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{"meta":{"title":"Histologium Kotobae","subtitle":"Fracturarium memoriae in Mari Datorum","description":"Fracturarium memoriae in Mari Datorum","author":"Kotoba Trilius","url":"https://kotobasuke.github.io","root":"/"},"pages":[{"title":"categories","date":"2021-04-21T13:26:18.000Z","updated":"2021-04-21T13:27:30.979Z","comments":true,"path":"categoriae/index.html","permalink":"https://kotobasuke.github.io/categoriae/index.html","excerpt":"","text":""},{"title":"archium","date":"2021-04-21T13:31:22.000Z","updated":"2021-04-21T13:48:47.323Z","comments":true,"path":"archium/index.html","permalink":"https://kotobasuke.github.io/archium/index.html","excerpt":"","text":""},{"title":"Introductio","date":"2021-11-15T14:22:22.000Z","updated":"2024-01-27T13:19:01.677Z","comments":true,"path":"occultae/res_de_me.html","permalink":"https://kotobasuke.github.io/occultae/res_de_me","excerpt":"","text":"Vide quoque Anglice / See also in English Salve, tu qui hoc legis. Nomen mihi est Kotoba Trily Ngian (aut Kotōba Trilius Latine). Licet me appellare breviter 'Kotoba'. In Qinzhou, Guangxi, RPPS natus sum, et plurimo tempore Cantoniae (Guangzhou) habito. Malo praenomine masculino vocari. Tamen doctrina praecipua mihi est Ingeniaria Programmatum in universitate, cum mihi non placeat. Linguas, linguisticamque, informaticamque (q.e. scientiam computatrorum), mathematicamque disco. Patrius sermo mihi est Lingua Yue (cujus forma normalis \"Lingua Cantonensis\" appellatur). Lingua Putonghua (forma normalis Linguae Mandarinae, etiam Linguae Sinensis) est lingua cotidiana. Anglice (circa gradum B2) atque Japonice (JLPT N1) loquor. Linguam Latinam, Francogallicam, atque Norvegicam Bokmål nunc disco; alias etiam, sicut Coreanam, didici (quibus tamen vix possum loqui). Linguà Pythone utor in codices faciendos, etiam C++ et Java uti possum. Cantùs VOCALOID praecipue ausculto. Ludo Project Sekai praecipue nunc ludo. Persona quae mihi maxime placet est Kagamine Len. Numquam nobis pittacia affigamus."},{"title":"Introductio","date":"2021-11-15T14:22:22.000Z","updated":"2022-03-20T17:14:14.339Z","comments":true,"path":"occultae/examen.html","permalink":"https://kotobasuke.github.io/occultae/examen","excerpt":"","text":"AREA EXAMINATIVA: $\\Large{\\mathrm{e}^{\\uppi\\mathrm i}=-1}$ $\\mathbfit A$ $测试aa \\mathsf{测试aa}$ $\\begin{equation} \\left\\{\\begin{alignedat}{3} x_1&{}+{}& x_2&{}+{}&x_3&=1\\\\ 3x_1&{}+{}&2x_2&{}-{}&x_3&=7\\\\ x_1&{}+{}& & &x_3&=4 \\end{alignedat} \\right. \\end{equation}$ \\begin{equation} \\left\\{\\begin{alignedat}{3} x_1&{}+{}& x_2&{}+{}&x_3&=1\\\\ 3x_1&{}+{}&2x_2&{}-{}&x_3&=7\\\\ x_1&{}+{}& & &x_3&=4 \\end{alignedat} \\right. \\end{equation}にゃーう— Kotoba “Trily” Ngian (@Kotoba_Trily) August 8, 2021"},{"title":"pittacia","date":"2021-04-21T13:29:18.000Z","updated":"2021-04-21T13:29:30.012Z","comments":true,"path":"pittacia/index.html","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/index.html","excerpt":"","text":""},{"title":"Introduction","date":"2021-11-15T14:22:22.000Z","updated":"2024-01-27T13:18:30.902Z","comments":true,"path":"occultae/res_de_me_en.html","permalink":"https://kotobasuke.github.io/occultae/res_de_me_en","excerpt":"","text":"Vide quoque Latine / See also in Latin Hello, anyone who reads this. I am Kotoba Trily Ngian (or Kotōba Trilius in Latin). You can simply call me Kotoba. I was born in Qinzhou, Guangxi, PRC, and live in Guangzhou most of the time. I prefer to be addressed as \"he\" in English. I am majoring in Software Engineering (undergraduate), though I do not like it. I learn languages, linguistics, informatics (i.e. computer science), mathematics. I am a native speaker of Yue Chinese language (the standard form of which is called Cantonese). The language I speak most often is Putonghua, the standard form of Mandarin, and also of Chinese. I speak English (~ B2), and Japanese (JLPT N1) also. I am learning Latin, French and Norwegian Bokmål, and have learnt other languages like Korean (but I can hardly speak). I use Python for coding, and I can also use C++ and Java. I mainly listen to VOCALOID musics. I mainly play Project Sekai. My favorite character is Kagamine Len. Let us never tag ourselves."},{"title":"Res de Hoc","date":"2021-03-24T13:19:04.000Z","updated":"2023-12-05T15:08:50.186Z","comments":true,"path":"res/index.html","permalink":"https://kotobasuke.github.io/res/index.html","excerpt":"","text":"—Bene advenisti in Histologium Kotobae— WELCOME TO KOTOBA'S BLOG Hoc est meum blog proprium, ingenio Hexo creatum, et per GitHub operans. Histologium nominis est vocabulum fictum, ex relatione ad vocabulum istologio Neo-Graece, in quo hist- valet rete Latine (net vel network Anglice), et logi- valet scriptum Latine. Hìc res de linguisticà, mathematicà, informaticà (scientià computatrale), ceteràve pono. Corrige si erro. Vide hoc (aut Anglice) quoque ad res de me cognoscendae. Here is my own blog, created by Hexo and working on GitHub. Histologium is the name is a constructed word, inspired by istologio in Modern Greek, in which hist- means net or network, and logi- means writing (written thing). I put things here about linguistics, mathematics, informatics (computer science), or others. Please correct me if there is any mistake. See also this page (or in Latin) for my own information. >> Fractura memoriae in Mari Datorum"}],"posts":[{"title":"De Pronuntiatione Orthographiaque Latinis // 拉丁语发音与拼写参考","slug":"De-Pronuntiatione-Latina","date":"2022-04-16T08:58:04.000Z","updated":"2023-02-03T12:05:28.892Z","comments":true,"path":"2022/04/16/De-Pronuntiatione-Latina.html","link":"","permalink":"https://kotobasuke.github.io/2022/04/16/De-Pronuntiatione-Latina","excerpt":"","text":"本文介绍拉丁语发音与拼写，设计古典拉丁语及以后的拉丁语形式。文中均使用国际音标（IPA）表示发音，其中斜线所含者（/…/）表示音位描写，方括号所含者（[…]）表示音值描写。 Alphabetum 字母表古典拉丁语使用基本拉丁字母（如英语）中除去 J, U, W 外的 23 个，原本只有大写形式，后来在手写中产生小写形式。 J 原为 I 的装饰性写法，文艺复兴时期引入，并主要用于表示 I 的辅音性用法。 U 原为 V 在手写时产生的圆滑写法，在中世纪晚期起代替 V 的元音性用法。 W 为日耳曼语言所用，拉丁语中原则上不使用（拉丁语所发展的现代语言如法语等也几乎不用）。但新拉丁语中引入的外语拼写（如人名）常常保留原本的拼写习惯而使用该字母。 当今的拉丁语行文使用字母的习惯主要差别于 I/J、U/V 的区分。一般场合所书写的拉丁语（如格言、引用名句等），以及科学中的拉丁语词汇通常按元音、辅音的地位区分这两组字母（本文采用此式）。大多数拉丁语教材只区分 U/V 而不用 J，而且常常在全大写书写时遵循古典习惯（只用 I、V）。一些资料（如《牛津拉丁语词典》）不区分 I/J，且 u/V 仅作为大小写区分。新拉丁语时期的一些数学和自然科学著作中，小写的 u/v 分别用于非词首和词首的位置，与是否为元音无关。此外历史上还有各种各样略有区别的正字法习惯。总结如下： 类型 示例 古典式全大写 MAIOR, FILIIS, VVLPES, DIVIDO, CAVVS 区分 I/J、U/V major, filiis, vulpes, Vulpes, VVLPES, divido, cavus 只区分 U/V maior, filiis, vulpes, Vulpes, VVLPES, divido, cavus 牛津词典式 maior, filiis, uulpes, Vulpes, VVLPES, diuido, cauus 词首区分式 maior/major, filiis, vulpes, diuido, cauus 后文中若采用古典式全大写写法，则表示古典时期的原写法，不区分元音长短。 Signa Diacritica 附加符号古典时期的拉丁语铭文有时候用名为尖点（apex）的符号表示长元音，如 Á、É，但 I 的长元音不用尖点，而是将 I 写得更高：ꟾ。 除了中世纪等时期的拉丁语常常使用附加符号来表示各种简写外，后世常常不用附加符号。一些文本中用钝音符（à）或扬抑音符（â）强调长元音，用锐音符（á）或钝音符（à）表示重音，用分音符（ë）表示该元音字母与前一个元音字母不表示双元音，这些符号采用与否取决于各处的书写习惯。 在教材、语言学资料中通常会采用长音符（ā）表示长元音，而短元音通常不标记。若要强调短元音则加短音符（ă）表示。一些场合下还会用 e͡i 或者 êi 这样的符号表示两个元音字母读作一个双元音（下文为了方便采用后者）。本文遵循此条规则。 Vocales 元音Monophthongi 单元音拉丁语中的单元音包括了六个短元音：a、e、i、o、u、y，以及对应的长元音：ā、ē、ī、ō、ū、ȳ。元音 y/ȳ 由希腊语引入，除了部分讹变外不会出现于拉丁语固有词中。这些元音的语音如下： 书写形式 音位 音值 a /a/ [a] ā /aː/ [aː] e /e/ [ɛ] ē /eː/ [eː] i /i/ [ɪ] ī /iː/ [iː] o /o/ [ɔ] ō /oː/ [oː] u /u/ [ʊ] ū /uː/ [uː] y /y/ [ʏ] ȳ /yː/ [yː] 除了 a/ā 外，短元音的音质都比长元音更低（或谓更开），其证据如：铭文中常常以 $\\mathrm E$ 表示 ĭ、以 $\\mathrm O$ 表示 ŭ、以 $\\mathrm I$ 表示 ē、以 $\\mathrm V$ 表示 ō。但是一些资料主张在古典时期几乎不存在音质的差异，这样的差异直到晚期才逐渐流行。 引自希腊语的 y/ȳ 常常混入 i/ī（古典时期以前混入 u/ū），这种口音尤其见于受教育水平较低的群体，且在后世已完全混入 i/ī。 不少证据表明拉丁语中至少在一段时间存在名为中间音（sonus medius）的元音，音值约为 [ɨ]。一些非重音的 ŭ 或 ĭ 在文献中常常混用（如 optimus 或作 optumus），此即所谓中间音。 Vocales Nasales 鼻化元音拉丁语中的 a, e, i, o, u, y 六个元音均有对应的鼻化元音，只有长音。鼻化元音出现于两个场合： 位于词语末尾的「元音 + m」，如 bonum、statim 等。其中的 m 原本表示辅音 m，后来逐渐失去了辅音的性质。习惯上这种鼻化元音不标记长音符号。 s 或 f 前的「元音 + n」，如 infimus、stans。其中的 n 经历了类似如上 m 的语音演变。习惯上这种鼻化元音标记长音符号，写如 īnfimus、stāns 。 鼻化元音的语音如下（书写形式以第一种情况为例）： 书写形式 音位 音值 am /aːⁿ/ [ãː] em /eːⁿ/ [ẽː] im /iːⁿ/ [ĩː] om /oːⁿ/ [õː] um /uːⁿ/ [ũː] (ym) /yːⁿ/ [ỹː] 鼻化元音常常伴随元音音质的改变，但目前没有发现证据可以表明拉丁语中鼻化元音与非鼻化元音的音质差异。 鼻化元音的鼻化色彩在后世几乎消失，古典时期的口语中可能也常常消失（省略了 n/m 的鼻化元音写法常见于涂鸦等非正式书写中）。但是教会拉丁语将此场合下的 n/m 读作常规的辅音。 om 在古典时期只用作 um 的古体形式，但 ōns、ōnf 常见。 ym、ȳnf 实际上没有任何用例，ȳns 似乎只见于古地名 Tirȳns。 第一种情况下的鼻化元音可能受到后一词起始辅音的同化（辅音发音见下文）。后接 d, t, th, n 时，读为相应的短元音 + [n]；后接 b, p, ph, m 时，读为相应的短元音 + [m]；后接 c (k), g, ch 时，读为相应的短元音 + [ŋ]。 Diphthongi 双元音古典拉丁语中可以确信的双元音如下：ae、oe、au、eu、ei、ui，其语音如下： 书写形式 音位 音值 ae /aᵉ/ [ae̯] oe /oᵉ/ [oe̯] au /aw/ [au̯] eu /ew/ [eu̯] ei /ej/ [ei̯] ui /uj/ [ʊi̯] ae、oe 在古典时期之前写作 $\\mathrm{AI}$、$\\mathrm{OI}$，古典时期将此改作 $\\mathrm E$ 可能反应了双元音后部元音的音值低化。 ae、oe 在古典时期的乡村口音中已经单元音化，变成 [ɛː] [eː]，后世将此与 ē 混同。但教会拉丁语中 ae [ɛ] 与 e/ē [e] 保持了语音的区别。 ae、oe 在后世——尤其是中世纪——的文献里常常与 ē 相混淆，不论古典形式如何。如 caelum 在中世纪文献有 coelum、celum 的写法，fēmina 也可能写成 faemina、foemina。 ei 在古典时期只见于极少数的词（其余都已经混入 ī），如：hei（嘿）、deinde（然后）。一些场合为了强调 ei 表示双元音，会写作 êi。 ui 只见于 cui（对什么）、huic（对此）、hui（嘿）等少数几个虚词。需要注意的是 q 后的 ui 并不是双元音，因为 qu 实际上是一体的（即切分为 qu/i，见下文）。 一些希腊词语中的 $\\mathrm{AE/OE}$ 并不是双元音，而是 a/o 与 e/ē 分居两个音节，如 āēr（空气）/ˈaː.eːr/、poēta（诗人）/poˈeːta/。在不标记长音符的场合下，有时候在 e 上加分音符，写如 aër、poëta。 词语最后一个音节的 eu 几乎总是两个单元音，如 meus（我的）/ˈme.us/、aureum（金质的）/ˈaw.re.um/，并且习惯上不写分音符。例外见于一些希腊语专有名词，如 Orpheus（俄耳甫斯，神名）/ˈor.pʰews/。类似地，一些场合将这种例外记作 êu 以强调。 Consonantes 辅音拉丁语的辅音如下： 书写形式 音位 音值 b /b/ [b] c/k /k/ [k] ch /kʰ/ [kʰ] d /d/ [d] f /f/ [f] g /g/ [ɡ] gn 非词首：/ŋn/词首：/n/ 非词首：[ŋn]词首：[n] h /h/ [h ~ ɦ] j（或作 i） /j/ [j] l /l/ 在 i/ī 前：[l]否则：[ɫ]（另见下文） m /m/ [m]（除鼻化元音的情况） n /n/ [n]（除鼻化元音的情况） p /p/ [p] ph /pʰ/ [pʰ] qu /kw/ [kʷ] r /r/ [r] s /s/ [s̱] t /t/ [t] th /tʰ/ [tʰ] v /w/ [w] x /ks/ [ks̱] z 非词首：/zː/词首：/z/ 非词首：[d͡z ~ zː]词首：[d͡z ~ z] 拉丁语至少在古典时期区分辅音的长短。短辅音为常规情况，而长辅音常常写为两个短辅音字母，如 cc /kː/ [kː]、ss /sː/ [s̱ː]。ph, th, ch 的长辅音分别写作 pph, tth, cch 但少见。qu 的长辅音写作 cqu。xs 表示 /ksː/，但常常和 x 不分。 k 在古典时期只用于书写极少数词语的 /ka/，如 kalendae（朔日）、Karthāgō（迦太基，古国名），并且均能替换为 c。 i/ī, e/ē (oe, ae) 前的 c、g 在后世腭化且擦音化。在教会拉丁语中，这种场合下的 c、g 分别读作 [tʃ] [dʒ]（sc、xc 则分别读作 [ʃ] [kʃ]）。 ph, th, ch 表示送气的清塞音，用于表示希腊语的 φ, θ, χ。但是古典时期的罗马人常常与对应的不送气音（p, t, c）相混，且会将一些固有词的 p, t, c 写成 ph, th, ch，如 lachrima（眼泪，常规写法为 lacrima）、pulcher（美丽的，原写法 pulcer 罕用）。后世（包括教会拉丁语）将 ph 混入 f，而 th、ch 分别混入 t、c。 词中的 gn 读作 [ŋn]（早期常常写作 $\\mathrm{NGN}$），传统上常常认为其前的元音总是长的，现在通常认为长短取决于词根。如 rēgnum（王国）/ˈreːŋnuⁿ/（对比 rēx，王），magnus（大的）/ˈmaŋnus/。词首的 gn 罕见，且古典后期几乎已经替换为 n，因此认为读音与 n 无别。 h 可能表示 [ɦ]，理由是 h 在古典时期则常常消失（体现于书写），且如同不存在一般，会导致省音的发生（见下文）。mihi、nihil 的变体 mī、nīl 在古典时期已常见。h 在后世（包括教会拉丁语）完全消失（但 mihi、nihil 在中世纪已经变成了 michi、nichil 逃避了这一变化）。 j 见于两种情况： 大部分词首的 $\\mathrm I$：如 jūs（法律，$\\mathrm{IVS}$）/juːs/、Jūlius（尤里乌斯，人名，$\\mathrm{IVLIVS}$）/ˈjuːlius/。只有极少数例外：iūlus（木虱，或一种鱼，$\\mathrm{IVLVS}$）/iˈuːlus/、Īō（伊奥，希腊神名，$\\mathrm{IO}$）。 两元音之间的 $\\mathrm I$：这种情况下，j 读为长辅音。如 major（更大的，$\\mathrm{MAIOR}$）/ˈmajːor/、cujus（什么的，$\\mathrm{CVIVS}$）/ˈkujːus/。j 前的音节在音节划分（见下文）时视为长，因此一些资料对其元音标记长音符（māior、cūius）。例外亦极少见：Gāius（盖尤斯，人名，$\\mathrm{GAIVS}$）/ˈgaː.i.us/，源自 gāvius。 符合第一种情况的词语附加了前缀后的形式：如 conjugō（相连接，$\\mathrm{CONIVGO}$）/ˈkonjugoː/ 来自前缀 con- 和 jugō（连接）。在此情况下，j 后的元音 a 有时候会变为 i，但通常不写作 ji/ii 而作单独的 i（而在新拉丁语中不乏写为 ji 者），如 con-jaciō 组成 coniciō（争论，$\\mathrm{CONICIO}$）/konˈjikioː/。j 前一音节的元音有时候标记长音符（cōniciō）以表示该音节在音节划分时视为长。而元音后的 ji 读作 /jːi/，亦只写作 i，如 re-jaciō 组成 reiciō（投回，$\\mathrm{REICIO}$）/reˈjːikioː/。类似地，前一音节的元音可能（并常常）标记长音符（rēiciō）。 l 由古典文献证据可以表明存在两种读音：[ɫ]（l pinguis，肥的 L）以及 [l]（或可能为 [lʲ]，l exilis，瘦的 L）。后者见于 i/ī 之前，或者是形成长辅音 /lː/ 时，其余场合均为前者。 n 的读音会受到其后辅音的同化，这种同化见于前缀与词根相接时的拼写变动，如 in-pār（不等的）常写作 impār，与 inpār 并存。实际上这种同化不会受到词语边界的限制（如同其他语言里的类似现象），即前一词末尾的 n 也会受后一词起始辅音的同化。总的来说，n 在 p, ph, b, m 前读作 [m]，在 f 前读作 [ɱ]（但是同一词语里面出现的 nf 表示前一元音的鼻音化），在 c/k, qu, ch, g 前读作 [ŋ]。 qu 作为整体出现，表示 [kʷ]，于是 $\\mathrm{QVI}$ 必然表示 qui /kʷi/ 或 quī /kʷiː/，区别于 cui /kuj/。 quu 的读音原则上是 /kʷu/ [kʷʊ]，但实际上常常混同于 cu，这种读音倾向反映于书写：将 equus（马）写作 $\\mathrm{ECVS}$。而受教育人群倾向于将 quu 读作 quo（如同早期拉丁语），于是 equus 也可能写成 $\\mathrm{EQVOS}$，后世的一些文献中沿用此习，尽管读音已经如同 cu。 rh /rʰ/ 见于希腊语借词，表示希腊语的「粗气 ρ」（ῥ）。其实际读音不明，可能与 r 无别，也可能实现为 [rʱ]。根据希腊语的语音规则，rh 在词中出现时总是长的，写作 rrh。 s 的读音很可能是舌尖后移的 [s̱]（但不一定存在于所有口音），如同许多西班牙语口音中的 s，本系统从之。后世的拉丁语（包括教会拉丁语）中，介于元音之间的 s 读作浊音 [z]，但长辅音 ss 总是清音。类似地，x 在元音之间也会读作浊音 [ɡz]。 对于后世的拉丁语（包括教会拉丁语），「s/t/x 之外的辅音 + ti + 元音」结构中非重音的 ti 读作 [t͡si]，这种擦音化的倾向可能从古典时期已经产生。 vu 的读音为 /wu/ [wʊ]，但其读音可能常常倾向于 vo [wɔ]。 根据诗律可知元音间 z 的地位类似于长辅音，可能为 [zː] 或塞擦音 [d͡z]，例如 Bȳzantium（拜占庭）/byːˈzːantiuːⁿ/。 Syllabae & Accentus 音节与重音拉丁语的音节划分遵循以下的规则： 每个音节均含有一个元音（单元音或双元音）。 词首的辅音（不论数量）与其后一个元音划入同一音节。 词末的辅音（不论数量）与其前一个元音划入同一音节。 两个元音之间的辅音，若只有一个，划入后者；若不止一个（长辅音视作两个），只将最后一个划入后者，其余划入前者。 从语音上来说，x 和 z 占据了两个辅音的地位，应该划入前后两个音节。然而文字书写时无法拆分，因此书写于后一音节（a-xis）。元音间的 j 同理。 塞音（/p/ /b/ /t/ /d/ /k/ /g/）与流音（/l/ /r/）常常视如单一的辅音，整体划入后一音节（vo-lu-cris）。然而诗歌也证明了按照常规的处理方式亦可（vo-luc-ris）。 在诗歌中，音节划分不受词语边界影响，应当把整行诗歌视如一个词语。即前一词若以辅音结尾，而后一词以元音起始，则如同词内的处理一般，将前方的辅音与后方的元音划入同一音节。 拉丁语的音节分为长短两种。含有长元音或双元音的音节称为自然为长的音节（syllaba nātūrā longa），以辅音结尾的音节称为依位置为长的音节（syllaba positiōne longa），这两类音节称为长音节。其余音节均为短音节。 元音间的 j, x, z 也会使得前一音节依位置为长。 由于古代的记录基本上不会记录元音本身的长度，因此后世判断元音长度的方法如下（双元音和鼻化元音只有长音，以下忽略）： 根据诗律判断音节的长短（最主要的判断方式）：如果音节并非以辅音结尾（即不属于依位置为长的音节），则元音的长短就是音节的长短。如果音节依位置为长，则元音的长度是不明的，现在通常称为隐藏音量（英语：hidden quantity），例如 fructus（水果）中的第一个音节。 根据铭文中的明确标记：前文所提及的附加符号尖点（apex），以及长 I 是古代铭文中标记长音的方式。此外，一些早期铭文中常常以双写的形式表示长音。 根据其他文献的明确描述：这些文献包括古代的语法学文献，也可能是其他的书信。例如 Servius 在其文章中写明，edō（吃）具有不规则的变位 ēs 和 ēst，其中的 e 为长音以区别于 es 与 est（是）。由此也可以判断其不定式 ēsse 中也具有长音 ē（以区别于 esse）。 根据后世语言的音韵变化：例如 $\\mathrm{DIRECTVM}$ 中的 e，根据法语的继承词 droit 可以判断为长音（dīrēctum），因为法语中的 oi 大都来自于拉丁语的 ē。 根据词形变化的规律：例如动词 $\\mathrm{FRANGO}$（打破）可以和前缀 con- 组成前缀派生词 $\\mathrm{CONFRINGO}$，其中的 a 由于元音交替变为 i，然而其目的动名词形式 $\\mathrm{CONFRACTVM}$ 却保留了 a。由其他词语中总结的规律可以推断，前缀派生词中词根的第一个元音 ă 会交替为 ĭ，而 ā 则不会。因此可以判断这些形式中 a 的长度：frangō, cōnfringō, confrāctum。 