dotp \hspace{-0.16ex} \boldmathbb{E} \hspace{.1ex} \UnitDyad \hspace{.1ex} \right)
\end{equation*}
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Dielectrics}}
\ru{\section{Диэлектрики}}
\begin{otherlanguage}{russian}
Начнём с~рассмотрения электростатического поля
...
В~диэлектриках нет свободных зарядов:
\en{charge density}\ru{плотность заряда}~${\chargedensity = 0}$.
Здесь вводится плотность дипольного момента
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Magnetostatics}}
\ru{\section{Магнитостатика}}
\begin{otherlanguage}{russian}
Если поле~(а~с~ним ...)
...
\end{otherlanguage}
\en{\section{Magnetics, or magnetic materials}}
\ru{\section{Магнетики, или магнитные материалы}}
\en{Having}\ru{Имея}
\en{the~relations of~magnetostatics}\ru{отношения магнитостатики}
\en{for the~overall case}\ru{для общего случая},
\en{here}\ru{здесь}
\en{I’ll go}\ru{я перейду}
\en{to a~material matter}\ru{к~материальному веществу}\:---
\en{and there’s already}\ru{и~уж\'{е} есть}
\en{some previous experience}\ru{некоторый предыдущий опыт}
\en{from electrostatics}\ru{из электростатики}
\en{of~di\-elec\-trics}\ru{ди\-элек\-три\-ков}.
\begin{otherlanguage}{russian}
Начнём с~рассмотрения
...
...
О том, насколько поведение реальных материалов соответствует представленным здесь формальным построениям\:---
сей вопрос
is out of~scope
этой книги.
\end{otherlanguage}
\en{\section{Magnetic rigidity}}
\ru{\section{Магнитная жёсткость}}
\begin{otherlanguage}{russian}
В~электротехнике распространены обмотки всевозможной формы, в~которых провод намотан так, что образуется некое массивное тело. Такие обмотки есть в~статоре генератора автомобиля~(да~и в~роторе), в~больших промышленных электромагнитах и~в~магнитных системах установок \href{https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D0%BA%D0%B0%D0%BC%D0%B0%D0%BA}{\inquotes{токам\'{а}к}~(\textboldextended{то}роидальная \textboldextended{ка}мера с~\textboldextended{ма}гнитными \textboldextended{к}атушками)} для управляемого термоядерного синтеза\:--- примеров много. Сочетание токопровода и~изоляции образует периодический композит, и~одной из~главных нагрузок для него является пондеромоторная магнитная сила. Рассчитывая деформации и~механические напряжения в~обмотке, начинают с~определения магнитных сил. Поскольку распределение токов задано известной геометрией проводов, достаточно интегрирования по~формуле~Био\hbox{-}Савара~\eqref{law:biosavar}. Термин \inquotes{магнитоупругость} при~этом неуместен, так~как задачи магнитостатики и~упругости решаются раздельно.
Однако при~деформации обмотки меняются и~поле~$\currentdensity$, и~вызываемое им поле~$\boldmathbb{B}$.
Объёмная сила становится равной
\begin{equation}
\bm{f} = \left( \hspace{.16ex} \currentdensity \times \boldmathbb{B} \right)_0 + \dots
\end{equation}
\noindent \textcolor{magenta}{Подчёркнутое слагаемое} соответствует недеформированному состоянию.
Обусловленное деформацией изменение объёмной силы линейно связано с~малым смещением~$\bm{u}$, поэтому матричное~(после дискретизации) уравнение в~смещениях можно представить в~виде
\noindent\begin{equation}
\left( C + C_m \right) \hspace{-0.16ex} u = \mathcircabove{F}
\hspace{.1ex} .
\end{equation}
\noindent
К~\inquotes{обычному} оператору линейной упругости~$C$ добавилась магнитная жёсткость~${C_m}$,
$\mathcircabove{F}$\:--- силы в~недоформированном состоянии.
Добавка~$C_m$
пропорциональна квадрату тока
и~может стать весьма существенной
в~магнитных системах с~мощным полем.
Учёт её нужен и~в~случае небольшого значения~$C$.
% hey it applies universally for anything everywhere :)
%
\en{For plain conditions}\ru{Для простых условий}\en{,}
\en{the~structure}\ru{структура (конструкция)}
\en{will sustain the~load}\ru{будет держать нагрузку},
\en{but}\ru{но}
\en{further loading}\ru{дальнейшее нагружение}
\en{is risky}\ru{рискованна}
\en{and may be}\ru{и~может быть}
\en{unbearable}\ru{невыносимой}.
%
\en{Magnetic rigidity}\ru{Магнитная жёсткость}
\en{plays}\ru{играет}
\en{the~big role}\ru{больш\'{у}ю роль}
\en{in stability problems}\ru{в~проблемах устойчивости}.
\en{Matrix}\ru{Матрица}~$C_m$
\en{is symmetric}\ru{симметрична}\ru{,}
\en{since}\ru{так как}
\en{magnetic forces}\ru{магнитные силы}
\en{are potential}\ru{потенциальны}.
\en{The}\ru{Статический подход} Euler’\en{s}\ru{а}\en{ static approach}~%
(\chapterdotsectionref{chapter:stability}{section:approachestostability})
\en{gives}\ru{даёт}
\en{the~}\inquotes{\en{critical}\ru{критические}}
\en{parameter values}\ru{значения параметров}.
Как иллюстрацию рассмотрим простую задачу о~балке в~продольном магнитном поле.
Балка располагается на~декартовой оси~$z$, концы~${z \narroweq 0}$ и~${z \narroweq l}$ закреплены, магнитная индукция ${\boldmathbb{B} = B\bm{k} = \boldconstant}$, по~балке течёт постоянный~(по~величине) ток~$I$.
В~классической модели балки при~равных жёсткостях на~изгиб для~прогиба ${\bm{u} = u_1 \bm{e}_1 \hspace{.16ex} + u_2 \bm{e}_2}$ легко получить следующую постановку:
...
Вводя компл\'{е}ксную комбинацию
${u \equiv u_1 \hspace{-0.16ex} + \mathrm{i} u_2}$,
будем иметь
...
\noindent
с общим решением
...
\noindent
Подстановка в~граничные условия приводит к~однородной системе для постоянных ${A_k}$.
Приравняв нулю определитель, придём к~характеристическому уравнению