除了一些单音节虚词外（正如英语等语言一样），每个词语均有一个重音音节。重音音节读得比其他音节更「用力」，但没有必然的音高要求。 重音可由规则得到，若要强调重音的位置，常常使用锐音符（如 á）。 重音的一般规则如下： 单音节词语的重音自然在其唯一音节上：cór（心）。 双音节词语的重音在前一音节上：pá-ter（父亲），mā́-ter（母亲）。 多于两个音节的词语，若倒数第二个音节为长音节，则该音节为重音：vi-dḗ-re（看，自然为长），pu-él-la（女孩，依位置为长）。 否则，倒数第三个音节为重音：fī́-li-us（儿子），ím-pro-bus（坏的）。 最后一个元音前出现塞音（/p/ /b/ /t/ /d/ /k/ /g/）与流音（/l/ /r/）的情况下，如上文所述，重音位置是两可的，然而通常将倒数第二个音节视作短音节：vó-lu-cris（飞禽）。 重音位置在一些场合下是不规则的： dūcō（引导）的（第二人称单数）命令式原为 dū́ce，末尾的元音脱落了，而在复合词中保留了原本的重音位置。如 prōdūcō（向前引导）的命令式 prō-dū́c（即视如 prō-dū́-ce）。 faciō（做）的一些复合词（一般表示使动），如 calefaciō（加热）、benefaciō（有益）。其所有形式里，重音的位置均不会超过 faciō 本身的边界，如 ca-le-fá-cit（他加热）。这些词常常写作两个词语：cale facit。 一些以 -c 结尾的代词原本以 -ce 结尾。如同第一条，其重音位于最后一个音节：il-lī́c（在那里），il-lū́c（到那里），il-lā́c（按照那个）。 satisne（对吗，字面意思为「足够吗」）经常省略为 satin，按类似的道理，其重音位于最后一个音节：sa-tín。 一些语法学家主张，后缀 -ne, -ve, -que 会将词语的重音无视规则转移到其前最后一个音节，如 fḗmina（女人）→ fēmináque（和女人），fēmináve（或女人）。但这一主张缺乏证据（因为文献里几乎不会标注重音位置）。另外一些人主张重音不会随着后缀而改变（fḗminaque），或者连同后缀视如同一个词语（fēmínaque）。 Elisio 省音拉丁语中，前一个词语若以元音结尾，后一词语以元音起始，则前一元音可能会因省音而省去。受到省音影响的元音可能读得很短，或者完全不读，本系统倾向于后者。 例如：égō ágō（我做）省音后读作 égágō。 省去的元音在一些资料里以删除线表示，或者以上标字母表示。如果不需标出省去的元音，常常以撇号（’）表示。如上例子可能记作 egō agō, egō agō, eg’ agō。 词尾的鼻化元音也会发生省音，如 multum ille。 如果后一词语以 h- 起始，前一词语结束于辅音时，h- 会因连读而省去。若前一词语结束于元音，则 h- 如同不存在一般，其后的元音会构成省音的条件而将前一元音省去（称为双重省音），如 mōnstrum horrendum。 后一词语为 est（他是）或者 es（你是）时，省去的元音是后一词语的 e，如 puella est，tū es，mōnstrum est。 et（与）也可能发生类似的省音。 前一元音为鼻化元音的时候，铭文里偶尔将鼻化元音的标记省去，如将 scrīptum est 写作 $\\mathrm{SCRIPTVST}$。 省音至少在诗歌里是几乎强制性的，但存在少数场合（尤其是两个元音被停顿阻隔时）不发生省音，这种情况称为元音切断（hiatus，希腊语「裂缝」之意）。一些标注诗律的材料中会将元音切断处标记斜线或竖线等符号。 虽然没有证据表明省音在诗歌之外的场合也近乎强制地发生，但不少书写记录（如涂鸦）都表明口语里省音也很常见（尤其是 est 的省音），这可能取决于说话者所希望的表达效果。","categories":[{"name":"Linguistica","slug":"Linguistica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/categoriae/Linguistica/"}],"tags":[{"name":"Lingua-Latina","slug":"Lingua-Latina","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Lingua-Latina/"},{"name":"Linguae-Classicae","slug":"Linguae-Classicae","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Linguae-Classicae/"},{"name":"Phonetica","slug":"Phonetica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Phonetica/"},{"name":"Phonologia","slug":"Phonologia","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Phonologia/"},{"name":"Pronuntiatio","slug":"Pronuntiatio","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Pronuntiatio/"},{"name":"Orthographia","slug":"Orthographia","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Orthographia/"}]},{"title":"De Logica Mathematica 02 // 数理逻辑笔记 〇二：一阶语言的语义","slug":"De-Logica-Mathematica-02","date":"2022-03-05T12:38:36.000Z","updated":"2022-04-08T11:16:48.626Z","comments":true,"path":"2022/03/05/De-Logica-Mathematica-02.html","link":"","permalink":"https://kotobasuke.github.io/2022/03/05/De-Logica-Mathematica-02","excerpt":"","text":"Structurae & Interpretationes 结构与解释〔定义 2.1〕： 设 $S$ 为符号集，$S$–结构（$S$-structure）是具有下述性质的二元组 $\\mathfrak A=(A,\\,\\mathfrak a)$：  (α) $A$ 是非空集合，称为 $\\mathfrak A$ 的论域（domain）或全集（universe）；  (β) $\\mathfrak a$ 是定义于 $S$ 的映射，满足以下条件：    (1) 对任一 $n$ 元关系符号 $R\\in S$，$\\mathfrak a(R)$ 为 $A$ 上的 $n$ 元关系；    (2) 对任一 $n$ 元函数符号 $f\\in S$，$\\mathfrak a(f)$ 为 $A$ 上的 $n$ 元函数；    (3) 对任一常元 $c\\in S$，$\\mathfrak a(c)$ 为 $A$ 的元素． 后文将 $\\mathfrak a(R),\\,\\mathfrak a(f),\\,\\mathfrak a(c)$ 分别记为 $R^\\mathfrak A,\\,f^\\mathfrak A,\\,c^\\mathfrak A$ 或 $R^A,\\,f^A,\\,c^A$．结构 $\\mathfrak A,\\,\\mathfrak B,\\,\\cdots$ 的论域相应地记作 $A,\\,B,\\,\\cdots$．结构 $\\mathfrak A=(A,\\,\\mathfrak a)$ 中的映射 $\\mathfrak a$ 将会写成符号集中对应符号的值列表，如 $\\{R,\\,f,\\,c\\}$–结构记作 $\\mathfrak A=(A,\\,R^\\mathfrak A,\\,f^\\mathfrak A,\\,c^\\mathfrak A)$． 〔定义 2.2〕： 设 $\\mathfrak A$ 为 $S$–结构，映射 $\\beta:\\{v_n\\mid n\\in\\mathbb N\\}\\to A$ 将变元映射为 $A$ 中的元素，称为 $\\mathfrak A$ 的一个赋值（assignment）． $S$–解释（interpretation）$\\mathfrak I$ 是指含有一个 $S$–结构 $\\mathfrak A$ 与其中的一个赋值 $\\beta$ 的二元组 $(\\mathfrak A,\\,\\beta)$ ． 若 $\\beta$ 是 $\\mathfrak A$ 的一个赋值，$a\\in A$ 且 $x$ 为变元，则 $\\beta\\tfrac ax$ 表示将 $x$ 映射为 $a$，而将与 $x$ 相异的元素如同 $\\beta$ 一样映射的赋值，即 \\beta\\tfrac ax(y):=\\begin{cases} a,& y=x, \\\\ \\beta(y),& \\text{otw.} \\end{cases}对于 $\\mathfrak I=(\\mathfrak A,\\,\\beta)$，记 $\\mathfrak I\\tfrac ax=(\\mathfrak A\\tfrac ax,\\,\\beta)$． Relatio Satisfactionis Consequentiaeque 满足关系与推论关系〔定义 2.3〕： 定义 $\\mathfrak I=(\\mathfrak A,\\,\\beta)$ 为 $S$–解释，函数 $\\mathfrak I(t)$ 将每个项 $t$ 映射为 $A$ 的元素，即 (α) 对变元 $v$，$\\mathfrak I(v):=\\beta(v)$；  (β) 对常元 $c$，$\\mathfrak I(c):=c^\\mathfrak A$；  (γ) 对 $n$ 元函数符号 $f\\in S$，以及项 $t_1,\\,\\cdots,\\,t_n$，$\\mathfrak I(ft_1\\cdots t_n)=f^\\mathfrak A(\\mathfrak I(t_1),\\,\\cdots,\\,\\mathfrak I(t_n))$． 对公式 $\\varphi$ 归纳，可如下定义关系「$\\mathfrak I$ 是 $\\varphi$ 的模型（model）」，其中 $\\mathfrak I$ 是任意的解释．「$\\mathfrak I$ 是 $\\varphi$ 的模型」可以等价地称为「$\\mathfrak I$ 满足（satisfies）$\\varphi$」或「$\\varphi$ 在 $\\mathfrak I$ 中成立（holds）」，并记作 $\\mathfrak I\\models\\varphi$． 〔定义 2.4〕： $\\begin{aligned}\\mathfrak I\\models t_1\\equiv t_2 &\\quad\\text{:iff}& \\mathfrak I(t_1)=\\mathfrak I(t_2)\\\\\\mathfrak I\\models Rt_1\\cdots t_n &\\quad\\text{:iff}& R^\\mathfrak A\\mathfrak I(t_1)\\cdots\\mathfrak I(t_n)\\\\\\mathfrak I\\models \\neg\\varphi &\\quad\\text{:iff}& \\mathfrak I\\models\\varphi\\,不成立\\\\\\mathfrak I\\models (\\varphi\\land \\psi) &\\quad\\text{:iff}& \\mathfrak I\\models\\varphi\\,且\\,\\mathfrak I\\models\\psi\\\\\\mathfrak I\\models (\\varphi\\lor \\psi) &\\quad\\text{:iff}& \\mathfrak I\\models\\varphi\\,或\\,\\mathfrak I\\models\\psi\\\\\\mathfrak I\\models (\\varphi\\to \\psi) &\\quad\\text{:iff}& 若\\,\\mathfrak I\\models\\varphi\\,则\\,\\mathfrak I\\models\\psi\\\\\\mathfrak I\\models (\\varphi\\leftrightarrow \\psi) &\\quad\\text{:iff}& \\mathfrak I\\models\\varphi\\,当且仅当\\,\\mathfrak I\\models\\psi\\\\\\mathfrak I\\models \\forall x\\varphi &\\quad\\text{:iff}&\\,对所有\\,a\\in A,\\;\\mathfrak I\\tfrac ax\\models\\varphi\\\\\\mathfrak I\\models \\exists x\\varphi &\\quad\\text{:iff}&\\,存在\\,a\\in A\\,使得\\,\\mathfrak I\\tfrac ax\\models\\varphi\\end{aligned}$ 易知，$\\mathfrak I\\models\\varphi$ 当且仅当 $\\varphi$ 在 $\\mathfrak I$ 解释下为真命题． 对于 $S$–公式集合 $\\varPhi$，若对任意 $\\varphi\\in\\varPhi$，均有 $\\mathfrak I\\models\\varphi$，则称 $\\mathfrak I$ 是 $\\varPhi$ 的模型（$\\mathfrak I$ 满足 $\\varPhi$），并记作 $\\mathfrak I\\models\\varPhi$． 〔定义 2.5〕： 令 $\\varPhi$ 为公式集合，$\\varphi$ 为公式．$\\varphi$ 是 $\\varPhi$ 的推论（consequence），当且仅当满足 $\\varPhi$ 的所有解释亦满足 $\\varphi$，记作 $\\varPhi\\models\\varphi$． 设 $\\psi$ 为公式，$\\{\\psi\\}\\models\\varphi$ 简记作 $\\psi\\models\\varphi$． 〔定义 2.6〕： 公式 $\\varphi$ 是有效的（valid），当且仅当 $\\varnothing\\models\\varphi$，记作 $\\models\\varphi$．因此公式有效当且仅当其在所有解释下均成立． 公式 $\\varphi$ 是可满足的（satisfiable），当且仅当存在满足 $\\varphi$ 的解释，记作 $\\operatorname{Sat}\\varphi$．公式集合 $\\varPhi$ 是可满足的，当且仅当对于任意 $\\varphi\\in\\varPhi$，均有 $\\operatorname{Sat}\\varphi$，记作 $\\operatorname{Sat}\\varPhi$． 〔引理 2.a〕： 对于任意公式集合 $\\varPhi$ 及任意公式 $\\varphi$，$\\varPhi\\models\\varphi$ 当且仅当 $\\operatorname{Sat}\\varPhi\\cup\\{\\neg\\varphi\\}$ 不成立． 特别地，$\\varphi$ 有效当且仅当 $\\{\\neg\\varphi\\}$ 不可满足． 〔证明〕： $\\varPhi\\models\\varphi$ 当且仅当所有满足 $\\varPhi$ 的解释亦满足 $\\varphi$， 当且仅当不存在满足 $\\varPhi$ 而不满足 $\\varphi$ 的解释， 当且仅当不存在满足 $\\varPhi\\cup\\{\\neg\\varphi\\}$ 的解释， 当且仅当 $\\operatorname{Sat}\\varPhi\\cup\\{\\neg\\varphi\\}$ 不成立． ■","categories":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/categoriae/Mathematica/"}],"tags":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Mathematica/"},{"name":"Logica","slug":"Logica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Logica/"},{"name":"Fundamentum-Mathematicum","slug":"Fundamentum-Mathematicum","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Fundamentum-Mathematicum/"},{"name":"Linguae-Formales","slug":"Linguae-Formales","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Linguae-Formales/"}]},{"title":"De Logica Mathematica 01 // 数理逻辑笔记 〇一：一阶语言的句法","slug":"De-Logica-Mathematica-01","date":"2022-02-23T12:50:44.000Z","updated":"2022-10-24T07:33:56.952Z","comments":true,"path":"2022/02/23/De-Logica-Mathematica-01.html","link":"","permalink":"https://kotobasuke.github.io/2022/02/23/De-Logica-Mathematica-01","excerpt":"","text":"Linguae Ordinis-Primi 一阶语言由符号（symbol）组成的非空集合称为字母表（alphabet）．字母表 $\\mathcal A$ 中的符号所组成有限长序列称为 $\\mathcal A$ 上的字符串（string）或词语（word）．$\\mathcal A$ 上的所有字符串所组成的集合记作 $\\mathcal A^\\ast$．任一字符串 $\\zeta\\in\\mathcal A^\\ast$ 中所含的符号数量（计算重复的符号）称为 $\\zeta$ 的长度（length）．空字符串（简称空串）也属于 $\\mathcal A^\\ast$，其长度为 $0$，记作 $\\square$． 若存在 $\\mathbb N$ 到集合 $M$ 的满射，则称 $M$ 是可数（countable）的．若 $M$ 为无限集，则 $M$ 若非可数集合，则称为不可数（uncountable）集合．可数集与有限集统称为至多可数（at most countable）集合． 〔引理 1.a〕： 对任一非空集合 $M$，以下条件等价：  (α) $M$ 至多可数；  (β) 存在满射 $\\alpha:\\mathbb N\\to M$；  (γ) 存在单射 $\\beta:M\\to\\mathbb N$． 〔证明〕： (α) $\\Rightarrow$ (β)： 令 $M$ 至多可数，若 $M$ 可数，则由前文定义得证．若 $M$ 有限，令 $M:=\\{a_0,\\,a_1,\\,\\cdots,\\,a_m\\}$，定义 $\\alpha$ 如下： \\alpha(n):=\\begin{cases} a_n,& 0\\leq n\\leq m, \\\\ a_0,& \\text{otw.} \\end{cases}显然 $\\alpha$ 为满射． (β) $\\Rightarrow$ (γ)： 令 $\\alpha:\\mathbb N\\to M$ 为满射，定义 $\\beta(b)$ 等于满足 $\\alpha(n)=b$ 的最小 $n\\in\\mathbb N$，显然 $\\beta$ 为单射． (γ) $\\Rightarrow$ (α)：令 $\\beta:M\\to\\mathbb N$ 为单射，$M$ 为有限集时显然．设 $M$ 为无限集，归纳定义 $\\alpha:\\mathbb N\\to M$ 如下：   $\\alpha(0)$ 等于在 $\\beta$ 作用下，像在 $\\mathbb N$ 中最小的 $a\\in M$．对任意 $n\\in\\mathbb N$，$\\alpha(n+1)$ 等于在 $\\beta$ 作用下，像在 $\\mathbb N$ 中大于 $(α(0)),⋯,β(α(n))$ 而最小的 $a\\in M$． $\\beta$ 的像是 $\\mathbb N$ 的无限子集，由此可知 $\\alpha$ 对任意 $n\\in\\mathbb N$ 均可定义，显然每个 $a\\in M$ 均属于 $\\alpha$ 的像，于是 $\\alpha$ 是满射，这意味着 $M$ 可数． ■ 〔引理 1.b〕： 若 $\\mathcal A$ 是至多可数的字母表，则 $\\mathcal A^\\ast$ 可数． 〔证明〕： 即 $p_n$ 为第 $n$ 个质数，即 $p_1=2$，$p_2=3$，以此类推．若 $\\mathcal A$ 有限，则 $\\mathcal A:=\\{a_0,\\,\\cdots,\\,a_n\\}$；若 $\\mathcal A$ 可数，则 $\\mathcal A:=\\{a_0,\\,a_1,\\,a_2,\\,\\cdots\\}$．定义映射 $\\beta:\\mathcal A^\\ast\\to \\mathbb N$ 如下： \\beta(\\square):=1,\\quad \\beta(a_{i_0}\\cdots a_{i_r}):=\\displaystyle\\prod_{j=0}^r p_j^{i_j+1}.显然 $\\beta$ 为单射，由此则 $\\mathcal A^\\ast$ 至多可数，而 $\\mathcal A^\\ast$ 无法为有限集（考虑 $a_0,\\,a_0a_0,\\,a_0a_0a_0,\\,\\cdots\\in\\mathcal A^\\ast$），便得证． ■ 〔定义 1.1〕： 令字母表 $\\mathcal A$ 包含以下符号：  无限个变元（variable）：$v_0,\\,v_1,\\,v_2,\\,\\cdots$；  五个逻辑联结词：$\\neg,\\,\\land,\\,\\lor,\\,\\to,\\,\\leftrightarrow$（非、与、或、若–则、当且仅当）；  两个逻辑量词：$\\forall,\\,\\exists$（全称量词、存在量词）；  等值符号：$\\equiv$；(1)  括号：$(,\\,)$． 字母表 $S$ 包含以下符号：  若干个（或 $0$ 个，下同）$n$ 元关系符号（其中 $n\\geq 1$），后文默认记作 $R^n_0,\\,R^n_1,\\,R^n_2,\\,\\cdots$ 或 $R^n$；  若干个 $n$ 元函数符号（其中 $n\\geq 1$），后文默认记作 $f^n_0,\\,f^n_1,\\,f^n_2,\\,\\cdots$ 或 $f^n$；  若干个常元（constant），后文记作 $c_0,\\,c_1,\\,c_2,\\,\\cdots$，或 $c$． 记 $\\mathcal A_S:= \\mathcal A\\cup S$，则 $\\mathcal A_S$ 是一个一阶语言（first-order language）的字母表，$S$ 是该一阶语言的符号集（symbol set）．不同的 $S$ 决定了不同的一阶语言． Termini & Formulae 项与公式〔定义 1.2〕： 通过有限次应用以下所给出的规则得到的 $\\mathcal A^\\ast_S$ 中的字符串称为 $S$–项（$S$-term）：  (T1) 任一变元均为 $S$–项；  (T2) $S$ 中的任一常元均为 $S$–项；  (T3) 若 $t_1,\\,\\cdots,\\,t_n$ 均为 $S$–项，而 $f \\in S$ 是一个 $n$ 元函数符号，则 $ft_1\\cdots t_n$(2) 亦为 $S$–项． $S$–项的集合记为 $T^S$． 〔定义 1.3〕： 通过有限次应用以下所给出的规则得到的 $\\mathcal A^\\ast_S$ 中的字符串称为 $S$–公式（$S$-formula）：  (F1) 若 $t_1$ 与 $t_2$ 为 $S$–项，则 $t_1\\equiv t_2$ 为 $S$–公式；  (F2) 若 $t_1,\\,\\cdots,\\,t_n$ 均为 $S$–项，而 $R\\in S$ 是一个 $n$ 元关系符号，则 $Rt_1\\cdots t_n$ 为 $S$–公式；  (F3) 若 $\\varphi$ 为 $S$–公式，则 $\\neg\\varphi$（否定）亦为 $S$–公式；  (F4) 若 $\\varphi$ 与 $\\psi$ 为 $S$–公式，则 $(\\varphi\\land\\psi)$（合取）、$(\\varphi\\lor\\psi)$（析取）、$(\\varphi\\to\\psi)$（蕴含）、$(\\varphi\\leftrightarrow\\psi)$（双条件）均为 $S$–公式；  (F5) 若 $\\varphi$ 为 $S$–公式，而 $x$ 为变元，则 $\\forall x\\varphi$ 与 $\\exists x\\varphi$ 均为 $S$–公式． $S$–公式的集合记为 $L^S$． 由以上规则得到项或公式的过程称为导出（derivation），而通常把这样的规则系统称为演算（calculus）．例如，设符号集 $S_\\mathrm t=\\{f,\\,g,\\,c\\}$（其中 $f$ 为一元函数符号，$g$ 为二元函数符号），则关于 $S_\\mathrm t$ 的项演算可导出项 $gv_0fgv_4c$(3)．又如，设符号集 $S_\\mathrm f=\\{R\\}$，则关于 $S_\\mathrm f$ 的公式演算可导出公式 $\\forall v_0\\forall v_1\\forall v_2((Rv_0v_1\\land Rv_1v_2)\\to Rv_0v_2)$． 〔引理 1.c〕： 若符号集 $S$ 至多可数，则 $T^S$ 与 $L^S$ 可数． 〔证明〕： 若 $S$ 至多可数，则 $\\mathcal A_S$ 亦然（$\\mathcal A_S=\\mathcal A\\cup S$），由引理 1.b 则 $\\mathcal A^\\ast_S$ 亦然． $T^S$ 与 $L^S$ 均为 $\\mathcal A^\\ast_S$ 的子集，因此二者亦至多可数． 由于 $T^S$ 包含无限个变元 $v_0,\\,v_1,\\,v_2,\\,\\cdots$，而由此则 $L^S$ 包含相应的无限个公式 $v_0\\equiv v_0,\\,v_1\\equiv v_1,\\,v_2\\equiv\\,v_2,\\,\\cdots$，因此二者均为无限集，便得证． ■ Inductio 归纳法设符号集为 $S$，且令 $Z\\subseteq\\mathcal A^\\ast_S$ 为 $\\mathcal A_S$ 上的一个字符串集合． 演算中的规则或是指明特定字符串属于 $Z$，或是指明对于若干字符串 $\\zeta_1,\\,\\cdots,\\,\\zeta_n,\\,\\zeta$，若 $\\zeta_1,\\,\\cdots,\\,\\zeta_n\\in Z$，则 $\\zeta \\in Z$．后一种规则会以记号表述为： \\frac{\\;\\zeta_1,\\,\\cdots,\\,\\zeta_n\\;}{\\zeta}.令 $n=0$，则得到上文所述的前一种规则（“无前提”的规则），于是项演算的规则可表述如下：  (T1) $\\dfrac{\\quad}v$；  (T2) $\\dfrac{\\quad}{c}$，若 $c\\in S$；  (T3) $\\dfrac{t_1,\\,\\cdots,\\,t_n}{f^nt_1\\cdots t_n}$，若 $f^n\\in S$． 对于指定的字符串集合 $Z$，若要证明其所有元素均具有性质 $P$，则可证明其充分条件： 对于演算 $\\mathfrak C$ 的任一规则 $\\dfrac{\\;\\zeta_1,\\,\\cdots,\\,\\zeta_n\\;}{\\zeta}$，若 $\\zeta_1,\\,\\cdots,\\,\\zeta_n$ 在 $\\mathfrak C$ 中可导出且均具有性质 $P$（称为归纳假设（induction hypothesis）），则 $\\zeta$ 亦有性质 $P$． 这一证明过程称为演算 $\\mathfrak C$ 上的归纳（induction）． 当 $\\mathfrak C$ 为项演算，则对于项的归纳证明即为证明以下各条：  (T1)’ 所有变元具有性质 $P$；  (T2)’ $S$ 中所有常元具有性质 $P$；  (T3)’ 若 $S$–项 $t_1,\\,\\cdots,\\,t_n$ 均具有性质 $P$，且 $f^n\\in S$，则 $f^nt_1\\cdots t_n$ 亦具有性质 $P$． 当 $\\mathfrak C$ 为公式演算，则相应地，对于公式的归纳证明即为证明以下各条：  (F1)’ 所有形如 $t_1\\equiv t_2$ 的 $S$–公式均具有性质 $P$；  (F2)’ 所有形如 $R^nt_1\\cdots t_n$ 的 $S$–公式均具有性质 $P$；  (F3)’ 若 $S$–公式 $\\varphi$ 具有性质 $P$ ，则 $\\neg\\varphi$ 亦具有性质 $P$；  (F4)’ 若 $S$–公式 $\\varphi$ 与 $\\psi$ 具有性质 $P$，则 $(\\varphi\\land\\psi),\\,$ $(\\varphi\\lor\\psi),\\,$ $(\\varphi\\to\\psi),\\,$ $(\\varphi\\leftrightarrow\\psi)$ 均具有性质 $P$；  (F5)’ 若 $S$–公式具有性质 $P$，而 $x$ 为变元，则 $\\forall x\\varphi$ 与 $\\exists x\\varphi$ 均具有性质 $P$． 〔例 1’a〕： 对任意符号集 $S$，空串 $\\square$ 既非 $S$–项亦非 $S$–公式． 〔证明〕： 设性质 $P$ 如下：   对任意字符串 $\\zeta\\in\\mathcal A^\\ast_S$，$\\zeta$ 具有性质 $P$ 当且仅当 $\\zeta$ 非空． 对项归纳证明：   (T1)’，(T2)’：显然所有变元与 $S$ 中的所有常元均非空，即均具有性质 $P$．   (T3)’：由规则 (T3) 所得到的项必然起始于函数符号，因此必然非空． 对公式归纳证明：   由各条规则所得到的公式必然含有至少一个逻辑联结词、逻辑量词、等值符号、关系符号，因此均具有性质 $P$． ■ 〔例 1’b〕： 对于任一符号集 $S$，所有 $S$–公式具有同等数量的左括号 “$\\,(\\,$” 与右括号 “$\\,)\\,$”． 〔证明〕： 对项归纳证明可得所有项都不含有括号． 对公式归纳证明，并设性质 $P$ 如下：   对任意字符串 $\\zeta\\in\\mathcal A^\\ast_S$，$\\zeta$ 具有性质 $P$ 当且仅当 $\\zeta$ 具有同等数量的左括号与右括号． 于是，考虑以下情况：   (T1)’：$\\varphi=t_1\\equiv t_2$ 时，观察可知 $\\varphi$ 没有任何括号，因此 $\\varphi$ 具有性质 $P$．   (T2)’：$\\varphi=\\neg \\psi$ 时，假设 $\\psi$ 具有性质 $P$．除了 $\\psi$ 所具有的括号外，$\\varphi$ 不具有其余括号，因此 $\\varphi$ 具有性质 $P$．   (T3)’：$\\varphi=(\\psi \\diamond \\chi)$ 时(4)，假设 $\\psi,\\,\\chi$ 均具有性质 $P$，则 $\\varphi$ 相比 $\\psi$ 与 $\\chi$ 多一组括号，$\\varphi$ 具有性质 $P$．   (T4)’：与 (T2)’ 同理． ■ 〔引理 1.d〕： (a) 对任意项 $t$ 与 $t’$，$t$ 不能作为 $t’$ 的真起始段（proper initial segment），即不存在非空串 $\\zeta$ 使得 $t\\zeta=t’$． (b) 对任意公式 $\\varphi$ 与 $\\varphi’$，$\\varphi$ 不能作为 $\\varphi’$ 的真起始段． 〔证明〕： 令字符串 $\\zeta$ 具有性质 $P$，当且仅当对于任意的项 $t’$，$t’$ 均不能作为 $\\zeta$ 的真起始段，$\\zeta$ 也不能作为 $t’$ 的真起始段． 对项归纳：   $t=v$：令 $t’$ 为任意的项．$t’$ 若为 $t$ 的真起始段，则必然为空串 $\\square$，而〔例 1’a〕已证明空串不能作为项．此外，不难对项归纳证明 $v$ 是唯一起始于 $v$ 的项．因此，$t$ 不能作为 $t’$ 的真起始段．   $t=c$：同理．   $t=ft_1\\cdots t_n$，其中 $t_1,\\,\\cdots,\\,t_n$ 具有性质 $P$：令 $t’$ 为任意指定的项．以反证法设存在 $\\zeta\\neq\\square$ 使得 $t=t’\\zeta$．$t’$ 起始于 $f$，因此 $t’$ 不为变元或常元，而只能由规则 (T3) 得到．因此必然有若干合适的项 $t_1’,\\,\\cdots,\\,t_n’$ 使得 $t’$ 形如 $ft_1’\\cdots t_n’$．由反证假设得 ft_1\\cdots t_n=ft_1'\\cdots t_n'\\zeta,消去 $f$，得 t_1\\cdots t_n=t_1'\\cdots t_n'\\zeta,因此 $t_1$ 是 $t_1’$ 的起始段，或反之．由归纳假设 $t_1$ 具有性质 $P$，因此 $t_1$ 不能为 $t_1’$ 的真起始段，反之亦然，于是 $t_1=t_1’$．消去上式的 $t_1$ 与 $t_1’$ 便得 $t_2\\cdots t_n=t_2’\\cdots t_n’\\zeta$．同理重复以上步骤，便得到 \\square=\\zeta,与反证假设矛盾．因此不存在 $\\zeta\\neq\\square$ 使得 $t=t’\\zeta$． 由此证出 $t’$ 不能作为 $t$ 的真起始段．类似可证明 $t$ 不能作为 $t’$ 的真起始段． (b) 的证明从略． ■ 〔引理 1.e〕： (a) 若 $t_1,\\,\\cdots,\\,t_n$ 与 $t’_1,\\,\\cdots,\\,t’_m$ 均为项，而 $t_1\\cdots t_n=t’_1\\cdots t’_m$，则 $m=n$，且对任意 $1\\leq i\\leq n$ 均有 $t_i=t’_i$． (b) 若 $\\varphi_1,\\,\\cdots,\\,\\varphi_n$ 与 $\\varphi’_1,\\,\\cdots,\\,\\varphi’_m$ 均为公式，而 $\\varphi_1\\cdots\\varphi_n=\\varphi’_1\\cdots\\varphi’_m$ 则 $m=n$，且对任意 $1\\leq i\\leq n$ 均有 $\\varphi_i=\\varphi’_i$． 由〔引理 1.d〕不难证明． 〔定理 1.f〕项与公式的唯一分解性： (a) 任一个项 $t$ 均符合以下情况之中唯一一种：   (1) $t$ 是变元； (2) $t$ 是常元；   (3) $t$ 具有 $ft_1\\cdots t_n$，其中 $f$ 是 $n$ 元函数符号，而 $t_1,\\,\\cdots,\\,t_n$ 是唯一确定的． (b) 任一个公式 $\\varphi$ 均符合以下情况之中唯一一种：   (1) $\\varphi=t_1\\equiv t_2$； (2) $\\varphi=Rt_1\\cdots t_n$； (3) $\\varphi=\\neg\\psi$；   (4) $\\varphi=(\\psi\\diamond\\chi)$； (5) $\\varphi=\\forall x\\psi$； (6) $\\varphi=\\exists x\\psi$． 上述所有情况中，所有项 $t_1,\\,t_2,\\,\\cdots,\\,t_n$、$n$ 元关系符号 $R$、公式 $\\psi,\\,\\chi$、变元 $x$ 均是唯一确定的． 由〔引理 1.d〕〔引理 1.e〕易证． 由唯一分解性，可以以归纳定义（inductive definition）的方式，定义关于项或公式的函数．以下给出相应的例子： 〔定义 1.4〕： (a) 函数 $\\mathrm{var}$（更准确来说，应写成 $\\mathrm{var}_S$）给出每个 $S$–项中所含有的变元集合，可以归纳定义如下： \\begin{aligned} \\mathrm{var}(x) &:= \\{x\\},\\\\ \\mathrm{var}(c) &:= \\varnothing,\\\\ \\mathrm{var}(ft_1\\cdots t_n) &:= \\mathrm{var}(t_1)\\cup\\cdots\\cup\\mathrm{var}(t_n). \\end{aligned}(b) 函数 $\\mathrm{SF}$ 给出每个公式的子公式集合，可以归纳定义如下： \\begin{aligned} \\mathrm{SF}(t_1\\equiv t_2)&:=\\{t_1\\equiv t_2\\},\\\\ \\mathrm{SF}(Rt_1\\cdots t_n)&:=\\{Rt_1\\cdots t_n\\},\\\\ \\mathrm{SF}(\\neg\\varphi)&:=\\{\\neg\\varphi\\}\\cup\\mathrm{SF}(\\varphi),\\\\ \\mathrm{SF}((\\varphi\\diamond\\psi))&:=\\{(\\varphi\\diamond\\psi)\\}\\cup\\mathrm{SF}(\\varphi)\\cup\\mathrm{SF}(\\psi),\\\\ \\mathrm{SF}(\\forall x\\varphi)&:=\\{\\forall x\\varphi\\}\\cup\\mathrm{SF}(\\varphi),\\\\ \\mathrm{SF}(\\exists x\\varphi)&:=\\{\\exists x\\varphi\\}\\cup\\mathrm{SF}(\\varphi). \\end{aligned} Variabiles Liberae & Sententiae 自由变元与语句〔定义 1.5〕： 对公式归纳定义函数 $\\mathrm{fr}$ 如下： \\begin{aligned} \\mathrm{fr}(t_1\\equiv t_2)&:=\\mathrm{var}(t_1)\\cup\\mathrm{var}(t_2),\\\\ \\mathrm{fr}(Rt_1\\cdots t_n)&:=\\mathrm{var}(t_1)\\cup\\cdots\\cup\\mathrm{var}(t_n),\\\\ \\mathrm{fr}(\\neg\\varphi)&:=\\mathrm{fr}(\\varphi),\\\\ \\mathrm{fr}((\\varphi\\diamond\\psi))&:=\\mathrm{fr}(\\varphi)\\cup\\mathrm{fr}(\\psi),\\\\ \\mathrm{fr}(\\forall x\\varphi)&:=\\mathrm{fr}(\\varphi)\\setminus\\{x\\},\\\\ \\mathrm{fr}(\\exists x\\varphi)&:=\\mathrm{fr}(\\varphi)\\setminus\\{x\\}. \\end{aligned}集合 $\\mathrm{fr}(\\varphi)$ 的元素称为公式 $\\varphi$ 的自由变元（free variable）．不含自由变元的公式（即满足 $\\mathrm{fr}(\\varphi)=\\varnothing$ 的公式 $\\varphi$）称为语句（sentence）． 令符号 $L_n^S$ 表示 $S$–公式的集合中，自由变元只出现于 $v_0,\\,\\cdots,\\,v_{n-1}$ 之中的公式所组成的子集，即 L_n^S:=\\{\\varphi\\mid\\varphi\\in L^S,\\;\\mathrm{fr}(\\varphi)\\subseteq\\{v_0,\\,\\cdots,\\,v_{n-1}\\}\\}.Annotationes 注释 (1). 有时也写作 $=$​，但为了区分等于号的其他意义，这里写作 $\\equiv$​． ↩ (2). $ft_1\\cdots t_n$​ 按照通常的 $n$​ 元函数符号记法写作 $f(t_1,\\,\\cdots,\\,t_n)$​，这里为了简化而不使用括号与逗号，而认为 $n$​ 元函数符号 $f$​ 后的 $n$​ 个符号各为其参数．对于 $n$​ 元关系符号 $R$​ 则同理． ↩ (3). 按一般的函数符号记法为 $g(v_0,\\,f(g(v_4,\\,c)))$​． ↩ (4). 符号 $\\diamond$ 表示 $\\land,\\,\\lor,\\,\\to,\\,\\leftrightarrow$ 之中任意一个，后文均依此． ↩","categories":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/categoriae/Mathematica/"}],"tags":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Mathematica/"},{"name":"Logica","slug":"Logica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Logica/"},{"name":"Fundamentum-Mathematicum","slug":"Fundamentum-Mathematicum","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Fundamentum-Mathematicum/"},{"name":"Linguae-Formales","slug":"Linguae-Formales","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Linguae-Formales/"}]},{"title":"De Algebra Lineari 05 // 线性代数笔记 〇五：特征值与特征向量","slug":"De-Algebra-Lineari-05","date":"2021-09-12T16:55:12.000Z","updated":"2022-02-25T16:53:17.525Z","comments":true,"path":"2021/09/13/De-Algebra-Lineari-05.html","link":"","permalink":"https://kotobasuke.github.io/2021/09/13/De-Algebra-Lineari-05","excerpt":"","text":"Valores Proprii & Vectores Proprii 特征值与特征向量〔定义〕： 设 $T\\in\\mathcal L(V)$，若 $V$ 的子空间 $U$ 满足 $ 𝒖\\in U\\Rightarrow T( 𝒖)\\in U$，则称 $U$ 为 $V$ 对于 $T$ 的不变子空间（invariant subspace）． 对任一向量空间 $V$，子空间 $\\{\\mathbf 0\\},\\;V,\\;\\ker T,\\;\\operatorname{Im} T$ 均为 $V$ 对于 $T$ 的不变子空间． 〔定义〕： 设 $T\\in\\mathcal L(V)$，对于 $\\lambda\\in\\mathbb F$，若存在 $\\mathbf 0\\neq 𝒗\\in V$ 使得 $T( 𝒗)=\\lambda 𝒗$，则称 $\\lambda$ 是 $T$ 的特征值（eigenvalue）． 此时满足 $T( 𝒗)=\\lambda 𝒗$ 的非零向量 $ 𝒗\\in V$ 称为 $T$ 关于特征值 $\\lambda$ 的特征向量（eigenvector）． 易证，以下命题等价： $\\lambda\\in\\mathbb F$ 是 $T$ 的特征值； $T-\\lambda I$ 不是单射； $T-\\lambda I$ 不是满射； $T-\\lambda I$ 不可逆． 〔定理 5.1〕： 设 $T\\in\\mathcal L(V)$，设 $\\lambda_1,\\,\\lambda_2,\\,\\cdots,\\,\\lambda_n\\in\\mathbb F$ 是 $T$ 的相异特征值，$ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n\\in V$ 是分别对应的特征向量，则 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n$ 线性无关． 〔证明〕： 设 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n$ 线性相关，由线性相关性引理，可以令 $k$ 是满足以下条件的最小正整数：   $ 𝒗_k\\in\\mathrm{span}( 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_{k-1})$， 且 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_{k-1}$ 线性无关， 则可以设 $a_1,\\,a_2,\\,\\cdots,\\,a_{k-1}\\in\\mathbb F$，使得   $ 𝒗_k=a_1 𝒗_1+a_2 𝒗_2+\\cdots+a_{k-1} 𝒗_{k-1}$ （▲）， 对两侧应用变换 $T$，则有   $\\lambda_k 𝒗_k=a_1\\lambda_1 𝒗_1+a_2 \\lambda_2𝒗_2+\\cdots+a_{k-1}\\lambda_{k-1} 𝒗_{k-1}$， 由（▲）又有   $\\lambda_k 𝒗_k=a_1 \\lambda_k𝒗_1+a_2 \\lambda_k𝒗_2+\\cdots+a_{k-1}\\lambda_k𝒗_{k-1}$， 上述二式作差，得   $\\mathbf 0=a_1(\\lambda_k-\\lambda_1) 𝒗_1+a_2(\\lambda_k-\\lambda_2) 𝒗_2+\\cdots+a_{k-1}\\lambda_{k-1} 𝒗_{k-1}$， $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_{k-1}$ 线性无关，而 $\\lambda_1\\neq \\lambda_2\\neq\\cdots\\neq \\lambda_k$，因此 $a_1=a_2=\\cdots=a_{k-1}=0$． 这意味着 $ 𝒗_k=\\mathbf 0$，与特征向量的前提矛盾，得证 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n$ 线性无关． ■ 〔定理 5.2〕： 设 $V$ 是有限维向量空间，则 $V$ 中的任一算子 $T\\in\\mathcal L(V)$ 有至多 $\\dim V$ 个相异的特征值． 〔证明〕： 设 $\\lambda_1,\\,\\lambda_2,\\,\\cdots,\\,\\lambda_n\\in\\mathbb F$ 是 $T$ 的相异特征值，$ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n$ 是对应的特征向量． 由 Th. 5.1，$ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n$ 是线性无关组，因此 $n\\leq \\dim V$，得证． ■ 〔定义〕： 设 $T\\in\\mathcal L(V)$，$U$ 是 $V$ 对于 $T$ 的不变子空间． 限制算子（restriction operator）是将任意 $ 𝒖\\in U$ 映射为 $T( 𝒖)$ 的算子，记为 $T|_U$：   $\\forall\\; 𝒖\\in U,\\quad T|_U( 𝒖)=T( 𝒖)$．$T|_U$ 是 $U$ 中的算子． 商算子（quotient operator）是将 $V$ 的任一仿射子集 $ 𝒗+U\\;( 𝒗\\in V)$ 映射为 $T( 𝒗)+U$ 的算子，记为 $T/U$：   $\\forall\\;𝒗\\in V,\\quad (T/U)( 𝒗+U)=T( 𝒗)+U$．$T/U$ 是 $V/U$ 中的算子． 〔定义〕： 设 $T\\in\\mathcal L(V)$，$m\\in\\mathbb Z^+$． $T^m:=T\\cdots T$（$m$ 个 $T$ 的积）； $T^0:=I$（恒等映射）； 若 $T$ 可逆，$T^{-m}:=(T^{-1})^m$． $\\forall\\;m,\\,n\\in\\mathbb Z^+,\\quad T^{m+n}=T^mT^n,\\;T^{mn}=(T^m)^n$． 〔定义〕： 设 $T\\in\\mathcal L(V)$，$p\\in\\mathcal P(\\mathbb F)$ 是如下的多项式：   $p(x)=a_0+a_1x+\\cdots+a_nx^n=\\displaystyle\\sum_{i=0}^na_ix^i$， 其中 $a_0,\\,a_1,\\,\\cdots,\\,a_n\\in\\mathbb F$，$n\\in\\mathbb N$． 则定义算子 $p(T):=a_0I+a_1T+\\cdots+a_nT^n=\\displaystyle\\sum_{i=0}^n a_iT^i$． 〔定义〕： 设 $p,\\,q\\in\\mathcal P(\\mathbb F)$，则多项式的积 $pq$ 是满足以下定义的多项式：   $\\forall\\;x\\in\\mathbb F,\\,\\quad (pq)(x)=p(x)q(x)$． 〔定理 5.3〕： 设 $p,\\,q\\in\\mathcal P(\\mathbb F)$，$T\\in\\mathcal L(V)$，则 $(pq)(T)=p(T)q(T)$； $p(T)q(T)=q(T)p(T)$． 证明略． 〔定理 5.4〕： 有限维非零复空间 $V$ 上的任一算子 $T\\in\\mathcal L(V)$ 均有至少一个特征值． 〔证明〕： $n:=\\dim V$． 设 $ \\mathbf 0\\neq𝒗\\in V$，则向量组 $ 𝒗,\\,T( 𝒗),\\,T^2( 𝒗),\\cdots,\\,T^n( 𝒗)$ 线性相关．于是存在不全为 $0$ 的 $a_0,\\,a_1,\\,a_2,\\,\\cdots,\\,a_n\\in\\mathbb C$，使得   $a_0 𝒗+a_1T( 𝒗)+a_2T^2( 𝒗)+\\cdots+a_nT^n( 𝒗)=\\mathbf 0$． 其中 $a_1,\\,a_2,\\,\\cdots,\\,a_n$ 不全为 $0$，否则会得到 $a_0 𝒗=\\mathbf 0$，即有 $a_0=0$，与前提矛盾． 考虑关于 $x$ 的如下多项式，并可知其因式分解：   $a_0+a_1x+\\cdots+a_nx^n=c(x-\\lambda_1)\\cdots(x-\\lambda_m)$， 其中 $\\lambda_1,\\,\\cdots,\\,\\lambda_m\\in\\mathbb C$，$0\\neq c\\in\\mathbb C$（$m$ 不一定等于 $n$，因为 $a_n$ 可能等于 $0$）． 于是有   $\\mathbf 0=\\displaystyle\\sum_{i=0}^m a_i T^i𝒗=\\left(\\sum_{i=0}^m a_iT^i\\right) 𝒗=c(T-\\lambda_1I)\\cdots(T-\\lambda_mI) (𝒗)$， 因此存在 $\\lambda_i\\in\\{\\lambda_1,\\,\\cdots,\\,\\lambda_m\\}$，使得 $T-\\lambda_iI$ 不是单射，此时 $T$ 存在特征值 $\\lambda_i$． ■","categories":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/categoriae/Mathematica/"}],"tags":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Mathematica/"},{"name":"Algebra","slug":"Algebra","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra/"},{"name":"Algebra-Linearis","slug":"Algebra-Linearis","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra-Linearis/"}]},{"title":"De Algebra Lineari 04 // 线性代数笔记 〇四：多项式","slug":"De-Algebra-Lineari-04","date":"2021-09-09T11:22:00.000Z","updated":"2022-02-25T16:53:13.581Z","comments":true,"path":"2021/09/09/De-Algebra-Lineari-04.html","link":"","permalink":"https://kotobasuke.github.io/2021/09/09/De-Algebra-Lineari-04","excerpt":"","text":"Polynomia 多项式〔定理 4.1〕： 设 $a_0,\\,a_1,\\,\\cdots,\\,a_n\\in\\mathbb F$，若对任意 $x\\in\\mathbb F$ 均有   $a_0+a_1x+\\cdots+a_nx^n=0$， 则 $a_0=a_1=\\cdots=a_n=0$． 〔证明〕： 以反证法假设这些系数不全为 $0$，在此前提下设 $a_n\\neq0$(1)．令   $x=\\dfrac{\\sum_{i=1}^{n-1}|a_i|}{|a_n|}+1$， 显然地，$x\\geq 1$，因此对任意 $0\\leq i\\leq n-1$，总有 $x^i\\leq x^{n-1}$． 由三角不等式(2)，有   $\\begin{aligned}\\displaystyle|a_0+a_1x+\\cdots+a_{n-1}x^{n-1}|&\\leq\\sum_{i=0}^{n-1}|a_ix^i|\\\\&\\leq \\sum_{i=0}^{n-1}|a_ix^{n-1}|\\\\&<|a_nx^n|.\\end{aligned}$(3) 由此得 $a_0+a_1x+\\cdots+a_{n-1}x^{n-1}\\neq-a_nx^n$，移项便得 $a_0+a_1x+\\cdots+a_nx^n\\neq 0$． ■ 〔定理 4.2〕： 设 $p,\\,s\\in\\mathcal P(\\mathbb F)$，其中 $s\\neq 0$，则唯一存在 $q,\\,r\\in\\mathcal P(\\mathbb F)$ 使得 $p=sq+r$ 并且 $\\deg r<\\deg s$．(4) 〔证明〕： $n:=\\deg p,\\;m:=\\deg s$， 若 $n<m$，则令 $q=0$，则得到 $p=r$，从而 $\\deg r=n<m$，即为所求； 若 $n\\geq m$，定义线性变换 $T:\\mathcal P_{n-m}(\\mathbb F)\\times\\mathcal P_{m-1}(\\mathbb F)\\to\\mathcal P_{n}(\\mathbb F),\\quad (q,\\,r)\\mapsto sq+r$．若 $(q,\\,r)\\in\\ker T$，则 $sq+r=0$．由于 $\\deg r=m-1<m$，所以 $\\deg(sq+r)=\\deg(sq)=n\\geq m$，因此 $sq\\neq-r$，得 $q=r=0$，所以 $\\ker T=\\{(0,\\,0)\\}$，即 $\\dim\\ker T=0$，得证唯一性．由 Th. 3.16，有 $\\dim(\\mathcal P_{n-m}(\\mathbb F)\\times\\mathcal P_{m-1}(\\mathbb F))=(n-m+1)+(m-1+1)=n+1$，由秩–零化度定理便得 $\\dim\\operatorname{Im} T=n+1=\\dim\\mathcal P_n(\\mathbb F)$，因此 $\\operatorname{Im}(T)=\\mathcal P_n(\\mathbb F)$，得证存在性． ■ Factorizatio Polynomiorum 多项式因式分解〔定义〕： 对于某一多项式 $p\\in\\mathcal P(\\mathbb F)$，使得 $p(z)=0$ 成立的 $z\\in\\mathbb F$ 称为多项式的零点（zero）或根（root）． 若对于多项式 $s\\in\\mathcal P(\\mathbb F)$，存在多项式 $q\\in\\mathcal P(\\mathbb F)$ 满足 $p=sq$，则称 $s$ 是 $p$ 的因式（factor）（自然，$q$ 也是 $p$ 的因式）． 〔定理 4.3〕： 设 $p\\in\\mathcal P(\\mathbb F)$，$z\\in\\mathbb F$ ，则 $p(z)=0$ 当且仅当存在 $q\\in\\mathcal P(\\mathbb F)$，使得对任意 $x\\in\\mathbb F$ 均有 $p(x)=(x-z)q(x)$． 〔证明〕： 设存在这样的多项式 $q\\in\\mathcal P(\\mathbb F)$，则显然有 $p(z)=(z-z)q(z)=0$，完成单个方向的证明． 要证明其逆命题成立，设 $p(z)=0$．多项式 $x-z$ （关于 $x$）的次数为 $1$，由 Th. 4.2，唯一存在多项式 $q, r\\in\\mathcal P(\\mathbb F)$ 使得 $p(x)=(x-z)q(x)+r(x)$，并且 $\\dim r<\\dim (x-z)=1$，因此 $r\\in\\mathbb F$．由 $p(z)=0$ 便得 $r=0$，因此得证． ■ 〔定理 4.4〕： 设 $p\\in\\mathcal P(\\mathbb F)$，$n:=\\deg p$，则 $p$ 最多有 $n$ 个相异的根． 〔证明〕： 若 $n=0$ 则显然． 若 $n=1$，则存在 $a_0,\\,a_1\\in\\mathbb F$ 使得 $p(x)=a_0+a_1x$，此时唯一的根为 $-a_0/a_1$． 考虑 $n>1$ 的情况，若 $p$ 没有根，则完成证明；若 $z\\in\\mathbb F$ 是 $p$ 的一个根，则存在 $q\\in\\mathcal P(\\mathbb F)$ 使得对任意 $x\\in\\mathbb F$ 有 $p(x)=(x-z)q(x)$（Th. 4.3），显然 $\\deg q=n-1$，则 $p$ 的根为 $z$ 以及 $q$ 的所有根．据此由归纳法即得证． ■ 〔定理 4.5〕代数基本定理（fundamental theorem of algebra）： $\\mathbb C$ 上的任一非常值（即次数为正的）多项式均在 $\\mathbb C$ 中存在至少一个根． 该定理的证明需要涉及一定的分析学内容，在此略去． 〔定理 4.6〕： 若 $p\\in\\mathcal P(\\mathbb C)$ 是非常值多项式，则在不考虑因式顺序的前提下，如下形式是 $p$ 唯一的因式分解：   $p(x)=c(x-z_1)\\cdots(x-z_n)$， 其中 $c,\\,z_1,\\,\\cdots,\\,z_n\\in\\mathbb C$． 〔证明〕： 令 $p\\in\\mathcal P(\\mathbb C)$，$n:=\\deg p$． 若 $n=1$，则 $p$ 是常值函数，其因式分解是显然唯一存在的． 于是考虑 $n>1$ 的情况，由代数基本定理，$p$ 存在一个根 $z$，于是对任意 $x\\in\\mathbb C$，均存在一个多项式 $q\\in\\mathbb C$，使得   $p(x)=(x-z)q(x)$（Th. 4.3）， 其中 $\\deg q=n-1$，由归纳法即可得证所求因式分解形式的存在性． 再证唯一性．显然 $c$ 是 $x^n$ 项的系数，因此是唯一的．假设存在 $z_1,\\,\\cdots,\\,z_n\\in\\mathbb C$，又存在 $\\zeta_1,\\,\\cdots,\\,\\zeta_n\\in\\mathbb C$，使得对任意 $x\\in\\mathbb C$，   $(x-z_1)\\cdots(x-z_n)=(x-\\zeta_1)\\cdots(x-\\zeta_n)$． 当 $x=z_1$ 时，$\\zeta_1,\\,\\cdots,\\,\\zeta_n$ 必有其一等于 $z_1$，使得等式两侧为 $0$．此时可以令 $\\zeta_1=z_1$．在 $x\\neq z_1$ 的前提下，将等式两端约去 $x-z_1$，得到对任意 $x\\in\\mathbb C\\setminus\\{z_1\\}$，   $(x-z_2)\\cdots(x-z_n)=(x-\\zeta_2)\\cdots(x-\\zeta_n)$  （▲）． 将右侧移项，得   $(x-z_2)\\cdots(x-z_n)-(x-\\zeta_2)\\cdots(x-\\zeta_n)=0$， 对任意 $x\\in\\mathbb C\\setminus\\{z_1\\}$，以上等式均成立，因此左侧的多项式有无穷个相异的根，与 Th. 4.4 矛盾，因此（▲）对任意 $x\\in\\mathbb C$ 均成立．这便证明了对任意 $1\\leq i\\leq n$，$z_i\\equiv \\zeta_i$，即在不考虑顺序的情况下，因式分解是唯一的． ■ 〔定理 4.7〕： 设 $p\\in\\mathcal P(\\mathbb C)$ 是实系数多项式，若 $z\\in\\mathbb C$ 是 $p$ 的一个根，则 $\\overline z$ 也是 $p$ 的根． 〔证明〕： 令 $p(x)=a_0+a_1x+\\cdots+a_nx^n$，其中 $a_0,\\,a_1,\\,\\cdots,\\,a_n\\in\\mathbb R$． 设 $z\\in\\mathbb C$ 是一个根，则   $a_0+a_1z+\\cdots+a_nz^n=0$， 等式两侧同时取共轭，得到   $a_0+a_1\\overline z+\\cdots+a_n\\overline z^n=0$， 因此 $\\overline z$ 也是 $p$ 的根． ■ 〔定理 4.8〕： 设 $b,\\,c\\in\\mathbb R$，则当且仅当 $b^2\\geq 4c$，有如下的多项式因式分解：   $x^2+bx+c=(x-z_1)(x-z_2)$ 其中 $z_1,\\,z_2\\in\\mathbb R$． 〔证明〕： 注意到   $x^2+bx+c=\\left(x+\\dfrac b2\\right)^2+\\left(c-\\dfrac{b^2}4\\right)$（配方法）， 假设 $b^2<4c$，则等式右侧恒正，多项式 $x^2+bx+c$ 没有实数根而无法得到所需的因式分解． 反之，设 $b^2\\geq 4c$，则存在 $d\\in\\mathbb R$，使得 $d^2=b^2/4-c$，于是有   $x^2+bx+c=\\left(x+\\dfrac b2\\right)^2-d^2=\\left(x+\\dfrac b2+d\\right)\\left(x+\\dfrac b2-d\\right)$， 即为所求． ■ 〔定理 4.9〕： 若 $p\\in\\mathcal P(\\mathbb R)$ 是非常值多项式，则在不考虑因式顺序的前提下，如下形式是 $p$ 唯一的因式分解：   $p(x)=k(x-z_1)\\cdots(x-z_m)(x^2+b_1x+c_1)\\cdots(x^2+b_nx+c_n)$， 其中 $k,\\,z_1,\\,\\cdots,\\,z_m,\\,b_1,\\,\\cdots,\\,b_n,\\,c_1,\\,\\cdots,\\,c_n\\in\\mathbb R$，且对任意 $1\\leq i\\leq n$ 总有 $b_i^2<4c_i$． 〔证明〕： 将 $p$ 视为 $\\mathcal P(\\mathbb C)$ 的元素，若 $p$ 的所有复数根均为实数，则由 Th. 4.6 得证．于是假设 $p$ 有根 $z\\in\\mathbb C\\setminus\\mathbb R$，于是 $\\overline z$ 也是 $p$ 的根（Th. 4.7），于是存在 $q\\in\\mathcal P(\\mathbb C)$ 满足 $\\deg q=\\deg p-2$，并使得   $p(x)=(x-z)(x-\\overline z)q(x)=(x^2-2\\mathfrak R(z)+|z|^2)q(x)$． 在此基础上，若能证明 $q$ 是实系数的多项式，则由归纳法可说明对 $p$ 的任意一个根 $z$，因式 $x-z$ 出现于因式分解中当且仅当 $x-\\overline z$ 也出现（Th. 4.7）．欲证此，则考虑对于任意 $x\\in\\mathbb R$，   $q(x)=\\dfrac{p(x)}{x^2-2\\mathfrak R(z)+|z|^2}$， 这意味着 $\\forall\\;x\\in\\mathbb R,\\quad q(x)\\in\\mathbb R$，令   $q(x)=a_0+a_1x+\\cdots+a_{s-2}x^{s-2}$， 其中 $s:=\\deg p$，$a_0,\\,a_1,\\,\\cdots,\\,a_{s-2}\\in\\mathbb C$，则有   $\\mathfrak I(q(x))=\\mathfrak I(a_0)+\\mathfrak I(a_1)x+\\cdots+\\mathfrak I(a_{s-2})x^{s-2}=0$， 从而得到 $\\mathfrak I(a_0)=\\mathfrak I(a_1)=\\cdots=\\mathfrak I(a_{s-2})=0$，因此 $q$ 的系数均为实数，所以所需的因式分解存在． 对任意 $1\\leq i\\leq n$，$p$ 的因式 $x^2+b_ix+c_i$（$b_i^2<4c_i$）总能以某一 $z_i\\in\\mathbb C$ 唯一地表示为 $(x-z_i)(x-\\overline{z_i})$．所以 $p\\in\\mathcal P(\\mathbb R)$ 若有两种不同的因式分解，则 $p\\in\\mathcal P(\\mathbb C)$ 亦有两种不同的因式分解，与 Th. 4.6 矛盾． ■ Annotationes 注释 (1). 若使得 $a_i\\neq0$​ 满足的最大的 $i$​ 不是目前的 $n$​，只需将 $n$​ 的值变化． ↩ (2). 三角不等式（triangle inequality）：对任意复数 $x,\\,y$​ 均有 $|x+y|\\leq |x|+|y|$​． ↩ (3). 最后一步的详细解释，$|a_nx^n|=|a_n|x^{n-1}x=|a_n|x^{n-1}\\left(\\dfrac{\\sum_{i=1}^{n-1}|a_i|}{|a_n|}+1\\right)$​ $=|a_n|x^{n-1}+\\displaystyle\\sum_{i=0}^{n-1}|a_i|x^{n-1}>\\sum_{i=0}^{n-1}|a_i|x^{n-1}$​． ↩ (4). 这一定理可以类比为自然数的整除：对任意 $p,\\,s\\in\\mathbb N$，其中 $s\\neq 0$，唯一存在 $q,\\,r\\in\\mathbb N$ 使得 $p=sq+r$ 且 $r<s$．在此，$s$ 是整除的除数，$q$ 是整除的商，$r$ 是余数． ↩ ADJUVARE ME // 支持我: Nexus Aifadian // 爱发电赞助链接","categories":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/categoriae/Mathematica/"}],"tags":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Mathematica/"},{"name":"Algebra","slug":"Algebra","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra/"},{"name":"Algebra-Linearis","slug":"Algebra-Linearis","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra-Linearis/"}]},{"title":"De Algebra Lineari 03 // 线性代数笔记 〇三：线性变换","slug":"De-Algebra-Lineari-03","date":"2021-08-27T16:28:47.000Z","updated":"2022-02-25T16:53:07.927Z","comments":true,"path":"2021/08/28/De-Algebra-Lineari-03.html","link":"","permalink":"https://kotobasuke.github.io/2021/08/28/De-Algebra-Lineari-03","excerpt":"","text":"Transformationes Lineares 线性变换〔定义〕： 设 $V,\\;W$ 是向量空间，具有以下性质的映射 $T:V\\to W$ 称为从 $V$ 到 $W$ 的一个线性变换（linear transformation）或线性映射（linear map）： 可加性（additivity）：$\\forall\\; 𝒖,\\, 𝒗\\in V,\\quad T( 𝒖+ 𝒗)=T( 𝒖)+T( 𝒗)$； 齐次性（homogeneity）：$\\forall\\;k\\in\\mathbb F,\\; 𝒗\\in V,\\quad T(k 𝒗)=k\\cdot T( 𝒗)$． 〔记号〕： 从 $V$ 到 $W$ 的所有线性变换之集合记为 $\\mathcal L(V,\\,W)$． 〔定理 3.1〕： 设 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n$ 和 $ 𝒘_1,\\, 𝒘_2,\\,\\cdots,\\, 𝒘_n$ 分别是向量空间 $V$ 和 $W$ 的基，则唯一存在线性变换 $T:V\\to W$ 使得对任一 $1\\leq i\\leq n$，均有 $T( 𝒗_i)= 𝒘_i$． 〔证明〕： 定义 $T:V\\to W$ 使得对于任意 $c_1,\\,c_2,\\,\\cdots,\\,c_n\\in\\mathbb F$，有 $T(\\sum_{i=1}^n c_i 𝒗_i)=\\sum_{i=1}^n c_i 𝒘_i$，由于 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n$ 是 $V$ 的基，因此该映射是良定义的(1)．选择一个 $1\\leq j\\leq n$，使得 $c_j=1$，并使 $c_1,\\,c_2,\\,\\cdots,\\,c_n$ 中 $c_j$ 之外的数量均为 $0$，于是有 $T( 𝒗_j)= 𝒘_j$．不难验证这是一个线性变换． 又设 $T\\in\\mathcal L(V,\\,W)$，使得对于任一 $1\\leq i\\leq n$ 均有 $T( 𝒗_i)= 𝒘_i$．设 $c_1,\\,c_2,\\,\\cdots,\\,c_n\\in\\mathbb F$ ，有 $T(c_i 𝒗_i)= c_i 𝒘_i$，进而 $T(\\sum_{i=1}^n c_i 𝒗_i)=\\sum_{i=1}^n c_i 𝒘_i$．因此 $T$ 在 $\\mathrm{span}( 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n)$ 上可唯一定义，而 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n$ 是 $V$ 的基，因此这样的线性变换在 $V$ 上是唯一的． ■ 〔定义〕： 设 $S,\\,T\\in \\mathcal L(V,\\,W)$，$k\\in\\mathbb F$．定义 $S$ 与 $T$ 的和（加法）$S+T: 𝒗\\mapsto S( 𝒗)+T( 𝒗)$，以及 $k$ 与 $T$ 的积（数乘）$kT: 𝒗\\mapsto k\\cdot T( 𝒗)$． 不难证明如此定义的和与积均为线性变换． 〔定理 3.2〕： 按如上方法定义线性变换的加法与数乘，则对任意两个向量空间 $V$ 和 $W$，$\\mathcal L(V,\\,W)$ 总是向量空间． 证明略． 〔定义〕： 设 $S\\in\\mathcal L(V,\\,W)$，$T\\in\\mathcal L(U,\\,V)$，定义 $S$ 与 $T$ 的积 $ST: 𝒗\\mapsto S(T( 𝒗))$，即 $S$ 与 $T$ 的复合映射． 线性变换的积具有如下性质（证明略）： 结合律：设线性变换 $R\\in\\mathcal L(W,\\,X)$，$S\\in\\mathcal L(V, W)$，$T\\in\\mathcal L(U,\\,V)$ ，则有 $(RS)T=R(ST)$； 恒等变换：设 $T\\in\\mathcal L(V,\\,W)$，则有 $I_1T=TI_2=T$，其中 $I_1:W\\to W,\\quad 𝒙\\mapsto 𝒙$，$I_2:V\\to V,\\quad 𝒙\\mapsto 𝒙$； 分配律Ⅰ：设线性变换 $R,\\,S\\in\\mathcal L(V, W)$，$T\\in\\mathcal L(U, V)$，则有 $(R+S)T=RT+ST$； 分配律Ⅱ：设线性变换 $R\\in\\mathcal L(V,\\,W)$，$S,\\,T\\in\\mathcal L(U,\\,V)$，则有 $R(S+T)=RS+RT$． 〔定理 3.3〕： 对任一线性变换 $T\\in\\mathcal L(V,\\,W)$，恒有 $T( \\mathbf 0)= \\mathbf 0$． 证明显然． Spatia Nihili & Imagines 零空间与像〔定义〕： 设 $T\\in\\mathcal L(V,\\,W)$，所有会被 $T$ 映射为 $ \\mathbf 0$ （这里的 $\\mathbf 0$ 指的是 $W$ 中的零向量）的向量 $ 𝒗\\in V$ 所成集合，称为线性变换 $T$ 的零空间（null space）或核（kernel），记为 $\\ker T$，即   $\\ker T:=\\{ 𝒗\\in V\\mid T( 𝒗)=\\mathbf 0\\}$． 不难证明对任一从 $V$ 到 $W$ 的线性变换，其零空间均为 $V$ 的子空间． 〔定理 3.4〕： 设 $T\\in\\mathcal L(V,\\,W)$，$T$ 是单射当且仅当 $\\ker T=\\{\\mathbf 0\\}$． 〔证明〕： 设 $ 𝒗\\in\\ker T$，则 $\\ker( 𝒗)=\\mathbf 0=T(\\mathbf 0)$．由单射的性质，有 $ 𝒗=\\mathbf 0$． 反之，设 $\\ker T=\\{\\mathbf 0\\}$，又设 $ 𝒗,\\, 𝒘\\in V$ 满足 $T( 𝒗)=T( 𝒘)$．于是 $\\mathbf 0=T( 𝒗)-T( 𝒘)=T( 𝒗- 𝒘)$，进而 $ 𝒗= 𝒘$，得证 $T$ 是单射． 〔定义〕： 设 $T\\in\\mathcal L(V,\\,W)$，$ V$ 中所有向量 $ 𝒗$ 经过 $T$ 的映射后所得向量的集合，称为线性变换 $T$ 的像（image）或值域（range），记为 $\\operatorname{Im}T$，即   $\\operatorname{Im}T:=\\{T( 𝒗)\\mid 𝒗\\in V\\}$． 不难证明对任一从 $V$ 到 $W$ 的线性变换，其像均为 $W$ 的子空间． 〔定理 3.5〕秩–零化度定理（rank–nullity theorem）： 设 $V$ 是有限维向量空间，$T\\in\\mathcal L(V,\\,W)$，则 $T$ 的像是有限维的，并且   $\\dim V=\\dim \\ker T+\\dim \\operatorname{Im}T$． 〔证明〕(2)： 设 $ 𝒛_1,\\, 𝒛_2,\\,\\cdots,\\, 𝒛_m$ 是 $\\ker T$ 的基，即 $\\dim\\ker T=m$．通过添加 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n\\in V$，可以使向量组 $ 𝒛_1,\\,\\cdots,\\, 𝒛_m,\\, 𝒗_1,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n$ 成为 $V$ 的基，于是有 $\\dim V=m+n$． 令 $ 𝒗\\in V$．由于 $V=\\mathrm{span}( 𝒛_1,\\,\\cdots,\\, 𝒛_m,\\, 𝒗_1,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n)$，因此存在 $a_1,\\,\\cdots,\\,a_m,\\,b_1,\\,\\cdots,\\,b_n\\in\\mathbb F$，使得   $ 𝒗=a_1 𝒛_1+\\cdots+a_m 𝒛_m+b_1 𝒗_1+\\cdots+b_n 𝒗_n$． 由线性变换的性质可得   $T( 𝒗)=a_1T( 𝒛_1)+\\cdots+a_mT (𝒛_m)+b_1T( 𝒗_1)+\\cdots+b_nT( 𝒗_n)$， 并且因为 $ 𝒛_1,\\, 𝒛_2,\\,\\cdots,\\, 𝒛_m\\in\\ker T$，有   $T( 𝒗)=b_1T( 𝒗_1)+\\cdots+b_nT( 𝒗_n)$， 这说明了 $\\operatorname{Im}T=\\mathrm{span}(T( 𝒗_1),\\,T( 𝒗_2),\\cdots,\\,T( 𝒗_n))$，因此 $\\operatorname{Im}T$ 是有限维的． 又设 $c_1,\\,c_2,\\,\\cdots,\\,c_n\\in\\mathbb F$，使得   $c_1T( 𝒗_1)+c_2T( 𝒗_2)+\\cdots+c_nT( 𝒗_n)=\\mathbf 0$， 则有   $T(c_1 𝒗_1+c_2 𝒗_2+\\cdots+c_n 𝒗_n)=\\mathbf 0$， 这意味着 $c_1 𝒗_1+c_2 𝒗_2+\\cdots+c_n 𝒗_n\\in\\ker T$，由于 $ 𝒛_1,\\, 𝒛_2,\\,\\cdots,\\, 𝒛_m$ 是 $\\ker T$ 的基，因此存在 $d_1,\\,d_2,\\,\\cdots,\\,d_m\\in\\mathbb F$，使得 $\\sum_{i=1}^n c_i 𝒗_i=\\sum_{i=1}^m d_i 𝒛_i$，由于 $ 𝒛_1,\\,\\cdots,\\, 𝒛_m,\\, 𝒗_1,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n$ 线性无关（是 $V$ 的基），由此可推知 $c_1=\\cdots=c_n=d_1=\\cdots=d_m=0$，从而 $T( 𝒗_1),\\,T( 𝒗_2),\\,\\cdots,\\,T( 𝒗_n)$ 是 $\\operatorname{Im}T$ 的基，$\\dim \\operatorname{Im}T=n$． 综上有 $\\dim V=m+n=\\dim\\ker T+\\dim \\operatorname{Im}T$． ■ $\\dim \\operatorname{Im}T$ 称为线性变换 $T$ 的秩（rank），$\\dim\\ker T$ 称为线性变换 $T$ 的零化度（nullity）． 〔定理 3.6〕： 设 $V,\\;W$ 是有限维向量空间， 若 $\\dim V>\\dim W$，则所有从 $V$ 到 $W$ 的线性变换均非单射． 若 $\\dim V<\\dim W$，则所有从 $V$ 到 $W$ 的线性变换均非满射． 由秩–零化度定理立即得证． 〔定理 3.7〕： 变量数多于方程数的齐次线性方程组有非零解． 〔证明〕： 考虑 $m$ 个方程的 $n$ 元齐次方程组，记第 $i$ 个方程中变量 $x_k$ 的系数为 $c_{i,k}\\in\\mathbb F$，则方程组可写为   $\\left\\{\\begin{aligned}\\sum_{k=1}^n c_{1,k}x_k&=0,\\\\\\vdots\\\\\\sum_{k=1}^n c_{m,k}x_k&=0.\\end{aligned}\\right.$ 定义 $T:\\mathbb F^n\\to\\mathbb F^m$，满足 $T(x_1,\\,\\cdots,\\,x_n)=\\left(\\displaystyle\\sum_{k=1}^n c_{1,k}x_k,\\,\\cdots,\\,\\sum_{k=1}^n c_{m,k}x_k\\right)$，不难证明这是一个线性变换(3)．于是上述方程组可以写为 $T(x_1,\\,\\cdots,\\,x_n)=(0,\\,\\cdots,\\,0)=\\mathbf 0$（这里的 $\\mathbf 0$ 是 $m$ 维零向量）． 已知 $n>m$，则 $T$ 不是单射，因此 $\\ker T\\neq\\{\\mathbf 0\\}$（Th. 3.4），即意味着方程组有非零解． ■ 〔定理 3.8〕： 选择特定的常数项，可能使得方程数变量数多于的非齐次线性方程组无解． 〔证明〕： 考虑 $m$ 个方程的 $n$ 元非齐次方程组，记第 $i$ 个方程中变量 $x_k$ 的系数为 $c_{ik}\\in\\mathbb F$，常数项为 $b_i\\in\\mathbb F$，则方程组可写为   $\\left\\{\\begin{aligned}\\sum_{k=1}^n c_{1,k}x_k&=b_1,\\\\\\vdots\\\\\\sum_{k=1}^n c_{m,k}x_k&=b_m.\\end{aligned}\\right.$ 定义 $T:\\mathbb F^n\\to\\mathbb F^m$，满足 $T(x_1,\\,\\cdots,\\,x_n)=\\left(\\displaystyle\\sum_{k=1}^n c_{1,k}x_k,\\,\\cdots,\\,\\sum_{k=1}^n c_{m,k}x_k\\right)$，不难证明这是一个线性变换．于是上述方程组可以写为 $T(x_1,\\,\\cdots,\\,x_n)=(b_1,\\,\\cdots,\\,b_m)$． 已知 $n<m$，则 $T$ 不是满射，因此存在向量 $ 𝒃\\in\\mathbb F^m$ 使得不存在 $ 𝒙\\in\\mathbb F^n$ 满足 $T( 𝒙)= 𝒃$． ■ Matrices 矩阵〔定义〕： 设 $m,\\,n\\in\\mathbb Z^+$，$m$ 行 $n$ 列的矩阵（array），或称 $m\\times n$ 矩阵，是具有如下形式的矩形数组：   $ 𝑨=\\begin{bmatrix}\\;A_{1,1}&A_{1,2}&\\cdots&A_{1,n}\\;\\\\\\;A_{2,1}&A_{2,2}&\\cdots&A_{2,n}\\;\\\\\\;\\vdots&\\vdots &&\\vdots\\;\\\\\\;A_{m,1}&A_{m,2}&\\cdots&A_{m,n}\\;\\end{bmatrix} $． 今后默认以粗体字母表示矩阵（如 $ 𝑨,\\; 𝑩,\\; 𝑪$），对应的细体字母加以下标 $i,j$ 表示相应矩阵中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素（如 $ A_{1,2}$ 表示矩阵 $ 𝑨$ 第 $1$ 行第 $2$ 列的元素）． 矩阵的元素也称为项（entry）． 〔定义〕： 设 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n$ 是向量空间 $ \\mathbb F^n$ 的基，若对任一 $1\\leq i\\leq n$，基向量 $ 𝒗_i$ 满足以下条件：$ 𝒗_i$ 的第 $i$ 分量为 $1$，其余分量均为 $0$，则称之为 $\\mathbb F^n$ 的标准基（standard basis）． 对于多项式空间 $\\mathcal P_n(\\mathbb F)$ 的情况，则选定 $(1,\\,x,\\,x^2,\\,\\cdots,\\,x^n)$ 为其标准基．而 $\\mathcal P(\\mathbb F)$ 的标准基选定为 $(1,\\,x,\\,x^2,\\,x^3,\\,\\cdots)$． 〔定义〕： 设 $T\\in\\mathcal L(V,\\,W)$，$ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\, \\cdots,\\,𝒗_n$ 是 $V$ 的基，$ 𝒘_1,\\, 𝒘_2,\\,\\cdots,\\, 𝒘_m$ 是 $W$ 的基．设 $ 𝑨$ 是一个 $m\\times n$ 矩阵，其中元素满足如下定义：   $T( 𝒗_k)= A_{1,k} 𝒘_1+ A_{2,k} 𝒘_2+\\cdots+A_{m,k} 𝒘_m$，其中 $1\\leq k\\leq n$， 如此定义的矩阵称为线性变换 $T$ 在相应的基中对应的矩阵，记为 $\\mathcal M(T,\\,( 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\, \\cdots,\\,𝒗_n),\\,( 𝒘_1,\\, 𝒘_2,\\,\\cdots,\\, 𝒘_m))$．特别地，在基明确的情况下（如果是 $\\mathbb F^n$，通常是标准基）简称之为线性变换 $T$ 的矩阵，记为 $\\mathcal M(T)$． 〔例〕： 设线性变换 $T:\\mathbb F^2\\to\\mathbb F^3,\\quad(x,\\,y)\\mapsto(x+3y,\\,2x+5y,\\,8y)$，则 $\\mathcal M(T)=\\begin{bmatrix}\\;1&3\\;\\\\\\;2&5\\;\\\\\\;0&8\\;\\end{bmatrix}$． 设线性变换 $D:\\mathcal P_3(\\mathbb R)\\to \\mathcal P_2(\\mathbb R),\\quad p\\mapsto p’$（$p’$ 为 $p$ 的导数），则 $\\mathcal M(D)=\\begin{bmatrix}\\;0&1&&\\;\\\\\\;0&&2&\\;\\\\\\;0&&&3\\;\\end{bmatrix}$． 设 $S,\\,T\\in\\mathcal L(V,\\,W) $，则 $\\mathcal M(S+T)=\\mathcal M(S)+\\mathcal M(T)$． 设 $T\\in\\mathcal L(V,\\,W)$，$k\\in\\mathbb F$，则 $\\mathcal M(kT)=k\\mathcal M(T)$．(4) 设 $S\\in\\mathcal L(V,\\,W)$，$T\\in\\mathcal L(U,\\,V)$，则 $\\mathcal M(ST)=\\mathcal M(S)\\mathcal M(T)$． 〔定理 3.9〕： $\\dim \\mathbb F^{m,n}=mn$，其中 $\\mathbb F^{m,n}$ 指 $\\mathbb F$ 上 $m\\times n$ 的矩阵集合（不难证明这是一个向量空间）． 证明略． 〔定义〕： $1\\times n$ 的矩阵称为 $n$ 维的行向量（row vector），$n\\times 1$ 的矩阵称为 $n$ 维的列向量（column vector）．(5) 今后将矩阵 $ 𝑨$ 中第 $i$ 行的行向量记为 $ 𝑨_{i\\ast}$，第 $j$ 列的列向量记为 $ 𝑨_{\\mathcal \\ast j}$． Invertibilitas 可逆性〔定义〕： 设 $T\\in\\mathcal L(V,\\,W)$，若存在 $S\\in\\mathcal L(W,\\,V)$ 使得 $ST$ 是 $W$ 上的恒等映射，$TS$ 是 $V$ 上的恒等映射，则称 $T$ 是可逆（invertible）的，而 $S$ 是线性变换 $T$ 的逆（inverse），记为 $T^{-1}$． 不难证明，任一可逆的线性变换的逆是唯一的． 〔定理 3.10〕： 线性变换可逆当且仅当它是双射． 〔证明〕： 设 $T\\in\\mathcal L(V,\\,W)$． 先设 $T$ 可逆，$S:=T^{-1}$，$ 𝒗_1,\\, 𝒗_2\\in V $，使得 $T( 𝒗_1)=T( 𝒗_2)$，则 $ 𝒗_1=ST( 𝒗_1)=ST( 𝒗_2)= 𝒗_2$，因此 $T$ 是单射．设 $ 𝒘\\in W$，则恒有 $TS( 𝒘)= 𝒘$，意味着 $\\operatorname{Im}T=W$，因此 $T$ 是满射．综上，$T$ 是双射． 反之，设 $T$ 是双射．设映射 $S:W\\to V$，使得对任意 $ 𝒘\\in W$，都有 $S( 𝒘)\\in V$，使得 $T(S( 𝒘))= 𝒘$（$T$ 是双射，因此保证了这样的映射唯一存在）．于是 $TS$ 是 $W$ 上的恒等映射．又因为对任意 $ 𝒗\\in V$，具有 $T(ST( 𝒗))=(TS)(T( 𝒗))=T( 𝒗)$，所以 $ST$ 是 $V$ 上的恒等映射．不难证明 $S$ 是线性变换，由此便得证 $T$ 是可逆的，$S=T^{-1}$． ■ Spatia Vectorum Isomorphica 同态向量空间〔定义〕： 从 $V$ 到 $W$ 的可逆线性变换称为从 $V$ 到 $W$ 的一个同构映射，简称同构（isomorphism）． 若存在从 $V$ 到 $W$ 的同构映射，则称这两个向量空间同构（isomorphic），记为 $V\\cong W$． 〔定理 3.11〕： $\\mathbb F$ 上的任意两个有限维向量空间 $V$ 和 $W$ 同构当且仅当 $\\dim V=\\dim W$． 〔证明〕： 设 $V$ 和 $W$ 同构，则存在同构映射 $T:V\\to W$．$T$ 是可逆的，因此 $\\ker T=\\{\\mathbf 0\\}$，$\\operatorname{Im}T=W$．由秩–零化度定理，有 $\\dim V=\\dim \\ker T+\\dim \\operatorname{Im}T=0+\\dim W=\\dim W$，得证． 反之，设 $\\dim V=\\dim W=:n$．设 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots ,𝒗_n$ 是 $V$ 的基，$ 𝒘_1,\\, 𝒘_2,\\,\\cdots,\\, 𝒘_n$ 是 $W$ 的基．设线性变换 $T:V\\to W,\\quad \\sum_{i=1}^n c_i 𝒗_i\\mapsto \\sum_{i=1}^n c_i 𝒘_i$，其中对任意 $1\\leq i\\leq n$ 有 $c_i\\in\\mathbb F$．由于 $ 𝒘_1,\\, 𝒘_2,\\,\\cdots,\\, 𝒘_n$ 是 $W$ 的基，因此 $\\operatorname{Im}T=W$，即 $T$ 是满射，并且 $\\ker T=\\{\\mathbf 0\\}$，即 $T$ 是单射．进而 $T$ 是双射，即 $T$ 是 $V$ 到 $W$ 的同构映射，得证 $V\\cong W$． 〔定理 3.12〕： 设 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n=:B_V$ 是向量空间 $V$ 的基，$ 𝒘_1,\\, 𝒘_2,\\,\\cdots,\\, 𝒘_m=:B_W$ 是向量空间 $W$ 的基．则 $\\mathcal L(V,\\,W)\\cong\\mathbb F^{m,n}$，且 $M:\\mathcal L(V,\\,W)\\to \\mathbb F^{m,n},\\quad T\\mapsto\\mathcal M(T,\\,B_V,\\,B_W)$ 是从 $\\mathcal L(V,\\, W)$ 到 $\\mathbb F^{m,n}$ 的一个同构映射． 〔证明〕： 显然 $M$ 是线性变换．若 $T\\in\\mathcal L(V,\\,W)$ 且 $M(T)= 𝑶$，则对任意 $1\\leq k\\leq n$，总有 $T( 𝒗_k)=\\mathbf 0$．由于 $B_V$ 线性无关，因此 $T=0$(6)．由此，$M$ 是单射． 欲证 $M$ 为满射，设 $ 𝑨\\in\\mathbb F^{m,n}$，令线性变换 $T\\in\\mathcal L(V,\\,W)$ 满足   $\\displaystyle T( 𝒗_k)=\\sum_{i=1}^m A_{i,k} 𝒘_i,\\quad\\forall\\;1\\leq k\\leq n$， 显然 $M(T)= 𝑨$，从而 $\\operatorname{Im}M=\\mathbb F^{m,n}$，因此 $M$ 是满射． 综上，$M$ 是从 $\\mathcal L(V,\\, W)$ 到 $\\mathbb F^{m,n}$ 的一个同构映射，$\\mathcal L(V,\\,W)\\cong\\mathbb F^{m,n}$ ■ 〔定理 3.13〕： 设 $V,\\;W$ 是有限维向量空间，则 $\\mathcal L(V,\\,W)$ 亦为有限维向量空间，且   $\\dim\\mathcal L(V,\\,W)=(\\dim V)(\\dim W)$． 由 Th. 3.9，Th. 3.11，Th. 3.12 即得证． Transformationes Lineares & Multiplicatio Matricum线性变换与矩阵乘法〔定义〕向量的矩阵表示： 设向量空间 $V$，$ 𝒗\\in V$，且 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_m=:B_V$ 是 $V$ 的基．向量 $ 𝒗$ 关于这个基的矩阵是一个 $n$ 维列向量，记为 $\\mathcal M( 𝒗,\\,B_V)$，在基明确的情况下简记为 $\\mathcal M( 𝒗)$． 设 $c_1,\\,c_2,\\,\\cdots,\\,c_m\\in\\mathbb F$ 满足 $ 𝒗=\\sum_{i=1}^m c_i 𝒗_i$，则   $ \\mathcal M( 𝒗)=\\begin{bmatrix}\\;c_1\\;\\\\\\;c_2\\;\\\\\\vdots\\;\\\\\\;c_m\\;\\end{bmatrix}$． 设 $T\\in\\mathcal L(V,\\, W)$，且 $ 𝒘_1,\\, 𝒘_2,\\,\\cdots,\\, 𝒘_n=:B_W$ 是 $W$ 的基，则 $ \\mathcal M(T)_{\\ast k}=\\mathcal M( 𝒗_k,\\,B_W),\\quad \\forall\\;1\\leq k\\leq n$． 〔定理 3.14〕： 设向量空间 $V$ 和 $W$ 的基分别为 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_m$ 和 $ 𝒘_1,\\, 𝒘_2,\\,\\cdots,\\, 𝒘_m$．又设 $T\\in\\mathcal L(V,\\, W)$，$ 𝒗\\in V$．于是   $\\mathcal M(T( 𝒗))=\\mathcal M(T)\\mathcal M( 𝒗)$． 〔证明〕： 设 $ c_1,\\,c_2,\\,\\cdots,\\,c_m\\in\\mathbb F$ 使得 $ 𝒗=\\sum_{i=1}^m c_i 𝒗_i$，于是   $\\displaystyle T( 𝒗)=\\sum_{i=1}^m c_iT( 𝒗_i)$， 从而由线性变换的性质有   $\\begin{aligned}\\mathcal M(T( 𝒗))&=\\sum_{i=1}^m c_i\\mathcal M(T( 𝒗_i))\\\\&=\\sum_{i=1}^m c_i\\mathcal M(T)_{\\ast i}\\\\&=\\mathcal M(T)\\mathcal M( 𝒗).\\end{aligned}$ ■ Operatores 算子〔定义〕： 从向量空间 $V$ 到自身的线性变换 $T$ 称为向量空间 $V$ 上的线性算子（linear operator）(7)或简称算子（operator）．$V$ 上算子的集合记为 $\\mathcal L(V)$，即 $\\mathcal L(V):=\\mathcal L(V,\\,V)$． 〔定理 3.15〕： 设 $V$ 是有限维向量空间，$T\\in\\mathcal L(V)$，以下命题等价：  $T$ 可逆；  $T$ 是单射；  $T$ 是满射． 〔证明〕： 显然 (1.) $\\Rightarrow$ (2.)． 设 (2.) 成立，则 $\\ker T=\\{\\mathbf 0\\}$．由秩–零化度定理，$\\dim V=\\dim \\operatorname{Im}T-\\dim \\ker T=\\dim \\operatorname{Im}T$，因此 $\\operatorname{Im}T=V$，即 $T$ 是满射．得证 (2.) $\\Rightarrow$ (3.)． 设 (3.) 成立，则 $\\operatorname{Im}T=V$，同理有 $\\dim\\ker T=\\dim \\operatorname{Im}T-\\dim V=0$，于是 $\\ker T=\\{\\mathbf 0\\}$，即 $T$ 是单射，而 $T$ 也是满射，所以 $T$ 可逆．得证 (3.) $\\Rightarrow$ (1.)． ■ Producta Quotientesque Spatiorum Vectorum 向量空间的积与商〔定义〕： 设 $V_1,\\,V_2,\\,\\cdots,\\,V_n$ 是 $\\mathbb F$ 上的向量空间，   $V_1\\times V_2\\times\\cdots\\times V_n:=\\{( 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n)\\mid 𝒗_i\\in V_i,\\;\\forall\\;1\\leq i\\leq n\\}$ 称为这些向量空间的积（product）．(8) 向量空间的积也是向量空间（加法与数乘的定义与一般的列表一致）． 〔定理 3.16〕： 设 $V_1,\\,V_2,\\,\\cdots,\\,V_n$ 是有限维向量空间，则   $\\displaystyle\\dim(V_1\\times V_2\\times\\cdots\\times V_n)=\\sum_{i=1}^n \\dim V_i$． 证明略． 〔定理 3.17〕： 设 $U_1,\\,U_2,\\,\\cdots,\\,U_n$ 是向量空间 $V$ 的子空间，定义线性变换   $\\varGamma:U_1\\times\\cdots\\times U_n\\to U_1+\\cdots+U_n,\\quad$ $( 𝒖_1,\\,\\cdots,\\, 𝒖_n)\\mapsto 𝒖_1+\\cdots+ 𝒖_n$， 则 $U_1+\\cdots+U_n$ 是直和，当且仅当 $\\varGamma$ 是单射． 由 Th. 3.4 与 Th. 1.6（直和判定条件）即得证． 〔定理 3.18〕： 设 $U_1,\\,U_2,\\,\\cdots,\\,U_n$ 是有限维向量空间 $V$ 的子空间，则 $U_1+\\cdots+U_n$ 是直和，当且仅当   $\\displaystyle\\dim(U_1+\\cdots+U_n)=\\sum_{i=1}^n\\dim U_i$． 〔证明〕： 定义线性变换   $\\varGamma:U_1\\times\\cdots\\times U_n\\to U_1+\\cdots+U_n,\\quad$ $( 𝒖_1,\\,\\cdots,\\, 𝒖_n)\\mapsto 𝒖_1+\\cdots+ 𝒖_n$， 不难得知 $\\varGamma$ 是满射．由秩–零化度定理，当且仅当 $\\varGamma$ 是单射，   $\\dim(U_1\\times\\cdots\\times U_n)=\\dim (U_1+\\cdots+U_n)$， 由 Th. 3.16 与 Th. 3.17 即得证． ■ 〔定义〕： 设 $V$ 是向量空间，$ 𝒗\\in V$，$U$ 是其子空间．   $ 𝒗+U:=\\{ 𝒗+ 𝒖\\mid 𝒖\\in U\\}$． 这样的集合称为 $V$ 的仿射子集（affine subset），并且称仿射子集 $ 𝒗+U$ 平行（parallel）于子空间 $U$． 〔定义〕： 设 $U$ 是向量空间 $V$ 的子空间，$V$ 中所有平行于 $U$ 的仿射子集所成集合称为 $V$ 对于 $U$ 的商空间（quotient space），记为 $V/U$(9)．即   $V/U:=\\{ 𝒗+U\\mid 𝒗\\in V\\}$． 〔定理 3.19〕： 设 $U$ 是向量空间 $V$ 的子空间，$ 𝒗,\\, 𝒘\\in V$，则以下命题等价：  $ 𝒗- 𝒘\\in U$；  $ 𝒗+U= 𝒘+U$；  $( 𝒗+U)\\cap( 𝒘+U)\\neq\\varnothing$． 〔证明〕(10)： 设 (1.) 成立，则设 $ 𝒖\\in U$，$ 𝒗+ 𝒖= 𝒘+(( 𝒗- 𝒘)+ 𝒖)\\in 𝒘+U$，得 $ 𝒗+U\\subseteq 𝒘+U$，同理又可得 $ 𝒘+U\\subseteq 𝒗+U$，于是得证 $ 𝒗+U= 𝒘+U$，即 (1.) $\\Rightarrow$ (2.)． (2.) $\\Rightarrow$ (3.) 显然． 设 (3.) 成立，则存在 $ 𝒖_1,\\, 𝒖_2\\in U$，使得 $ 𝒗+ 𝒖_1= 𝒘+ 𝒖_2$，于是 $ 𝒗- 𝒘= 𝒖_2- 𝒖_1\\in U$，得证 (3.) $\\Rightarrow$ (1.)． ■ 〔定义〕： 设 $U$ 是向量空间 $V$ 的子空间，商空间 $V/U$ 上的加法和数乘定义如下：   $ \\begin{aligned}(𝒗+U)+( 𝒘+U)&:=( 𝒗+ 𝒘)+U,\\\\k( 𝒗+U)&:=k 𝒗+U,\\phantom{\\dfrac00}\\end{aligned}$ 其中 $ 𝒗,\\, 𝒘\\in V$，$k\\in\\mathbb F$． 不难证明，这两个运算是良定义的，且任一商空间对于如此定义的加法与数乘均为向量空间．$V/U$ 上的加法单位元（零向量）是 $U$． 〔定义〕： 设 $U$ 是向量空间 $V$ 的子空间，线性变换 $\\pi:V\\to V/U,\\quad 𝒗\\mapsto 𝒗+U$ 称为商映射（quotient map）． 〔定理 3.20〕： 设 $U$ 是有限维向量空间 $V$ 的子空间，则   $\\dim(V/U)=\\dim V-\\dim U$． 〔证明〕： 设商映射 $\\pi:V\\to V/U$，则 $\\ker\\pi= U$，而显然 $\\pi(V)=V/U$，由秩–零化度定理，   $\\dim V=\\dim \\operatorname{Im}\\pi+\\dim \\ker\\pi=\\dim(V/U)+\\dim U$． ■ 〔记号〕： 设 $T\\in\\mathcal L(V,\\,W)$，则记 $\\tilde T: V/\\ker T\\to W,\\quad 𝒗+\\ker T\\mapsto T( 𝒗)$． 不难证明该映射是良定义的． 〔定理 3.21〕： 设 $T\\in\\mathcal L(V,\\,W)$，则  $\\tilde T$ 是线性变换；  $\\tilde T$ 是单射；  $\\operatorname{Im}T=\\operatorname{Im}\\tilde T$；  $V/\\ker T\\cong \\operatorname{Im}T$． 〔证明〕： (1.) 略． (2.)： 设 $ 𝒗\\in V$，且 $\\tilde T( 𝒗+\\ker T)=\\mathbf 0$，则 $T( 𝒗)=\\mathbf 0$．由此则 $ 𝒗\\in\\ker T$，所以 $ 𝒗+\\ker T=\\ker T$（Th. 3.19），于是 $ \\ker \\tilde T=\\ker T$（$\\ker T$ 是 $V/\\ker T$ 上的零向量），则可知 $\\tilde T$ 是单射． (3.) 依定义显然． (4.)： 考虑 $\\tilde T$ 为 $V/\\ker T$ 到 $\\operatorname{Im}T$ 的映射，而由 (2.) (3.) 可知 $\\tilde T$ 是双射，因此 $\\tilde T$ 是 $V/\\ker T$ 到 $\\operatorname{Im}T$ 的同构，即得 $V/\\ker T\\cong \\operatorname{Im}T$． ■ Dualitas 对偶〔定义〕： 从向量空间 $V$ 到域 $\\mathbb F$ 的线性变换称为 $V$ 上的线性泛函（linear functional），即 $\\mathcal L(V,\\,\\mathbb F)$ 的元素． 〔定义〕： 向量空间 $V$ 的对偶空间（dual space）是 $V$ 上所有线性泛函的集合，记为 $V’$，即 $V’:=\\mathcal L(V,\\,\\mathbb F)$． 显然地，$\\dim V’=\\dim V$． 〔定义〕： 设 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n$ 是向量空间 $V$ 的基，则这个基的对偶基（dual basis）是 $V’$ 上的向量组 $ 𝝋_1,\\,𝝋_2,\\,\\cdots,\\,𝝋_n$，其中各个元素 $𝝋_i\\quad(1\\leq i\\leq n)$ 是满足以下条件的线性泛函：   $\\forall\\;1\\leq i\\leq n,\\;1\\leq\\,j\\leq n,\\quad𝝋_i( 𝒗_j)=\\left\\{\\begin{aligned}1,\\quad i=j,\\\\0,\\quad i\\neq j.\\end{aligned}\\right.$ 不难证明，$V$ 上任一个基的对偶基确实为 $V’$ 上的一个基． 〔定义〕： 若 $T\\in\\mathcal L(V,\\,W)$，线性变换 $T’:W’\\to V’,\\quad 𝝋\\mapsto 𝝋T$ 称为 $T$ 的对偶变换（dual transformation）或对偶映射（dual map），记为 $T’$． $\\forall\\;S,\\,T\\in\\mathcal L(V,\\,W),\\quad S’+T’=(S+T)’$． $\\forall\\;T\\in\\mathcal L(V,\\,W),\\;k\\in\\mathbb F,\\quad (kT)’=kT’$． $\\forall\\;S\\in\\mathcal L(V,\\,W),\\;T\\in\\mathcal L(U,\\,V),\\quad (ST)’=T’S’$．(11) 〔定义〕： 设 $U$ 是向量空间 $V$ 的子集，则 $\\{ 𝝋\\in V’\\mid 𝝋( 𝒖)=0,\\;\\forall\\; 𝒖\\in U\\}$ 称为 $U$ 的零化子（annihilator），记为 $U^0$． 不难证明 $U^0$ 是 $V’$ 的子空间，其零向量为零线性泛函，即 $ 𝒗\\mapsto 0$ 的映射． 〔定理 3.22〕： 设 $V$ 是有限维向量空间，$U$ 是其子空间，则   $\\dim U+\\dim U^0=\\dim V$． 〔证明〕： 设线性变换 $I:U\\to V,\\quad 𝒖\\mapsto 𝒖$，则 $I’$ 是从 $V’$ 到 $U’$ 的线性变换，由秩–零化度定理，有   $\\dim V’=\\dim\\ker I’+\\dim \\operatorname{Im}I’$， 由定义，$\\ker I’=U^0$．而由于 $\\dim V’=\\dim V$，因此有   $\\dim V=\\dim U^0+\\dim \\operatorname{Im}I’$． 设 $ 𝝋\\in U’$，则 $ 𝝋$ 是从 $U$ 到 $\\mathbb F$ 的泛函．由于 $U\\subseteq V$，则必然存在一个泛函 $ 𝝍\\in V’$ 使得对任意 $ 𝒖\\in U$ 均有 $ 𝝋( 𝒖)= 𝝍( 𝒖)$，而 $I’( 𝝍)= 𝝍I= 𝝋$，因此 $ 𝝋\\in \\operatorname{Im}I’$，得 $\\operatorname{Im}I’=U’$，因此 $\\dim \\operatorname{Im}I’=\\dim U’=\\dim U$，得   $\\dim V=\\dim U^0+\\dim U$． ■ 〔定理 3.23〕： 设 $V,\\;W$ 是有限维向量空间，$T\\in\\mathcal L(V,\\,W)$，则  $\\ker T’=(\\operatorname{Im}T)^0$；  $\\dim\\ker T’=\\dim\\ker T+\\dim W-\\dim V$． 〔证明〕： (1.)： 设 $ 𝝋\\in\\ker T’$，则 $T’( 𝝋)= 𝝋T=\\mathbf 0$（此处的 $\\mathbf 0$ 是 $V’$ 中的零线性泛函），于是对任意 $ 𝒗\\in V$，   $(T’( 𝝋))( 𝒗)= 𝝋T( 𝒗)= 𝝋(T( 𝒗))=0$， 得 $ 𝝋\\in(\\operatorname{Im}T)^0$，这意味着 $\\ker T’\\subseteq(\\operatorname{Im}T)^0$． 又设 $ 𝝍\\in(\\operatorname{Im}T)^0$，则对任意 $ 𝒗\\in V$，均有 $ 𝝍(T( 𝒗))=0= 𝝍T( 𝒗)$，所以 $ 𝝍T=T’( 𝝍)=\\mathbf 0$，得 $ 𝝍\\in\\ker T’$，这意味着 $(\\operatorname{Im}T)^0\\subseteq\\ker T’$．得证 $\\ker T=(\\operatorname{Im}T)^0$． (2.)： $\\dim\\ker T’=\\dim(\\operatorname{Im}T)^0=\\dim W-\\dim\\operatorname{Im}T$（Th. 3.22）$=\\dim W-(\\dim V-\\dim\\ker T)=\\dim\\ker T+\\dim W-\\dim V$． ■ 〔定理 3.24〕： 设 $V,\\;W$ 是有限维向量空间，$T\\in\\mathcal L(V,\\,W)$，则 $T$ 是满射当且仅当 $T’$ 是单射． 〔证明〕： $T$ 是满射 $\\Leftrightarrow\\operatorname{Im} T=W$ $\\Leftrightarrow (\\operatorname{Im}T)^0=\\{\\mathbf 0\\}$（$\\mathbf 0$ 是 $W$ 上的零线性泛函）$\\Leftrightarrow \\ker T’=\\{\\mathbf 0\\}$ $\\Leftrightarrow$ $T’$ 是单射． ■ 〔定理 3.25〕： 设 $V,\\;W$ 是有限维向量空间，$T\\in\\mathcal L(V,\\,W)$，则 $\\dim\\operatorname{Im}T’=\\dim\\operatorname{Im}T$； $\\operatorname{Im}T’=(\\ker T)^0$． 〔证明〕： (1.)： 由秩–零化度定理，有   $\\dim\\operatorname{Im}T’=\\dim W’-\\dim\\ker T’$， $\\dim W’=\\dim W$，并且由 Th. 3.23，有   $\\dim\\operatorname{Im}T’=\\dim W-\\dim(\\operatorname{Im}T)^0$， 由 Th. 3.22，得   $\\dim\\operatorname{Im}T’=\\dim\\operatorname{Im}T$． (2.)： 设 $𝝋\\in\\operatorname{Im}T’$，则存在 $ 𝝍\\in W’$ 使得 $ 𝝋=T’( 𝝍)$． 若 $ 𝒗\\in\\ker T$，则   $ 𝝋( 𝒗)=(T’( 𝝍))( 𝒗)=( 𝝍T)( 𝒗)= 𝝍(T( 𝒗))= 𝝍(\\mathbf 0)=0$， 因此 $ 𝝋\\in(\\ker T)^0$，即得 $\\operatorname{Im}T’\\subseteq(\\ker T)^0$． 又由 (1.) 有 $\\dim\\operatorname{Im}T’=\\dim\\operatorname{Im}T=\\dim V-\\dim\\ker T=\\dim(\\ker T)^0$． 即得证了 $\\operatorname{Im}T’=(\\ker T)^0$． ■ 〔定理 3.26〕： 设 $V,\\;W$ 是有限维向量空间，$T\\in\\mathcal L(V,\\,W)$，则 $T$ 是单射当且仅当 $T’$ 是满射． 〔证明〕： $T$ 是单射 $\\Leftrightarrow \\ker T=\\{\\mathbf 0\\}$ $\\Leftrightarrow (\\ker T)^0=V’=\\operatorname{Im}T’$（Th. 3.25）$\\Leftrightarrow$ $T’$ 是满射． ■ Transpositae Matricum 矩阵的转置〔定义〕： 设矩阵 $ 𝑨,\\; 𝑩$，若 $ 𝑩$ 的元素满足 $B_{j,\\,i}=A_{i,\\,j}$， 则称 $ 𝑩$ 为 $ 𝑨$ 的转置（transpose），记为 $ 𝑨^{\\mathsf T}$． 对任意矩阵 $ 𝑨 ,\\;𝑪$，均有 $ ( 𝑨 𝑪)^{\\mathsf T}= 𝑪^{\\mathsf T} 𝑨^{\\mathsf T}$，证明略． 〔定理 3.27〕： 设 $T\\in\\mathcal L(V,\\,W)$，则 $\\mathcal M(T’)=\\mathcal M^{\\mathsf T}(T)$(12)． 〔证明〕： $ 𝑨:=\\mathcal M(T’)$，$ 𝑪:=\\mathcal M^{\\mathsf T}(T)$．设 $1\\leq j\\leq m$，$1\\leq k\\leq n$． 设 $ 𝒗_1,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n$ 是 $V$ 的基，$ 𝝋_1,\\,\\cdots,\\, 𝝋_n$ 是其对偶基；$ 𝒘_1,\\,\\cdots,\\, 𝒘_m$ 是 $W$ 的基，$ 𝝍_1,\\,\\cdots,\\, 𝝍_m$ 是其对偶基． 由 $\\mathcal M(T’)$ 的定义，有   $\\displaystyle T’( 𝝍_j)= 𝝍_jT=\\sum_{r=1}^n C_{r,j} 𝝋_r$， 于是   $\\displaystyle 𝝍_jT( 𝒗_k)=\\sum_{r=1}^n C_{r,j} 𝝋_r( 𝒗_k)=C_{k,j}$（根据对偶基的定义）． 又有    $\\displaystyle 𝝍_jT( 𝒗_k)= 𝝍_j(T( 𝒗_k))= 𝝍_j\\left(\\sum_{r=1}^m A_{r,k} 𝒘_r\\right)$ $\\displaystyle=\\sum_{r=1}^m A_{r,k} 𝝍_j(𝒘_r)=A_{j,k}$． 综上便得到 $A_{j,k}=C_{k,j}$，所以 $ 𝑪= 𝑨^{\\mathsf T}$． ■ Gradus Matricis 矩阵的秩〔定义〕： 设 $ 𝑨\\in\\mathbb F^{m,n}$，则其各列向量生成空间的维数称为矩阵的列秩（column rank），各行向量生成空间的维数称为矩阵的行秩（row rank）． 线性变换的像的维度等于其对应矩阵的列秩． 〔定理 3.28〕： 对任一矩阵 $𝑨\\in\\mathbb F^{m,n}$，其行秩等于列秩． 〔证明〕： 记任一矩阵 $ 𝑴$ 的行秩和列秩分别为 $\\mathrm{rr}( 𝑴)$ 和 $\\mathrm{cr}( 𝑴)$． 设线性变换 $T:\\mathbb F^{n,1}\\to\\mathbb F^{m,1},\\quad 𝒙\\mapsto 𝑨 𝒙$，即 $\\mathcal M(T)= 𝑨$（基为标准基），于是   $\\mathrm{cr}( 𝑨)=\\mathrm{cr}( \\mathcal M( 𝑨))=\\dim\\operatorname{Im}T$ $=\\dim\\operatorname{Im}T’=\\mathrm{cr}(\\mathcal M(T’))=\\mathrm{cr}( 𝑨^{\\mathsf T})=\\mathrm{rr}( 𝑨)$． ■ 由此，通常将行秩和列秩一并称为矩阵的秩（rank），矩阵 $ 𝑨$ 的秩记为 $ \\operatorname{rank}𝑨$． Annotationes 注释 (1). 即对任意 $ 𝒂,\\, 𝒃\\in V$​，均有 $ 𝒂= 𝒃\\Rightarrow T( 𝒂)=T( 𝒃)$​． ↩ (2). 也可以从抽象代数的角度，以同态基本定理证明此定理．事实上，该定理是同态基本定理在线性空间上的表现形式． ↩ (3). 列表的加法定义如：$(x_1,\\,\\cdots,\\,x_n)+(y_1,\\,\\cdots,\\,y_n):=(x_1+y_1,\\,\\cdots,\\,x_n+y_n)$​​，数乘定义如：$k(x_1,\\,\\cdots,\\,x_n):=(kx_1,\\,\\cdots,\\,kx_n)$​​，其中 $k\\in\\mathbb F$​​． ↩ (4). 以上两条说明 $\\mathcal M$ 是从 $\\mathcal L(V,\\,W)$ 到 $\\mathbb F^{m,n}$ 的线性变换． ↩ (5). 言及“行（列）向量”的时候本质上是视之为一类特殊的矩阵，而这样的矩阵可以作为向量空间中向量的表记形式． ↩ (6). 更详细而言，$T:V\\to W,\\quad 𝒗\\mapsto\\mathbf 0$． ↩ (7). “线性算子”（linear operator）没有固定的定义，在不同的资料中会有所差异（并且常常作为“线性变换”的同义词）．此处采用《Linear Algebra Done Right》中的定义． ↩ (8). 本质上即集合的直积（direct product）或称 Descartes 积（Cartesian product）． ↩ (9). 英语中一般称作 $V$​ mod $U$​ 或 $V$​ by $U$​． ↩ (10). 不难证明仿射子集是一个等价类，于是根据等价类的相关性质可立即得证． ↩ (11). $(ST)’ 𝝋= 𝝋(ST)= (𝝋S)T=T’( 𝝋S)=T’S’( 𝝋)$​，即得证． ↩ (12). 对任意线性变换 $T$，定义简记 $\\mathcal M^{\\mathsf T}(T):=(\\mathcal M(T))^{\\mathsf T}$． ↩ ADJUVARE ME // 支持我: Nexus Aifadian // 爱发电赞助链接","categories":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/categoriae/Mathematica/"}],"tags":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Mathematica/"},{"name":"Algebra","slug":"Algebra","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra/"},{"name":"Algebra-Linearis","slug":"Algebra-Linearis","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra-Linearis/"}]},{"title":"De Algebra Lineari 02 // 线性代数笔记 〇二：有限维向量空间","slug":"De-Algebra-Lineari-02","date":"2021-08-26T03:57:30.000Z","updated":"2022-02-25T16:53:03.112Z","comments":true,"path":"2021/08/26/De-Algebra-Lineari-02.html","link":"","permalink":"https://kotobasuke.github.io/2021/08/26/De-Algebra-Lineari-02","excerpt":"","text":"Coopertura 线性生成空间〔定义〕： 向量列表 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n$(1) 的线性组合（linear combination）是任一如下形式的向量：   $a_1 𝒗_1+a_2 𝒗_2+\\cdots+a_n 𝒗_n$， 其中 $a_i\\in\\mathbb F,\\;\\forall\\;1\\leq i\\leq n$． 〔定义〕： 一组向量 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n$ 的所有线性组合组成的集合，称为该向量组的线性生成空间（linear span）(2)或简称为生成空间（span），记为 $\\mathrm{span}( 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n)$．准确地说，   $\\mathrm{span}( 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n):=\\{a_1 𝒗_1+a_2 𝒗_2+\\cdots+a_n 𝒗_n\\mid a_i\\in\\mathbb F,\\;\\forall\\;1\\leq i\\leq n\\}$． 空列表的生成空间 $\\mathrm{span}()$ 定义为 $\\{\\mathbf 0\\}$． 〔定理 2.1〕： 向量空间 $V$ 的所有包含向量 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n$ 的子空间之中，$\\mathrm{span}( 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n)$ 是最小者． 〔证明〕： 设 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n\\in V$． 由于 $\\mathbf 0=0 𝒗_1+0 𝒗_2+\\cdots+0 𝒗_n\\in \\mathrm{span}( 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n)$，得知生成空间中包含加法单位元．不难验证 $\\mathrm{span}( 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n)$ 对加法与数乘的封闭性．于是得知 $\\mathrm{span}( 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n)$ 是 $V$ 的子空间． 显然 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n\\in \\mathrm{span}( 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n)$．反之，由加法与数乘的封闭性便得知所有包含 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n$ 的子空间必然包含 $\\mathrm{span}( 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n)$．因此 $\\mathrm{span}( 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n)$ 是这些子空间中的最小者． ■ 若 $\\mathrm{span}( 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n)=V$，则称向量组 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n$ 生成（span）$V$． 〔定义〕： 若向量空间中存在一组向量(3)生成该向量空间，则称之为有限维（finite-dimensional）的向量空间．不是有限维的向量空间称为无限维（infinite-dimensional）向量空间． 〔定义〕： 设函数 $p:\\mathbb F\\to\\mathbb F$，若存在 $a_0,\\,a_1,\\,\\cdots,\\,a_n\\in\\mathbb F$（称为系数），使得对于任一 $x\\in\\mathbb F$，均有   $p(x)=a_0+a_1x+\\cdots+a_nx^n=\\displaystyle\\sum_{i=0}^n a_ix^i$， 则称 $p$ 为多项式（polynomial）． 系数属于 $\\mathbb F$ 的所有多项式的集合记为 $\\mathcal P(\\mathbb F)$． 〔定义〕： 对于多项式 $p\\in\\mathcal P(\\mathbb F)$，若存在 $a_0,\\,a_1,\\,\\cdots,\\,a_n\\in\\mathbb F$，且 $a_n\\neq 0$，使得对于任一 $x\\in\\mathbb F$，均有   $p(x)=\\displaystyle\\sum_{i=0}^n a_ix^i$， 则称该多项式的次数（degree）为 $n$，并记作 $\\deg p=n$． 常数函数 $p(x)=k\\quad(k\\in\\mathbb F)$ 的次数为 $0$． 零函数 $p(x)=0$ 的次数定义为 $-\\infty$． 〔记号〕： 对某一 $n\\in\\mathbb N$(4)，$\\mathcal P_n(\\mathbb F)$ 表示 $\\mathcal P(\\mathbb F)$ 中次数不超过 $n$ 的多项式的集合，即   $\\mathcal P_n(\\mathbb F):=\\{p\\in\\mathcal P(\\mathbb F)\\mid \\deg p\\leq n\\}$． 以 $x^i\\quad(0\\leq i\\leq n)$ 表示对应的函数 $p(x)=x^i$，则 $\\mathcal P_n(\\mathbb F)=\\mathrm{span}(1,\\,x,\\,x^2,\\,\\cdots,\\,x^n)$． Dependentia Linearis 线性相关性〔定义〕： 向量空间 $V$ 中的向量组 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n$ 是线性无关（linearly independent）的，当且仅当对于 $a_1,\\,a_2,\\,\\cdots,\\,a_n\\in\\mathbb F$，仅在 $a_1=a_2=\\cdots=a_n=0$ 时使得 $a_1 𝒗_1+a_2 𝒗_2+\\cdots+a_n 𝒗_n=\\mathbf 0$ 成立． 空的向量列表视为线性无关的． 非线性无关的向量组称为线性相关（linearly dependent）的向量组． 〔定理 2.2〕线性相关性引理： 设 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n$ 是向量空间 $V$ 中线性相关的向量组，则存在 $1\\leq i\\leq n$，使得以下命题成立：  $ 𝒗_i\\in\\mathrm{span}( 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_{i-1})$；  从向量组中除去 $ 𝒗_i$，剩余部分的生成空间等于 $\\mathrm{span}( 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n)$． 〔证明〕： 由于向量组线性相关，因此存在不全为 $0$ 的 $a_1,\\,a_2,\\,\\cdots,\\,a_n\\in\\mathbb F$，使得   $a_1 𝒗_1+a_2 𝒗_2+\\cdots+a_n 𝒗_n=\\mathbf 0$． 令 $i$ 为 $1\\leq i\\leq n$ 范围内使得 $a_i\\neq 0$ 的最大值，从而   $ 𝒗_i=-\\dfrac{a_1}{a_i} 𝒗_1-\\dfrac{a_2}{a_i} 𝒗_2-\\cdots-\\dfrac{a_n}{a_i} 𝒗_n$， （▲） 便证明了 (1.)． 设任一 $ 𝒖\\in\\mathrm{span}( 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n)$，则存在 $c_1,\\,c_2,\\,\\cdots,\\,c_n\\in\\mathbb F$，使得   $ 𝒖=c_1 𝒗_1+c_2 𝒗_2+\\cdots+c_n 𝒗_n$， 将如上等式右侧中的 $ 𝒗_i$ 替换为（▲）等式右侧，从而 (2.) 得证． ■ 〔定理 2.3〕： 有限维向量空间中，线性无关的向量列表（线性无关组）的长度，不大于生成该空间的向量列表（生成组）的长度． 〔证明〕： 设 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_m$ 是向量空间 $V$ 中的线性无关组，$ 𝒘_1, \\,𝒘_2,\\, \\cdots,\\, 𝒘_n$ 是生成组（称为 $B$），只需证 $m\\leq n$． 第 $1$ 步： 将 $ 𝒗_1$ 加入向量组 $B$ 中，$ 𝒗_1$ 必然能表示为 $B$ 中其他向量的线性组合，故 $B:\\; 𝒗_1,\\, 𝒘_1,\\, 𝒘_2,\\,\\cdots,\\, 𝒘_n$ 是线性相关的．由 Th. 2.2，将某一 $ 𝒘$ （$ 𝒘_1,\\, 𝒘_2,\\,\\cdots,\\, 𝒘_n$ 中的某一向量）从 $B$ 中除去，仍然有 $\\mathrm{span}(B)=V$． 第 $i$ 步： 按如下步骤重复：在第 $i$ 步时，将 $ 𝒗_i$ 加入 $B$ 中．由 Th. 2.2，$B$ 中某一向量在前一步所得 $B$ 的生成空间中，而由于 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_m$ 线性无关，因此这一向量必然是 $ 𝒘_1, \\,𝒘_2,\\, \\cdots,\\, 𝒘_n$ 之一．将此向量除去，仍然有 $\\mathrm{span}(B)=V$． 第 $m$ 步后，$ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_m$ 已全部列于 $B$ 中，而每一步重复步骤中，由 Th. 2.2 都可得知 $B$ 中存在 $ 𝒘_k\\quad(1\\leq k\\leq n)$，使得将此除去后保持 $\\mathrm{span}(B)=V$ 成立．因此 $m\\leq n$． ■ 〔定理 2.4〕： 有限维向量空间的子空间均为有限维向量空间． 〔证明〕： 设 $U$ 是有限维向量空间 $V$ 的子空间，需证 $U$ 是有限维向量空间． 第 $1$ 步： 若 $U=\\{\\mathbf 0\\}$，则条件成立．否则，选择一非零向量 $ 𝒗_1\\in U$． 第 $i$ 步： 按如下步骤重复：若 $U=\\mathrm{span}( 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_{i-1})$，则条件成立．否则，选择向量 $ 𝒗_i\\in U\\setminus\\mathrm{span}(𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_{i-1})$(5)． 每一步都可以得到一个线性无关的向量组 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_i$，而由 Th. 2.3.，该向量组的长度不能大于 $V$ 的生成组长度，从而 $U$ 是有限维向量空间． ■ Bases 基〔定义〕： 向量空间 $V$ 的一个基底，或称基（basis）是 $V$ 中一个线性无关的生成组．基中所含向量称为基向量（basis vector）． 〔定理 2.5〕基的判定条件： $V$ 中的向量组 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\, \\cdots,\\, 𝒗_n$ 是 $V$ 的一个基，当且仅当任一 $ 𝒗\\in V$ 均只能唯一地表示为   $ 𝒗=a_1 𝒗_1+a_2 𝒗_2+\\cdots+a_n 𝒗_n$， 其中 $a_1,\\,a_2,\\,\\cdots,\\,a_n\\in\\mathbb F$． 〔证明〕： 设 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\, \\cdots,\\, 𝒗_n=:B$ 是 $V$ 的一个基，令 $ 𝒗\\in V$．由于 $V=\\mathrm{span}(B)$，因此存在 $a_1,\\,a_2,\\,\\cdots,\\,a_n\\in\\mathbb F$，使得 $ 𝒗=a_1 𝒗_1+a_2 𝒗_2+\\cdots+a_n 𝒗_n$．又设存在 $c_1,\\,c_2,\\,\\cdots,\\,c_n\\in\\mathbb F$，使得 $ 𝒗=c_1 𝒗_1+c_2 𝒗_2+\\cdots+c_n 𝒗_n$． 联立二式，得 $(a_1-c_1) 𝒗_1+(a_2-c_2) 𝒗_2+\\cdots+(a_n-c_n) 𝒗_n=\\mathbf 0$，即 $a_i=c_i,\\;\\forall\\;1\\leq i\\leq n$． 反之，设任一向量 $ 𝒗\\in V$ 对于 $a_1,\\,a_2,\\,\\cdots,\\,a_n\\in\\mathbb F$ 能唯一地表示为 $ 𝒗=a_1 𝒗_1+a_2 𝒗_2+\\cdots+a_n 𝒗_n$．由此可知 $V=\\mathrm{span}(B)$．令 $c_1,\\,c_2,\\,\\cdots,\\,c_n\\in\\mathbb F$ 满足 $ \\mathbf 0=c_1 𝒗_1+c_2 𝒗_2+\\cdots+c_n 𝒗_n$，显然 $c_1=c_2=\\cdots=c_n=0$ 时成立，而由唯一性可知向量组 $B$ 线性无关，因此 $B$ 是 $V$ 的一个基． ■ 〔定理 2.6〕： 向量空间的任一生成组中均包含一个基，即将生成组的若干（或者 $0$ 个）向量除去，可以得到一个基． 〔证明〕： 设 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n=:B$ 是向量空间 $V$ 的生成组． 第 $1$ 步： 若 $ 𝒗_1=\\mathbf 0$，从 $B$ 中除去 $ 𝒗_1$．否则保持不变． 第 $i$ 步： 若 $ 𝒗_i\\in\\mathrm{span}( 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_{i-1})$，从 $B$ 中除去 $ 𝒗_i$．否则保持不变． 由于每次除去的向量都是在先前步骤所得的 $B$ 的生成空间中，而原先的 $B$ 是 $V$ 的生成组，全过程保证了第 $n$ 步后所得的 $B$ 仍是 $V$ 的生成组，并且 $B$ 是线性无关的，因此 $B$ 是 $V$ 的基． ■ 〔定理 2.7〕： 任一有限维向量空间均有至少一个基． 〔证明〕： 由定义，有限维向量空间必然有至少一个生成组，而由 Th. 2.6，除去该生成组的若干（或者 $0$ 个）向量即得一个基． ■ 〔定理 2.8〕： 有限维向量空间中任一线性无关组，均能添加若干（或者 $0$ 个）向量，使之成为向量空间的一个基． 〔证明〕： 设 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_m$ 是有限维向量空间 $V$ 的一个线性无关组，$ 𝒘_1,\\, 𝒘_2,\\,\\cdots,\\, 𝒘_n$ 是一个基．因此   $\\mathrm{span}( 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_m,\\, 𝒘_1,\\, 𝒘_2,\\,\\cdots,\\, 𝒘_n)=V$， 由 Th. 2.6，可以将列表 $𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_m,\\, 𝒘_1,\\, 𝒘_2,\\,\\cdots,\\, 𝒘_n$ 中部分向量除去而使之成为一个基．由于 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_m$ 线性无关，因此除去的向量必然在 $ 𝒘_1,\\, 𝒘_2,\\,\\cdots,\\, 𝒘_n$ 之中． ■ 〔定理 2.9〕： 设 $U$ 是有限维向量空间 $V$ 的子空间，则存在 $V$ 的子空间 $W$ 使得 $V=U\\oplus W$． 〔证明〕： 由于 $V$ 是有限维的，因此 $U$ 也是有限维的（Th. 2.4），因此存在 $ 𝒖_1,\\, 𝒖_2,\\,\\cdots,\\, 𝒖_m\\in U$ 作为 $U$ 的一个基（Th. 2.7）．显然该向量组是 $V$ 中的线性无关组，因此将若干向量 $ 𝒘_1,\\, 𝒘_2,\\, \\cdots,\\,𝒘_n\\in V$ 添加到此向量组中，可以使之成为 $V$ 的一个基（Th. 2.8）． 令 $W:=\\mathrm{span}( 𝒘_1,\\, 𝒘_2,\\,\\cdots,\\, 𝒘_n)$．设 $ 𝒗\\in V$，因此存在 $ a_1,\\,a_2,\\,\\cdots,\\,a_m,\\,b_1,\\,b_2,\\,\\cdots,\\,b_n\\in\\mathbb F$，使得   $ 𝒗=\\underbrace{a_1 𝒖_1+a_2 𝒖_2+\\cdots+a_m 𝒖_m}_{ 𝒖}+\\underbrace{b_1 𝒘_1+b_2 𝒘_2+\\cdots+b_n 𝒘_n}_{ 𝒘}$， 由于 $ 𝒖\\in U$，$ 𝒘\\in W$，因此 $ 𝒗= 𝒖+ 𝒘\\in (U+W)$，则 $V=U+W$． 设 $ 𝒛\\in U\\cap W$，则 $p_1,\\,p_2,\\,\\cdots,\\,p_m,\\,q_1,\\,q_2,\\,\\cdots,\\,q_n\\in\\mathbb F$，使得   $ 𝒛=p_1 𝒖_1+p_2 𝒖_2+\\cdots+ p_m 𝒖_m=q_1 𝒘_1+q_2 𝒘_2+\\cdots+q_n 𝒘_n$， 因此 $p_1 𝒖_1+p_2 𝒖_2+\\cdots+ p_m 𝒖_m-q_1 𝒘_1-q_2 𝒘_2-\\cdots-q_n 𝒘_n=\\mathbf 0$， 由于 $ 𝒖_1,\\, 𝒖_2,\\,\\cdots,\\, 𝒖_m,\\, 𝒘_1,\\, 𝒘_2,\\, \\cdots,\\,𝒘_n$ 线性无关，因此   $p_1=p_2=\\cdots=p_m=q_1=q_2=\\cdots=q_n=0$， 于是 $ 𝒛=\\mathbf 0$，即 $U\\cap W=\\{\\mathbf 0\\}$． 因为 $V=U+W$ 且 $U\\cap W=\\{\\mathbf 0\\}$，因此 $V=U\\oplus W$（Th. 1.7）． ■ Dimensio 维度〔定理 2.10〕： 有限维向量空间中任意两个基的长度均相等． 〔证明〕： 设有限维向量空间 $V$，令向量组 $B_1$ 与 $B_2$ 为 $V$ 的两个基．$B_1$ 是线性无关的，而 $B_2$ 生成 $V$，因此 $B_1$ 的长度不大于 $B_2$（Th. 2.3）．同理可知 $B_2$ 的长度不大于 $B_1$，得证． ■ 〔定义〕： 有限维向量空间 $V$ 中任一基的长度称为该向量空间的维度（dimension），记为 $\\dim V$． 〔定理 2.11〕： 对有限维向量空间 $V$ 的任一子空间 $U$，恒有 $\\dim U\\leq \\dim V$． 证明略． 〔定理 2.12〕： 有限维向量空间 $V$ 中任一长度为 $\\dim V$ 的线性无关组均为其一个基． 〔证明〕： 设 $\\dim V=:n$，向量组 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n\\in V$ 是一个线性无关组．而 $V$ 中所有基的长度均为 $n$，由 Th. 2.8，长度为 $n$ 的线性无关组均能不添加任何向量而作为 $V$ 的基． ■ 〔定理 2.13〕： 设 $U,\\;W$ 是有限维向量空间的子空间，则有   $\\dim(U+W)=\\dim U+\\dim W-\\dim(U\\cap W)$． 〔证明〕： 令 $𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_m$ 为 $U\\cap W$ 的一个基，则 $\\dim(U\\cap W)=m$，并且 $𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_m$ 在 $U$ 中线性无关．于是选择若干向量 $ 𝒖_1,\\, 𝒖_2,\\,\\cdots,\\, 𝒖_i\\in U$ 可以使得 $𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_m, 𝒖_1,\\, 𝒖_2,\\,\\cdots,\\, 𝒖_i$ 是 $U$ 的一个基（Th. 2.8），从而 $\\dim U=m+i$．同理可以选择若干向量 $ 𝒘_1,\\, 𝒘_2,\\,\\cdots,\\, 𝒘_j\\in W$，使得 $𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_m, 𝒘_1,\\, 𝒘_2,\\,\\cdots,\\, 𝒘_j$ 是 $W$ 的一个基，从而 $\\dim W=m+j$． 记 $𝒗_1,\\,\\cdots,\\, 𝒗_m, 𝒖_1,,\\,\\cdots,\\, 𝒖_i,\\,𝒘_1,\\,\\cdots,\\, 𝒘_j:=B$，显然 $\\mathrm{span}(B)=U+W$．设存在 $a_1,\\,\\cdots,\\,a_m,\\,b_1,\\,\\cdots,\\,b_i,\\, c_1,\\,\\cdots,\\, c_j\\in\\mathbb F$，使得   $a_1 𝒗_1+\\cdots+a_m 𝒗_m+b_1 𝒖_1+\\cdots+ b_i𝒖_i+c_1 𝒘_1+\\cdots+c_j 𝒘_j=\\mathbf 0$，（▲） 由此式有   $c_1 𝒘_1+\\cdots+c_j 𝒘_j=-a_1 𝒗_1-\\cdots-a_m 𝒗_m-b_1 𝒖_1-\\cdots-b_i 𝒖_i$， 得知 $c_1 𝒘_1+\\cdots+c_j 𝒘_j\\in U$，而 $ 𝒘_1,\\, 𝒘_2,\\,\\cdots,\\, 𝒘_j\\in W$，因此 $c_1 𝒘_1+\\cdots+c_j 𝒘_j\\in U\\cap W$． 由于 $𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_m$ 是 $U\\cap W$ 的基，因此存在 $d_1,\\,\\cdots,\\,d_m$ 使得   $c_1 𝒘_1+\\cdots+c_j 𝒘_j=d_1 𝒗_1+\\cdots+d_m 𝒗_m$， 由于 $ 𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_m,\\, 𝒘_1,\\, 𝒘_2,\\,\\cdots,\\, 𝒘_j$ 线性无关，因此由上式可推得 $c_1=\\cdots=c_j=d_1=\\cdots=d_m=0$．因此（▲）可化为   $a_1 𝒗_1+\\cdots+a_m 𝒗_m+b_1 𝒖_1+\\cdots+ b_i𝒖_i=\\mathbf 0$， 由于 $𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_m, 𝒖_1,\\, 𝒖_2,\\,\\cdots,\\, 𝒖_i$ 线性无关，因此 $a_1=\\cdots=a_m=b_1=\\cdots=b_i=0$． 综上，$B$ 是 $U+W$ 中的线性无关组，因此 $B$ 是 $U+W$ 的基，于是 $\\dim(U+W)=m+i+j$，得   $\\begin{alignedat}{2}&\\dim U+\\dim W-\\dim(U\\cap W)\\\\=\\;&(m+i)+(m+j)-m\\phantom{\\frac00}\\\\=\\;&m+i+j\\\\=\\;&\\dim(U+W).\\phantom{\\frac00}\\end{alignedat}$ ■ Annotationes 注释 (1). 后文将向量的列表称为一组向量或一个向量组，并省略列表的括号．这种记法也表示向量的列举，比如 $𝒗_1,\\, 𝒗_2,\\,\\cdots,\\, 𝒗_n\\in V$ 表示 $ 𝒗_1\\in V,\\; 𝒗_2\\in V,\\;\\cdots,\\; 𝒗_n\\in V$，根据上下文可以分别． ↩ (2). 也译为“张成空间”． ↩ (3). 凡言及“列表”“向量组”等，均指有限长的情况． ↩ (4). 依 ISO 以及中国国家标准定义，$\\mathbb N=\\{x\\mid x\\in\\mathbb Z,\\;x\\geq 0\\}$，即非负整数． ↩ (5). $\\setminus$ 表示集合的差． ↩ ADJUVARE ME // 支持我: Nexus Aifadian // 爱发电赞助链接","categories":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/categoriae/Mathematica/"}],"tags":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Mathematica/"},{"name":"Algebra","slug":"Algebra","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra/"},{"name":"Algebra-Linearis","slug":"Algebra-Linearis","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra-Linearis/"}]},{"title":"De Algebra Lineari 01 // 线性代数笔记 〇一：向量空间","slug":"De-Algebra-Lineari-01","date":"2021-08-25T18:37:51.000Z","updated":"2022-02-25T16:52:58.582Z","comments":true,"path":"2021/08/26/De-Algebra-Lineari-01.html","link":"","permalink":"https://kotobasuke.github.io/2021/08/26/De-Algebra-Lineari-01","excerpt":"","text":"Praefatio 前言本系列笔记的内容包括线性代数的进阶部分，以线性变换相关概念为主，而基础的线性代数内容在此不详言或直接略去．笔记内容基于 Axler Sheldon Jay 的《Linear Algebra Done Right》（引进版汉译：《线性代数应该这么学》），并参考其他资料． 本文仅仅是学习笔记，主要为整理书中内容并按个人理解稍作修改而成，限于学识而错误在所难免，望指正． Tabula Symbolorum 符号表 符号 意义 $\\mathbb R,\\,\\mathbb C,\\,\\mathbb F$ 实数域、复数域、数域 $\\mathbb N,\\,\\mathbb Z^+,\\,\\mathbb Z^-$ 自然数集（含 $0$），正整数集，负整数集 $\\mathbb F^{\\mathsf M}$ 域 $\\mathbb F$ 上的矩阵集合 $\\mathbb F^{m,n}$ 域 $\\mathbb F$ 上的 $m\\times n$ 矩阵集合 $\\det 𝑨,\\,\\operatorname{rank} 𝑨$ 矩阵 $ 𝑨$ 的行列式，矩阵 $ 𝑨$ 的秩 $ 𝑨^{-1},\\, 𝑨^\\mathsf{T},\\, 𝑨^\\mathsf{H}$ 矩阵 $ 𝑨$ 的逆，矩阵 $ 𝑨$ 的转置，矩阵 $ 𝑨$ 的共轭转置 $\\mathrm{diag}(a_1,\\,a_2,\\,\\cdots,\\,a_n)$ 对角元为 $a_1,\\,a_2,\\,\\cdots,\\,a_n$ 的对角矩阵 $ 𝑰,\\, 𝑰_n$ （$n$ 阶）单位矩阵 $ 𝑶,\\, 𝑶_n$ （$n$ 阶）零矩阵 $\\mathbf 0,\\,\\mathbf 0_n$ （$n$ 维）零向量 $\\langle 𝒖,\\, 𝒗\\rangle$ 向量 $ 𝒖$ 与 $ 𝒗$ 的内积 $V_n$ $n$ 维线性空间 $\\dim V$ 线性空间 $V$ 的维度 $(a_1,\\,a_2,\\,\\cdots,\\,a_n)$ 元素为 $a_1,\\,a_2,\\,\\cdots,\\,a_n$ 的列表 $\\mathfrak R(z),\\,\\mathfrak I(z)$ 复数 $z$ 的实部，虚部 $\\overline z$ 复数 $z$ 的共轭 Spatia Vectoriale 向量空间〔定义〕： 集合 $V$ 上的加法（addition）是一个由 $V\\times V$ 到 $V$ 的映射，记作 $a+b\\quad(a,\\,b\\in V)$． 集合 $V$ 上的数乘（scalar multiplication）是一个由 $\\mathbb F\\times V$ 到 $V$ 的映射，记作 $ka$ 或 $k\\cdot a\\quad(k\\in\\mathbb F,\\;a\\in V)$． 〔定义〕： 带有加法以及数乘的集合 $V$，若满足以下条件，则称为向量空间（vector space）或线性空间（linear space）： 加法交换律：$\\forall\\; 𝒖,\\, 𝒗\\in V,\\quad 𝒖 +𝒗=𝒗+𝒖$；(1) 加法结合律：$\\forall\\; 𝒖,\\, 𝒗,\\, 𝒘\\in V,\\quad (𝒖 +𝒗)+ 𝒘=𝒖 +(𝒗+ 𝒘)$； 加法单位元：$\\exists\\; \\mathbf 0\\in V,\\quad\\forall\\; 𝒗\\in V,\\quad 𝒗+ \\mathbf 0= 𝒗$； 加法逆元：$\\forall\\; 𝒗\\in V,\\quad\\exists\\;(- 𝒗)\\in V,\\quad 𝒗+(- 𝒗)=\\mathbf 0$；(2) 乘法单位元：$\\forall\\; 𝒗\\in V,\\quad 1𝒗= 𝒗$；(3) 分配律Ⅰ ：$\\forall\\;a,\\,b\\in \\mathbb F,\\; 𝒗\\in V,\\quad(a+b) 𝒗=a 𝒗+b 𝒗$； 分配律Ⅱ：$\\forall\\;k\\in\\mathbb F,\\; 𝒖,\\, 𝒗\\in V,\\quad k( 𝒖+ 𝒗)=k 𝒖+k 𝒗$．(4) 若向量空间 $V$ 的数乘运算是一个由 $\\mathbb F\\times V$ 到 $V$ 的映射，则称 $V$ 是域 $\\mathbb F$ 上的向量空间．$\\mathbb R$ 上的向量空间称为实向量空间（real vector space），$\\mathbb C$ 上的向量空间称为复向量空间（complex vector space）． 由此，将常规意义的“向量”一概念的定义扩展如下： 〔定义〕： 向量空间的元素称为向量（vector）或点（point）． 后文所言“向量”均依照此意义． 〔记号〕： $\\mathbb F$ 上所有长度为 $n$ 的列表的集合记为 $\\mathbb F^n$：   $\\mathbb F^n:=\\{(a_1,\\,a_2,\\,\\cdots,\\,a_n)\\mid a_i\\in\\mathbb F,\\;\\forall\\;1\\leq i\\leq n\\}$． 列表中的第 $i$ 个元素 $a_i$ 称为该列表的第 $i$ 坐标（$i$-th coordinate）或第 $i$ 分量（$i$-th component）． 对任一正整数 $n$，$\\mathbb F^n$ 均为向量空间． $\\mathbb F$ 上所有无限长的序列的集合记为 $\\mathbb F^\\infty$，亦为向量空间． 〔记号〕： 设 $S$ 是一个集合，所有由 $S$ 到 $\\mathbb F$ 的一元映射之集合记为 $\\mathbb F^S$． 定义 $\\mathbb F^S$ 上的加法：   $\\forall\\;f,\\,g\\in\\mathbb F^S,\\;x\\in S,\\quad (f+g)(x):=f(x)+g(x)$； 定义 $\\mathbb F^S$ 上的数乘：   $\\forall\\;f\\in\\mathbb F^S,\\;k\\in\\mathbb F,\\;x\\in S,\\quad (kf)(x):=k(f(x))$． 对任一非空集合 $S$，$\\mathbb F^S$ 均为向量空间． 〔定理 1.1〕： 向量空间的加法单位元唯一； 向量空间中任一元素的加法逆元唯一． 证明可由群的相关性质得出，略． 〔定理 1.2〕： 对向量空间 $V$ 中的任一向量 $ 𝒗$，均有 $0 𝒗= 0$． 〔证明〕： 由加法单位元的性质以及分配律，   $0 𝒗=(0+0) 𝒗=0 𝒗+0 𝒗$， 从而得 $0 𝒗=0$． ■ 〔定理 1.3〕： 对任一 $a\\in\\mathbb F$，均有 $a\\mathbf 0=\\mathbf 0$． 〔证明〕： 由加法单位元的性质以及分配律，   $a\\mathbf 0=a(\\mathbf 0+\\mathbf 0)=a\\mathbf 0+a\\mathbf 0$， 从而得 $a\\mathbf 0=\\mathbf 0$． ■ Subspatia 子空间〔定义〕： 设 $V$ 是向量空间，$U\\subseteq V$，若 $U$ 在与 $V$ 相同的加法与数乘下亦为向量空间，则称 $U$ 是 $V$ 的子空间（subspace）或线性子空间（linear subspace）． 〔例〕： $\\mathbb R^3$ 的子空间包括了 $\\mathbb R^3$ 自身、$\\mathbb R^3$ 中的所有过原点的平面、所有过原点的直线以及 $\\{\\mathbf 0\\}$（原点）． 〔定理 1.4〕子空间判定条件： 向量空间 $V$ 的子集 $U$ 是 $V$ 的子空间，当且仅当以下条件成立： 存在加法单位元：$\\mathbf 0\\in U$； 对加法封闭：$\\forall\\; 𝒖,\\, 𝒗\\in U,\\quad 𝒖+ 𝒗\\in U$； 对数乘封闭：$\\forall\\; 𝒗\\in U,\\;k\\in\\mathbb F,\\quad k 𝒗\\in U$． 证明略． 〔定义〕： 设 $U_1,\\,U_2,\\,\\cdots,\\,U_n$ 是向量空间 $V$ 的子集，这些子集的和（sum）是各子集选取一个元素所求得的和的集合，记作 $U_1+U_2+\\cdots+U_n$．准确地说，   $U_1+U_2+\\cdots+U_n:=\\{u_1+u_2+\\cdots+u_n\\mid u_i\\in U_i,\\;\\forall\\;1\\leq i\\leq n\\}$． 〔例〕： 设 $U=\\{(x,\\,0,\\,0)\\in\\mathbb F^3\\mid x\\in\\mathbb F\\}$，$W=\\{(0,\\,y,\\,0)\\in\\mathbb F^3\\mid y\\in\\mathbb F\\}$，则 $U,\\;W$ 均为 $\\mathbb F^3$ 的子集（三维空间沿 $x$ 轴、$y$ 轴的直线）．则 $U+W=\\{(x,\\,y,\\,0)\\in\\mathbb F^3\\mid x,\\,y\\in\\mathbb F\\}$（三维空间中过 $x$ 轴、$y$ 轴的平面）． 〔定理 1.5〕： 设 $U_1,\\,U_2,\\,\\cdots,\\,U_n$ 是向量空间 $V$ 的子空间，则 $U_1+U_2+\\cdots+U_n$ 是 $V$ 的子空间中包含 $U_1,\\,U_2,\\,\\cdots,\\,U_n$ 的最小者． 〔证明〕： 由 Th. 1.4，不难证明 $U_1+U_2+\\cdots+U_n$ 是 $V$ 的子空间． 显然 $U_1,\\,U_2,\\,\\cdots,\\,U_n\\subseteq (U_1+U_2+\\cdots+U_n)$．反之，$V$ 的包含 $U_1,\\,U_2,\\,\\cdots,\\,U_n$ 的子空间必然包含 $U_1+U_2+\\cdots+U_n$．从而 $U_1+U_2+\\cdots+U_n$ 是 $V$ 的子空间中包含 $U_1,\\,U_2,\\,\\cdots,\\,U_n$ 的最小者． ■ 〔定义〕： 设 $U_1,\\,U_2,\\,\\cdots,\\,U_n$ 是向量空间 $V$ 的子空间，若 $U_1+U_2+\\cdots+U_n$ 的任一元素仅能唯一地记为 $u_1+u_2+\\cdots+u_n$（其中 $u_i\\in U_i,\\;\\forall\\;1\\leq i\\leq n$），则称 $U_1+U_2+\\cdots+U_n$ 为直和（direct sum），并记作 $U_1\\oplus U_2\\oplus\\cdots\\oplus U_n$． 〔定理 1.6〕直和判定条件： 设 $U_1,\\,U_2,\\,\\cdots,\\,U_n$ 是向量空间 $V$ 的子空间，$U_1+U_2+\\cdots+U_n$ 是直和，当且仅当 $\\mathbf 0$ 仅能唯一地记为 $u_1+u_2+\\cdots+u_n$（其中 $u_i\\in U_i,\\;u_i=\\mathbf 0,\\;\\forall\\;1\\leq i\\leq n$）． 〔证明〕： 设 $U_1+U_2+\\cdots+U_n$ 是直和，则由直和的定义，显然可知 $\\mathbf 0$ 仅能唯一地记为 $u_1+u_2+\\cdots+u_n$（其中 $u_i\\in U_i,\\;u_i=\\mathbf 0,\\;\\forall\\;1\\leq i\\leq n$）． 反之，设 $\\mathbf 0$ 仅能唯一地记为 $u_1+u_2+\\cdots+u_n$（其中 $u_i\\in U_i,\\;u_i=\\mathbf 0,\\;\\forall\\;1\\leq i\\leq n$），令 $ 𝒗\\in (U_1+U_2+\\cdots+U_n)$，选取 $u_i\\in U_i,\\;\\forall\\;1\\leq i\\leq n$，使得   $ 𝒗=u_1+u_2+\\cdots+u_n$， 再选取 $v_i\\in U_i,\\;\\forall\\;1\\leq i\\leq n$，使得   $ 𝒗=v_1+v_2+\\cdots+v_n$， 联立得 $ \\mathbf 0=(u_1-v_1)+(u_2-v_2)+\\cdots+(u_n-v_n)$，便得 $u_i=v_i,\\;\\forall\\;1\\leq i\\leq n$． ■ 〔定理 1.7〕： 设 $U,\\;W$ 是向量空间 $V$ 的子空间，则 $U+W$ 是直和，当且仅当 $U\\cap W=\\{\\mathbf 0\\}$． 〔证明〕： 设 $U+W$ 是直和，又设任一 $ 𝒗\\in U\\cap W$，则 $\\mathbf 0= 𝒗+(- 𝒗)$，于是有 $ 𝒗\\in U$，$- 𝒗\\in W$．由直和的唯一性可知 $ 𝒗=\\mathbf 0$，于是 $U\\cap W=\\{\\mathbf 0\\}$ 得证． 反之，设 $U\\cap W=\\{\\mathbf 0\\}$，$ 𝒖\\in U$，$ 𝒘\\in W$，并且 $\\mathbf 0= 𝒖+ 𝒘$，由此又有 $ 𝒖=- 𝒘$，从而 $ 𝒖\\in U\\cap W$，进而 $ 𝒖=\\mathbf 0$．同理，得 $ 𝒘=\\mathbf 0$．得证 $U+W$ 是直和（Th. 1.6）． ■ Annotationes 注释 (1). 虽然此处使用向量的记法，但集合 $V$ 的元素并不一定是常规意义的“向量”． ↩ (2). 以上四条可概括为 $V$ 关于加法形成 Abel 群． ↩ (3). $1$ 指 $\\mathbb F$ 中的乘法单位元． ↩ (4). 一些资料还会将“数乘与域乘法的相容性（compatibility）”一条置于此列，即 $\\forall\\;a,\\,b\\in \\mathbb F,\\; 𝒗\\in V,\\quad(ab) 𝒗=a (b 𝒗)$，而另一些资料默认此性质成立． ↩ ADJUVARE ME // 支持我: Nexus Aifadian // 爱发电赞助链接","categories":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/categoriae/Mathematica/"}],"tags":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Mathematica/"},{"name":"Algebra","slug":"Algebra","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra/"},{"name":"Algebra-Linearis","slug":"Algebra-Linearis","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra-Linearis/"}]},{"title":"De Algebra Abstracta 09 // 抽象代数笔记 〇九：群作用","slug":"De-Algebra-Abstracta-09","date":"2021-06-13T17:41:19.000Z","updated":"2023-12-05T15:26:08.556Z","comments":true,"path":"2021/06/14/De-Algebra-Abstracta-09.html","link":"","permalink":"https://kotobasuke.github.io/2021/06/14/De-Algebra-Abstracta-09","excerpt":"","text":"前：抽象代数笔记 〇八：置换群与单群 Actiones Catervarum 群作用〔定义〕： 设 $A$ 为集合，$G$ 为群．定义映射 $f:G\\times A\\to A$ 称为 $G$ 与 $A$ 的（二元）运算，并记 $f(g,\\;a):=ga\\quad(g\\in G,\\;a\\in A)$．若如此定义的运算满足以下两点：   (α) $\\forall\\;a\\in A,\\quad ea=a$，   (β) $\\forall\\;a\\in A,\\;g,\\,h\\in G,\\quad g(ha)=(gh)a$， 则任一这样的运算 $G\\times A\\to A,\\quad (g,\\;a)\\mapsto ga$ 均可称为群 $G$ 在集合 $A$ 上的左群作用（左作用，left group action），此时称集合 $A$ 为左 $G$–集合（left $G$–set）． 类似地，定义映射 $\\varphi:A\\times G\\to A$ 称为 $A$ 与 $G$ 的（二元）运算，并记 $\\varphi(a,\\;g):=ag\\quad(g\\in G,\\;a\\in A)$．若如此定义的运算满足以下两点：   (α) $\\forall\\;a\\in A,\\quad ae=a$，   (β) $\\forall\\;a\\in A,\\;g,\\,h\\in G,\\quad (ag)h=a(gh)$， 则任一这样的运算 $A\\times G\\to A,\\quad (a,\\;g)\\mapsto ag$ 均可称为群 $G$ 在集合 $A$ 上的右群作用（右作用，right group action），此时称集合 $A$ 为右 $G$–集合（right $G$–set）． 然而事实上，左、右群作用可以相互转化，因此通常只考虑左群作用，并简称为群作用（作用，group action），而简称集合 $A$ 为 $G$–集合（$G$–set）．右群作用可以如下构造左群作用： 定义右作用 $A\\times G\\to A,\\quad (a,\\;g)\\mapsto a\\ast g$（$\\ast$ 为某一运算），以此为基础，定义运算 $G\\times A\\to A,\\quad (g,\\;a)\\mapsto g\\circ a:=a\\ast g^{-1}$，该运算满足左作用的性质：   $\\forall\\;a\\in A,\\quad e\\circ a=a\\ast e=a$，   $\\forall\\;a\\in A,\\;g,\\,h\\in G,\\quad$ $g\\circ(h\\circ a)=g\\circ(a\\ast h^{-1})=(a\\ast h^{-1})\\ast g^{-1}$ $=a\\ast(gh)^{-1}=(gh)\\circ a$， 因此该运算为左作用，此即以右作用构造了左作用，反之则同理． 〔例〕： 考虑加法循环群 $\\mathbb Z_3=\\{0,\\,1,\\,2\\}$ 以及 $\\mathbb Z_2=\\{0,\\,1\\}=:A$，视 $A$ 为集合，定义运算 $\\mathbb Z_3\\times A\\to A,\\quad (g,\\;a)\\mapsto ga:=(g+a)\\bmod 2$（其中 $x\\bmod 2$ 表示取 $x$ 除以 $2$ 的余数），可以证明该运算满足以下性质：   $\\forall\\;a\\in A,\\quad ea=(0+a)\\bmod 2=a\\bmod 2=a$，   $\\forall\\;a\\in A,\\;g,\\,h\\in\\mathbb Z_3,\\quad$ $g(ha)=g((h+a)\\bmod 2)=(g+h+a)\\bmod 2$，    而 $(g+h)a=(g+h+a)\\bmod 2$，因此 $g(ha)=(g+h)a$， 从而该运算为 $G$ 在 $A$ 上的群作用之一． 若定义运算 $G\\times A\\to A,\\quad (g,\\;a)\\mapsto ga:=a$，则易证该运算为群作用．这一群作用保持了 $A$ 中任一元素不变，这样的群作用称为平凡群作用（trivial group action）． 〔定义〕： 设 $\\varSigma$ 是一个（有限或无限的）集合(1)，$\\mathfrak S(\\varSigma)$ 是其上的对称群，群 $G$ 到 $\\mathfrak S(\\varSigma)$ 的任一同态 $f:G\\to\\mathfrak S(\\varSigma)$ 都称为群 $G$ 在集合 $\\varSigma$ 上的一个置换表示（permutation representation）．每个置换表示实际上等价于 $G$ 在 $\\varSigma$ 上的一个群作用．这一事实可以简单说明如下：考虑 $G$ 中元素 $g$，其对应置换表示为 $f(g)$，且 $f(e):=I$，乘积 $f(g)a\\quad(a\\in\\varSigma)$ 即 $a$ 在此置换后所成元素．定义群作用 $ga:=f(g)a$，可证明该定义满足群作用的性质：   $\\forall\\;a\\in A,\\quad ea=f(e)a=Ia=a$，   $\\forall\\;a\\in A,\\;g,\\,h\\in G,\\quad$ $g(ha)=g(f(h)a)=f(g)f(h)a=(f(gh))a=(gh)a$． 置换表示是群作用的等价定义． 〔例〕： 考虑加法循环群 $\\mathbb Z_4$​ 到加法循环群 $\\mathbb Z_5$​ （视作集合）的群作用，$\\mathbb Z_4\\times \\mathbb Z_5\\to \\mathbb Z_5,\\quad (g,\\;a)\\mapsto ga:=(g+a)\\bmod 5$​，将此群作用的所有情况列为表格如下：   $\\begin{array}{c|ccccc}{_{\\Large g}\\kern -5pt{\\Large╲}\\kern -5pt^{\\Large a}}\\kern -4pt&0&1&2&3&4\\\\\\hline0&0&1&2&3&4\\\\1&1&2&3&4&0\\\\2&2&3&4&0&1\\\\3&3&4&0&1&2\\end{array}$ 可以看出，对每个 $g\\in\\mathbb Z_4$，都可以视其群作用为 $\\mathfrak S_5$ 上一个置换（在此记作 $f(g)$）．如本例子中，有   $f(0)=\\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\0 & 1 & 2 & 3 & 4\\end{pmatrix}=I,$   $f(1)=\\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\1 & 2 & 3 & 4 & 0\\end{pmatrix}=(0\\;\\;1\\;\\;2\\;\\;3\\;\\;4),$   $f(2)=\\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\2 & 3 & 4 & 0 & 1\\end{pmatrix}=(0\\;\\;2\\;\\;4\\;\\;1\\;\\;3),$   $f(3)=\\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\3 & 4 & 0 & 1 & 2\\end{pmatrix}=(0\\;\\;3\\;\\;1\\;\\;4\\;\\;2)$． 而平凡群作用即群中任一元素 $g$，都对应对称群中的恒等变换 $I$． 〔定义〕： 设群作用 $G\\times A\\to A,\\quad(g,\\,a)\\mapsto ga$，若 $\\forall\\;a\\in A,\\;\\forall\\;g,\\,h\\in G,\\;g\\neq h,\\quad ga\\neq ha$，则称该群作用是忠实（faithful）的．以置换表示言之，即若置换表示 $f$ 为单同态，称 $f$ 为忠实表示（faithful representation）． 前文中的 $\\mathbb Z_4\\times \\mathbb Z_5\\to \\mathbb Z_5,\\quad$​ $(g,\\;a)\\mapsto ga:=(g+a)\\bmod 5$​ 一例为忠实群作用的例子，而 $\\mathbb Z_3\\times\\mathbb Z_2\\to\\mathbb Z_2,\\quad$​ $(g,\\;a)\\mapsto ga:=(g+a)\\bmod 2$​ 一例则不然（$(0,\\,a)\\equiv(2,\\,a)$​）．平凡群作用显然不是忠实的． 〔定义〕： 设 $A$ 为集合，$G$ 为群，定义群作用 $G\\times A\\to A,\\quad (g,\\,a)\\mapsto ga$，在 $A$ 中定义如下关系，   $\\forall\\;a,\\,b\\in A,\\quad$ $a\\sim b\\;\\Leftrightarrow\\;ga=b$， 易证此为等价关系． 于是，记 $a\\in A$ 对此等价关系的等价类为 $[a]=Ga=\\{ga\\mid g\\in G\\}$，每个等价类称为一个 $G$–轨道（$G$–orbit）或简称轨道（orbit）．若对某一群作用而言，被作用的集合 $A$ 上只能分划为唯一的轨道，此时则称 $G$ 在 $A$ 上是传递（transitive）的． 考虑群 $(G,\\,\\times)$，群作用 $G\\times G\\to G,\\quad (g,\\,h)\\mapsto g\\times h$ 显然是传递的． 〔定义〕： 设 $G$ 是群，设映射 $\\lambda:G\\to\\mathfrak S(G),\\quad \\lambda(g)a=ga\\quad(a,\\,g\\in G)$ (2)，由于 $\\forall\\;g,\\,h,\\,a\\in G,$   $\\lambda(gh)a=gha=\\lambda(g)\\lambda(h)a$， 所以 $\\lambda(gh)=\\lambda(g)\\lambda(h)$(3)，从而 $\\lambda$ 为群同态，因此这是群 $G$ 在集合 $G$ 上的一个置换表示，称作左正则表示（left regular representation）．由于 $\\forall\\;g,\\,a\\in G,$   $g\\in\\ker \\lambda\\;\\Leftrightarrow\\;\\lambda(g)a=ga=a\\;\\Leftrightarrow\\;g=e_G$， 所以 $\\ker\\lambda=\\{e_G\\}$，从而 $\\lambda$ 为单同态（同态基本定理的推论），因此左正则表示为忠实表示． 类似地，定义映射 $\\rho:G\\to\\mathfrak S(G),\\quad \\rho(g)a=ag^{-1}\\quad(a,\\,g\\in G)$，不难证明此亦为置换表示，称作右正则表示（right regular representation）．类似地，由于 $\\forall\\;g,\\,a\\in G,$   $g\\in\\ker\\rho\\;\\Leftrightarrow\\;\\rho(g)a=ag^{-1}=a\\;\\Leftrightarrow\\;g=e_G$， 也可以说明右正则表示为忠实表示． 〔定理 9.1〕 Cayley（凯莱）(4)定理（Cayley’s theorem）： 每个（有限或无限的）群均同构于某一置换群． 〔证明〕： 考虑群 $G$ 上的左正则表示 $\\lambda$（右正则表示同理）．由于 $\\lambda$ 是单同态，因此 $\\ker \\lambda=\\{e_G\\}$，从而由同态基本定理，   $G\\cong G/\\ker\\lambda\\cong\\lambda(G)$​． ■ Cayley 定理表明了置换群可以作为一切群的“模板”．然而，随着群的阶数增大，其上的对称群阶数会急剧增大（$n$ 阶群上的对称群阶数为 $n!$）而难以研究．所以对于较大的群，Cayley 定理只在理论上起到作用． 〔定义〕： 设 $H\\leq G$，$\\varSigma:=\\{aH\\mid a\\in G\\}$，定义 $\\lambda_H:G\\to\\mathfrak S(\\varSigma),\\quad \\lambda_H(g)(aH)=gaH$（群 $G$ 的运算），不难证明此映射为置换表示．这样的映射 $\\lambda_H$ 称为群 $G$ 对于子群 $H$ 的左诱导表示（left induced representation）．由于 $\\forall\\;g\\in G,$   $\\begin{aligned} g\\in\\ker \\lambda_H\\;&\\Leftrightarrow\\;\\forall\\;a\\in G,\\quad \\lambda_H(g)aH=gaH=aH\\\\\\phantom{\\dfrac 11}&\\Leftrightarrow\\;\\forall\\;a\\in G,\\quad a^{-1}ga\\in H\\\\&\\Leftrightarrow\\;\\forall\\;a\\in G,\\quad g\\in aHa^{-1}\\\\\\phantom{\\dfrac 11}&\\Leftrightarrow\\;g\\in \\displaystyle\\bigcap_{a\\in G}aHa^{-1},\\end{aligned}$ 因此 $\\ker\\lambda_H=\\displaystyle\\bigcap_{a\\in G}aHa^{-1}$，即 $H$ 的所有共轭子群之交． 同理，$\\varGamma:=\\{Ha\\mid a\\in G\\}$，定义 $\\rho_H:G\\to\\mathfrak S(\\varGamma),\\quad \\rho_H(g)(Ha)=Hag^{-1}$，称为群 $G$ 对子群 $H$ 的右诱导表示（right induced representation）． 〔定义〕： 设 $G$ 是群，定义映射 $G\\times G\\to G,\\quad (g,\\,a)\\mapsto gag^{-1}$，这是一个群作用，称为群 $G$ 上的共轭作用（conjugation）(5)．其对应的置换表示为 $\\pi:G\\to\\mathfrak{S}(G),\\quad \\pi(g)a=gag^{-1}$，由于 $\\forall\\;g\\in G,$   $\\begin{aligned} g\\in\\ker\\pi\\;&\\Leftrightarrow\\;\\forall\\;a\\in G,\\quad \\pi(g)a=gag^{-1}=a\\\\\\phantom{\\dfrac11} &\\Leftrightarrow\\;g\\in \\mathrm Z(G),\\end{aligned}$ 因此 $\\ker\\pi=\\mathrm Z(G)$，即群 $G$ 的中心．而对于任一元素 $g\\in G$，其共轭类即对于共轭作用的 $G$–轨道． 类似地，设 $A\\subseteq G$，$\\varSigma:=\\{aAa^{-1}\\mid a\\in G\\}$，定义群作用 $G\\times\\varSigma\\to\\varSigma,\\quad (g,\\,aAa^{-1})\\mapsto gaHa^{-1}g^{-1}$，相应的置换表示为 $\\sigma:G\\to\\mathfrak S(\\varSigma),\\quad\\sigma(g)(aAa^{-1})=gaAa^{-1}g^{-1}$．由于 $\\forall\\;g\\in G,$   $\\begin{aligned} g\\in \\ker\\sigma\\;&\\Leftrightarrow\\;\\forall\\;a\\in G,\\quad\\sigma(g)(aAa^{-1})=gaAa^{-1}g^{-1}=aAa^{-1}\\\\\\phantom{\\dfrac11} &\\Leftrightarrow\\;\\forall\\;a\\in G,\\quad a^{-1}gaAa^{-1}g^{-1}a=A\\\\&\\Leftrightarrow\\;\\forall\\;a\\in G,\\quad a^{-1}ga\\in\\mathrm N_G(A)\\\\\\phantom{\\dfrac11}&\\Leftrightarrow\\;\\forall\\;a\\in G,\\quad g\\in a\\mathrm N_G(A)a^{-1},\\end{aligned}$ 因此 $\\ker\\sigma=\\displaystyle\\bigcap_{a\\in G} a\\mathrm N_G(A)a^{-1}$，即正规化子 $\\mathrm N_G(A)$ 的所有共轭子群之交． 〔定义〕： 设 $\\varSigma$ 为集合，$G$ 为群，群 $G$ 作用于 $\\varSigma$ 上，且群作用的乘积记为 $g\\cdot a$（$g\\in G,\\;a\\in\\varSigma$）．若对 $g\\in G,\\;a\\in\\varSigma$ 有 $g\\cdot a=a$，则称 $a$ 是 $g$ 是一个固定点（fixed point），或称 $g$ 固定（fix）$a$．$G_a:=\\{g\\in G\\mid ga=a\\}$ 是 $G$ 的一个子群，称为群 $G$ 对 $a$ 的稳定子群、稳定化子或固定子群（stabilizer subgroup）(6)． 〔定理 9.2〕：轨道–稳定子群定理（orbit–stabilizer theorem）： 设有限群 $G$ 作用在集合 $\\varSigma$，$a\\in\\varSigma$，$[a]:=Ga=\\{ga\\mid g\\in G\\}$，则   $|G|=|G_a|\\cdot|[a]|$． 〔证明〕： $n:=[G:G_a]$， 考虑 $G$ 对子群 $G_a$ 的陪集分解：   $G=\\displaystyle\\bigsqcup_{i=1}^n\\;g_iG_a\\quad (g_i\\in G)$， 于是 $\\forall\\;g\\in G,\\;\\exists!\\;1\\leq i\\leq n,\\quad g\\in g_iG_a$， $g:=g_ih,\\;h\\in G_a$，又 $a_i:=g_ia\\quad(1\\leq i\\leq n)$，于是 $ga=g_iha=g_ia=a_i$，而   $\\begin{aligned} a_i=a_j\\;&\\Leftrightarrow\\;g_ia=g_ja\\\\&\\Leftrightarrow\\;g_j^{-1}g_ia=a\\\\&\\Leftrightarrow\\;g_j^{-1}g_i\\in G_a\\\\&\\Leftrightarrow\\; g_iG_a=g_jG_a\\\\&\\Leftrightarrow\\; i=j,\\end{aligned}$ 因此 $a_1,\\,a_2,\\,\\cdots,\\,a_n$ 各异，于是 $[a]=\\{a_i\\mid 1\\leq i\\leq n\\}$，从而   $|[a]|=n=[G:G_a]=|G|/|G_a|$． ■ 〔推论〕： (α) 若有限群 $G$ 在有限集 $\\varSigma$ 上的作用的传递的，则 $\\forall\\;a\\in\\varSigma,\\quad|G|=|G_a||\\varSigma|$； (β) 若 $G$ 为无限群，在 $[G:G_a]$ 有限的前提下，$|[a]|=[G:G_a]$ 亦可成立； (γ) 考虑 $G$ 对于子集 $A$ 的共轭作用，$\\varSigma:=\\{aAa^{-1}\\mid a\\in G\\}$，$[A]=\\{gAg^{-1}\\mid g\\in G\\}$ 即 $A$ 的共轭子群数，而 $G_A=\\{g\\in G\\mid gHg^{-1}=H\\}=\\mathrm N_A(G)$．由此可知 $A$ 的共轭子群数量为 $[A]=[G:\\mathrm N_A(G)]$． 〔定义〕： 记正 $n$ 边形（$n\\geq 3$）的顶点沿逆时针顺序依次为 $1,\\,2,\\,\\cdots,\\,n$，该正 $n$ 边形在其所在平面上关于其几何中心旋转为其自身的变换与其沿对称轴的反射变换（镜像变换）之任一者称为其一个对称．所有对称关于复合运算构成一个群，称为正 $n$ 边形的二面体群（dihedral group），记作 $D_n$(7)． 记逆时针旋转 $\\dfrac{2𝛑}n\\;\\mathrm{rad}$ 的变换为 $\\sigma$，该变换可以视为顶点的轮换 $(1\\;\\;2\\;\\;3\\;\\;\\cdots\\;\\;n)$，而 $D_n$ 中包含的旋转变换即所有的 $\\sigma^{i}\\quad(0\\leq i\\leq n-1)$，而 $|\\sigma|=n$． 记固定顶点 $1$，沿着过定点 $1$ 的对称轴的反射变换为 $\\tau$，显然地，$|\\tau|=2$，并且   $\\tau=\\begin{equation} \\left\\{\\begin{aligned}&(2\\;\\;n)(3\\;\\;n-1)\\cdots(\\dfrac n2\\;\\;\\dfrac n2+2),&\\quad 2&\\mid n,\\\\&(2\\;\\;n)(3\\;\\;n-1)\\cdots(\\dfrac{n+1}2\\;\\;\\dfrac{n+3}2),&\\quad 2&\\not\\mid n,\\end{aligned} \\right.\\end{equation}$ 将 $\\sigma$ 与 $\\tau$ 生成的变换视为 $D_n$ 在顶点集合 $S=\\{1,\\,2,\\,\\cdots,\\,n\\}$ 上的置换表示，因为 $\\sigma^i(1)=i+1\\quad(0\\leq i\\leq n-1)$，所以 $D_n$ 在 $S$ 上的作用是传递的，而另一方面，顶点 $1$ 的稳定子群 $D_{n1}$ 阶数为 $|\\tau|=2$，由轨道–稳定子群定理的推论可知，$|D_n|=|D_{n1}|\\cdot|S|=2n$． 〔定理 9.3〕： 设 $n$ 为奇数，任一 $2n$ 阶群 $G$ 必有指数为 $2$ 的正规子群． 〔证明〕： 考虑 $G$ 上的左正则表示 $\\lambda:G\\to\\mathfrak S(G)=\\mathfrak S_{2n}$． $\\lambda$ 是忠实表示，因此 $G\\cong \\mathfrak \\lambda(G)$(8)． 又 $\\exists\\;g\\in G,\\;g\\neq e,\\quad |g|=2$(9)， 由此可知，$\\forall\\;a\\in G,$   $\\lambda(g)a\\neq a,\\quad\\lambda(g)^2a=\\lambda(g^2)a=a$， 即意味着 $\\lambda(g)$ 是若干个形如 $(a\\;\\;\\lambda(g)a)$ 的不交对换之积． 因为 $|G|=2n$，所以 $\\lambda(g)$ 是 $n$ 个不交的对换之积，又因为 $n$ 为奇数，所以 $\\lambda(g)$ 为奇置换． $\\lambda(G)$ 中含有奇置换，因此其中所有偶置换构成了指数为 $2$ 的子群，而指数为 $2$ 的子群必然为正规子群(10)． ■ 〔推论〕： 设 $G$ 为有限群，若 $|G|\\geq 6,\\;|G|\\equiv 2\\pmod 4$，则 $G$ 不是单群． 〔定理 9.4〕： 设 $G$ 为有限群，$p$ 为 $|G|$ 的最小质因子． 若 $N\\leq G,\\;[G:N]=p$，则 $N\\lhd G$． 〔证明〕： 考虑 $G$ 对 $N$ 的左诱导表示 $\\lambda_N:G\\to \\mathfrak S_p$，于是 $\\ker\\lambda_N=\\displaystyle\\bigcap_{a\\in G} a^{-1}Na\\leq N$， 从而 $p=|G|/|N|$ 整除 $|G|/|\\ker \\lambda_N|$， 因为 $p^2\\not\\mid p!=|\\mathfrak S_p|$，而 $G/\\ker\\lambda_N$ 同构于 $\\mathfrak S_p$ 的一个子群（同态基本定理）， 因此 $p^2\\not\\mid |G/\\ker \\lambda_N|$． 另一方面，$|G/\\ker \\lambda_N|$ 的质因子不大于 $p$(11)， 而因为 $p$ 是 $|G|$ 的最小质因子，所以又有 $|G/\\ker \\lambda_N|$ 的质因子不小于 $p$， 从而 $|G/\\ker \\lambda_N|=p$． 因为 $[G:N]=p$，并且 $\\ker \\lambda_N\\leq N$（同态基本定理），所以 $N=\\ker \\lambda_N$， 从而 $N\\lhd G$． ■ Annotationes 注释 (1). 前文中定义了有限集上的置换，而对于无限集也可以作类似定义．无限集 $A$ 到自身的任一双射都称为 $A$ 上的置换，这些置换构成了无限阶的对称群 $\\mathfrak S_\\infty$． ↩ (2). $ga$ 为群 $G$ 中运算所得乘积，下文 $ag^{-1}$ 同理． ↩ (3). 群的消去律保证了这一等式成立． ↩ (4). 阿瑟·凯莱（Arthur Cayley），英国数学家，主要贡献于几何学与群论．理论物理学中所用到的八元数（octonion）这一概念系其最早发表，因此也称作 Cayley 数． ↩ (5). 前文定义的共轭使用的是 $g^{-1}ag$ 的形式，由群中元素的可逆性可知两种形式是等价的． ↩ (6). 一些其他领域使用该概念时也会称之为迷向群（isotropy group）． ↩ (7). 一些资料记作 $D_{2n}$． ↩ (8). 忠实表示是单同态，而显然 $|G|=|\\lambda(G)|$，从而该表示为同构． ↩ (9). $G$ 的阶数为偶数，除去单位元 $e$ 剩余的元素数量为奇数．而考虑任一非单位元 $a$ 与其逆的积为单位元，必然有奇数个元素 $b$ 的逆元为其自身，满足 $b^2=e$． ↩ (10). 考虑群 $G$ 中指数为 $2$ 的子群 $N$，可知 $\\exists\\;a\\in G\\setminus N,\\quad$ $G=N\\sqcup aN=N\\sqcup Na$，于是 $aN=Na$，即意味着 $N\\lhd G$． ↩ (11). $G/\\ker\\lambda_N$ 同构于 $\\mathfrak S_p$ 的一个子群，而 $|\\mathfrak S_p|=p!=p(p-1)(p-2)\\cdots2$，显然 $p$ 是其中最大的质数． ↩ 前：抽象代数笔记 〇八：置换群与单群","categories":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/categoriae/Mathematica/"}],"tags":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Mathematica/"},{"name":"Algebra","slug":"Algebra","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra/"},{"name":"Algebra-Abstracta","slug":"Algebra-Abstracta","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra-Abstracta/"},{"name":"Theoria-Catervarum","slug":"Theoria-Catervarum","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Theoria-Catervarum/"}]},{"title":"De Algebra Abstracta 08 // 抽象代数笔记 〇八：置换群与单群","slug":"De-Algebra-Abstracta-08","date":"2021-06-04T18:50:22.000Z","updated":"2023-12-05T15:25:53.163Z","comments":true,"path":"2021/06/05/De-Algebra-Abstracta-08.html","link":"","permalink":"https://kotobasuke.github.io/2021/06/05/De-Algebra-Abstracta-08","excerpt":"","text":"前：抽象代数笔记 〇七：同态与同构定理 后：抽象代数笔记 〇九：群作用 Cycli & Permutationes 轮换与置换〔定义〕： 设有限集(1) $X$ 上的映射 $f$，若存在 $X$ 的子集 $A=\\{a_1,\\,a_2,\\,\\cdots,\\,a_\\ell\\}$ 使得对任意 $a_i\\in A$，有   $f(a_\\ell)=\\begin{equation} \\left\\{\\begin{aligned}&a_{i+1},& i&\\neq\\ell,\\\\&a_1,&i&=\\ell,\\end{aligned} \\right.\\end{equation}$ 并且对任意 $a\\in X\\setminus A$，有 $f(a)=a$，则称映射 $f$ 为 $X$ 上的轮换（cycle），其长度（length，或简称长）为 $\\ell$，记为 $(a_1\\;\\;a_2\\;\\;\\cdots\\;\\;a_\\ell)$，这一记法称为单行记法（one-line notation）．简单地说，这一轮换即是将序列中的元素依次替换为序列中的下一项，最后一项替换为其原本的首项． 将轮换前后的序列分别写在上下两行形成矩阵状，这一记法称作双行记法（two-line notation）．实际上，通常选用逐次递增 $1$ 的正整数列为自然顺序（natural order）并记入上行，如 $1$ 到 $5$ 的正整数集上的轮换 $(2\\;\\;4\\;\\;3)$，以双行记法则表示为 $\\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\1 & 4 & 2 & 3 & 5\\end{pmatrix}$．双行记法中，各列的位置可以互相替换而不改变其意义，并且常常将轮换前后位置不变的元素省去，如上例可表示为 $\\begin{pmatrix}2 & 3 & 4 \\\\4 & 2 & 3\\end{pmatrix}$． 长为 $1$ 的轮换为恒等映射，记作 $I$． 长为 $2$ 的轮换称为对换（transposition）．长为 $\\ell$ 的轮换可表示为至少 $\\ell-1$ 个对换的积（积即复合运算的结果，书写为左乘的形式）．如轮换 $(2\\;\\;4\\;\\;3)$ 可以表示为 $(2\\;\\;3)(2\\;\\;4)$．若对换的元素在序列中相邻，则称如此的对换为相邻对换（adjacent transposition）． 考虑集合 $X$ 上的两个轮换 $\\kappa,\\,\\kappa’$，若 $\\kappa$ 与 $\\kappa’$ 所改变位置的元素中不存在相同者，则称 $\\kappa$ 与 $\\kappa’$ 不交（disjoint）．显然地，不交的轮换可交换． 将轮换的单行记法中各元素按倒序改写，则得到该轮换的逆，而在双行记法中，将上下两行互换则亦然． 〔定义〕： 有限集 $\\varSigma$ 到其自身的一个双射 $\\sigma$ 称为 $\\varSigma$ 上的一个置换（permutation）．有限集上任一置换都能表示为有限个不交的轮换之积，进而可以表示为有限个对换之积，并且无论表示方式，对换的个数总是保持为奇数或偶数其一．由此，可表示为奇数个对换之积的置换称为奇置换（odd permutation），否则称为偶置换（even permutation）． 〔定义〕： 有限集 $\\varSigma$ 上的所有置换所成集合 $S(\\varSigma)$ 关于复合运算（左乘）形成群，称为 $\\varSigma$ 上的对称群（symmetric group），其单位元为恒等映射 $I$，且 $|S(\\varSigma)|=|\\varSigma|!$．$S(\\varSigma)$ 的任一子群称为 $\\varSigma$ 上的置换群（permutation group）． 若有限集 $\\varSigma,\\,\\varSigma’$ 的势均为 $n$，则不难看出 $S(\\varSigma)\\cong S(\\varSigma’)$，于是任一 $n$ 元集合上的对称群均可视作 $n!$ 阶的同一对称群，称为 $n$ 次对称群（symmetric group of degree $n$），记为 $S_n,\\;\\mathrm{Sym}(n)$ 或 $\\mathfrak S_n$(2)（后文出于简便且避免歧义而采用后者），而其子群称为 $n$ 次置换群（permutation group of degree $n$）．需要注意的是此处的 $n$ 称为次数（degree），而其阶数为 $n!$．未特别指明的情况下，$\\mathfrak S_n$ 均指 $1$ 到 $n$ 的正整数集 $\\{k\\in\\mathbb N\\mid 1\\leq k\\leq n\\}$ 上的对称群． 〔定义〕： 同为奇（偶）置换的两个置换之积为偶置换，否则为奇置换．若置换 $\\tau$ 为奇置换，记 $\\operatorname{sgn}\\tau=-1$，否则记 $\\operatorname{sgn}\\tau=1$，此处的 $\\operatorname{sgn}\\tau$ 称为置换 $\\tau$ 的符号（sign）． 定义映射 $f:\\mathfrak S_n\\to(\\{-1,\\,1\\},\\,\\times),\\quad\\tau\\mapsto\\operatorname{sgn}\\tau$，当 $n\\geq 2$，易知 $f$ 为满同态． $\\ker f$ 是 $\\mathfrak S_n\\;(n\\geq 2)$ 上所有偶置换所成子群，称为 $n$ 次交错群（或交替群，alternating group of degree $n$），记为 $A_n,\\;\\mathrm{Alt}(n)$ 或 $\\mathfrak A_n$（出于同样的考量，后文均用后者）． 由同态基本定理可知 $\\mathfrak A_n\\unlhd \\mathfrak S_n\\;(n\\geq2)$，并且 $[\\mathfrak A_n:\\mathfrak S_n]=2$，$|\\mathfrak A_n|=n!/2$． 〔定理 8.1〕： 当 $n\\geq 2$，$\\{(1,\\,i)\\mid 2\\leq i\\leq n\\}$ 是 $\\mathfrak S_n$ 的一个生成元系． 〔证明〕： $\\forall\\;2\\leq i,\\,j\\leq n,\\;i\\neq j,$   $(i\\;\\;j)=(1\\;\\;i)(1\\;\\;j)(1\\;\\;i)$． ■ 〔定理 8.2〕： 当 $n\\geq 3$，全体长为 $3$ 的轮换形成 $\\mathfrak A_n$ 的一个生成元系． 〔证明〕： 任一偶置换均可表示为偶数个对换之积，从而只需证明任意两个对换之积均可表示为长度为 $3$ 的轮换（之积）． 于是对于任一偶置换 $\\tau=(i\\;\\;j)(r\\;\\;s)\\quad(i\\neq j,\\;r\\neq s)$， 若 $(i\\;\\;j)=(r\\;\\;s)$，则 $\\tau=I$（自然可以是两个互逆的轮换之积）； 若 $j=r,\\;i\\neq s$，则 $\\tau=(j\\;\\;s\\;\\;i)$； 若 $i,\\,j,\\,r,\\,s$ 彼此不等，则 $\\tau=(r\\;\\;i\\;\\;s)(i\\;\\;j\\;\\;r)$． ■ 〔定理 8.3〕： 任一置换均可表示为有限个不交的轮换之积，且在不计顺序的情况下这些轮换的组合是唯一的． 〔证明〕： 记 $\\mathfrak S_n$ 是 $n$ 元集合 $X$ 上的对称群，对任一 $\\sigma\\in\\mathfrak S_n$，定义等价关系 $\\sim$：   $a\\sim b\\;\\Leftrightarrow\\;\\exists\\;k\\in\\mathbb Z,\\quad \\sigma^k(a)=b\\quad$ $(a,\\,b\\in X)$， 则 $X=\\displaystyle\\bigsqcup_{i=1}^s\\;[r_i]$，其中 $[r_i]$ 为 $r_i\\in X$ 关于 $\\sim$ 的等价类． $k_i:=|[r_i]|$，则对于代表元 $r_i\\in[r_i]$，$k_i$ 是使得 $\\sigma^{k}(r_i)=r_i$ 的最小正整数 $k$，亦即 $[r_i]=\\{\\sigma^k(r_i)\\mid 0\\leq k\\leq k_1\\}$． 令 $\\sigma_i=\\displaystyle\\prod_{k=0}^{k_i-1}\\sigma^k(r_i)$（依次右乘）， 则 $\\sigma=\\displaystyle\\prod_{i=1}^s \\sigma_i$（左乘右乘均可），且唯一性易证． ■ 〔定义〕： 将 $\\mathfrak S_n$ 上的置换表示为若干个轮换之积（位置不变的元素视为经历恒等变换），若其中长为 $\\ell$ 的轮换共有 $\\lambda_\\ell$ 个（$1\\leq \\lambda\\leq n$），则称置换的型（type）为 $1^{\\lambda_1}2^{\\lambda_2}\\cdots n^{\\lambda_n}$，特别地，若 $\\lambda_i=0$，则 $i^{\\lambda_i}=i^0$ 部分可略去． 〔例〕： 考虑 $\\mathfrak S_7$ 中的置换 $(2\\;\\;3\\;\\;1\\;\\;5\\;\\;4\\;\\;6\\;\\;7)=(1\\;\\;2\\;\\;3)(4\\;\\;5)(6)(7)=(1\\;\\;2\\;\\;3)(4\\;\\;5)$，可知其型为 $1^22^13^1$． 〔定理 8.4〕： 设 $\\sigma,\\,\\sigma’\\in\\mathfrak S_n$，则有   $\\sigma$ 与 $\\sigma’$ 共轭 $\\Leftrightarrow$ $\\sigma$ 与 $\\sigma’$ 的型相同． 〔证明〕： 充分性： 若 $\\sigma$ 与 $\\sigma’$ 共轭，则 $\\exists\\;\\tau\\in\\mathfrak S_n,\\quad \\sigma’=\\tau\\sigma\\tau^{-1}$，从而可将 $\\sigma$ 表示为不交的轮换之积：   $\\sigma=(a\\;\\;b\\;\\;\\cdots\\;\\;c)\\cdots(\\alpha\\;\\;\\beta\\;\\;\\cdots\\;\\;\\gamma)$， 由于 $(\\tau\\sigma\\tau^{-1})(\\tau(a))=\\tau\\sigma(a)=\\tau(b)$，所以   $\\sigma’=\\tau\\sigma\\tau^{-1}$ $=(\\tau(a)\\;\\;\\tau(b)\\;\\;\\cdots\\;\\;\\tau(c))\\cdots(\\tau(\\alpha)\\;\\;\\tau(\\beta)\\;\\;\\cdots\\;\\;\\tau(\\gamma))$， 于是可知 $\\sigma$ 与 $\\sigma’$ 的型相同． 必要性： 设 $\\sigma$ 与 $\\sigma’$ 的型相同，即   $\\sigma=(a\\;\\;b\\;\\;\\cdots\\;\\;c)\\cdots(\\alpha\\;\\;\\beta\\;\\;\\cdots\\;\\;\\gamma)$，   $\\sigma’=(a’\\;\\;b’\\;\\;\\cdots\\;\\;c’)\\cdots(\\alpha’\\;\\;\\beta’\\;\\;\\cdots\\;\\;\\gamma’)$， 又令 $\\tau=\\begin{pmatrix} a & b & \\cdots & c & \\cdots & \\alpha & \\beta & \\cdots & \\gamma \\\\ a’ & b’ & \\cdots & c’ & \\cdots & \\alpha’ & \\beta’ & \\cdots & \\gamma’\\end{pmatrix}$，则 $\\tau\\sigma\\tau^{-1}=\\sigma’$，得证． ■ 型为 $1^{\\lambda_1}2^{\\lambda_2}\\cdots n^{\\lambda_n}$ 的置换之共轭类记为 $[1^{\\lambda_1}2^{\\lambda_2}\\cdots n^{\\lambda_n}]$． 〔例〕： $\\mathfrak S_3$ 中所有共轭类如下： $[1^3]:\\qquad I$ $[1^12^1]:\\;\\;\\;(1\\;\\;2),\\;(1\\;\\;3),\\;(2\\;\\;3)$ $[3^1]:\\quad\\;\\;\\;(2\\;\\;3\\;\\;1),\\;(3\\;\\;1\\;\\;2)$ Catervae Simplices 单群〔定义〕： 若非平凡的群 $G$ 只有平凡的子群，则称 $G$ 为单群（simple group）． 除去质数阶的群（理所当然都是循环群），其余单群均为非阿贝尔群． 单群之于群论如同质数之于数论，除却平凡群，其余的群均可以以某种方式“分解”成特定的单群（这一事实称为 Jordan–Hölder 定理）．然而确定所有单群的种类并不如单群本身这么简单．上百名学者以数万页的文章，才终在 2004 年完成了所有有限单群的分类工作，而这一历程跨越了近半世纪． 相关视频推荐： 21:58 【官方双语】群论与808017424794512875886459904961710757005754368000000000 29.4万 2095 视频 3Blue1Brown 〔定理 8.5〕： 当 $n\\geq 5$，交错群 $\\mathfrak A_n$ 为单群． 该定理的证明较长，此处从略． 〔推论〕： 当 $n\\geq 5$，$\\mathfrak A_n$ 是 $\\mathfrak S_n$ 的唯一非平凡正规子群． 〔证明〕： （以下均以 $n\\geq 5$ 为前提） 已知 $\\mathfrak A_n\\unlhd \\mathfrak S_n$， 设 $N\\unlhd \\mathfrak S_n,\\;N\\neq\\{e\\}$， $N\\leq \\mathfrak A_n\\;\\Rightarrow\\;N\\unlhd \\mathfrak A_n\\;\\Rightarrow\\;N=\\mathfrak A_n$． 否则即 $N$ 包含奇置换，于是有 $N\\cap\\mathfrak A_n\\unlhd \\mathfrak A_n$，且 $\\mathfrak A_n/(N\\cap\\mathfrak A_n)\\cong (N\\cdot\\mathfrak A_n)/N=\\mathfrak S_n/N$(3)， （第二同构定理） 从而由计数公式有 $|N\\cap\\mathfrak A_n|=\\dfrac{|N|\\cdot|\\mathfrak A_n|}{|\\mathfrak S_n|}=\\dfrac{|N|}2$． 而又已知 $N\\cap\\mathfrak A_n\\unlhd \\mathfrak A_n$，且 $\\mathfrak A_n$ 为单群，所以 $N\\cap\\mathfrak A_n$ 必然等同于 $\\mathfrak A_n$ 或 $\\{e\\}$ 其一． 若为前者，则 $|N|=2|N\\cap\\mathfrak A_n|=2|\\mathfrak A_n|=|\\mathfrak S_n|$，即 $N=\\mathfrak S_n$． 若为后者，则 $|N|=2$，而显然地，$\\mathfrak S_n$ 中不含 $2$ 阶子群(4)，矛盾． 综上，$N$ 等于 $\\mathfrak S_n$ 或 $\\mathfrak A_n$，因此 $\\mathfrak A_n$ 是 $\\mathfrak S_n$ 的唯一非平凡正规子群． $\\mathfrak A_2=\\{I\\}\\cong\\{e\\}$； $\\mathfrak A_3=\\{I,\\,(1\\;\\;2)(1\\;\\;3),\\,(1\\;\\;3)(1\\;\\;2)\\}\\cong\\mathbb Z_3$； $\\{I,\\,(1\\;\\;2)(3\\;\\;4),\\,(1\\;\\;3)(2\\;\\;4),\\,(1\\;\\;4)(2\\;\\;3)\\}\\lhd\\mathfrak A_4$ ，因此 $\\mathfrak A_4$ 不是单群． 前文中曾指出关于正规子群的一个重要事实，即在 $N\\leq M\\leq G$ 且 $N\\unlhd M,\\;M\\unlhd G$ 的前提下，不能保证 $N\\unlhd G$ 总是成立，换言之，正规子群的关系是非传递的．其中一个典型的反例可以构造如下： 令 $A=\\{I,\\,(1\\;\\;2)(3\\;\\;4)\\}$，该群同构于 $2$ 阶循环群． 令 $K=\\{I,\\,(1\\;\\;2)(3\\;\\;4),\\,(1\\;\\;3)(2\\;\\;4),\\,(1\\;\\;4)(2\\;\\;3)\\}$，该群同构于 Klein 四元群． 由于 $K$ 是阿贝尔群，且 $A<K$，因此 $A\\lhd K$，而前文已提及，$K\\lhd \\mathfrak A_4$，然而 $A\\lhd \\mathfrak A_4$ 并不成立，比如考虑 $(1\\;\\;2\\;\\;3)\\in\\mathfrak A_4$，则 $(1\\;\\;2\\;\\;3)A=\\{(1\\;\\;2\\;\\;3),\\,(1\\;\\;3\\;\\;4)\\}$，而 $A(1\\;\\;2\\;\\;3)=\\{(1\\;\\;2\\;\\;3),\\,(2\\;\\;4\\;\\;3)\\}$，$(1\\;\\;3\\;\\;4)\\neq(2\\;\\;4\\;\\;3)$，所以 $(1\\;\\;2\\;\\;3)A\\neq A(1\\;\\;2\\;\\;3)$． 需要注意的一点是，同构并不保持对同一群的正规性，亦即 $A\\unlhd G,\\;B\\leq G,\\;A\\cong B$ 并不能保证 $B\\unlhd G$．对此事实的严谨说明暂且不甚简易，而简言之即同构只保证了群的“内在”结构一致，正规性却是作为子群对于另一群而言的．作为子群时，互相同构的群并不总是具有同样的地位．如上的 $K$ 是 Klein 四元群在 $\\mathfrak S_4$ 中的一种表示形式，可以证明 $K\\lhd \\mathfrak S_4$，然而其他表示，例如 $K’:=\\{I,\\,(1\\;\\;2),\\,(3\\;\\;4),\\,(1\\;\\;2)(3\\;\\;4)\\}$ 虽然满足了 $K’\\cong V,\\;K’\\leq\\mathfrak S_4$，却不满足 $K’\\lhd \\mathfrak S_4$． Annotationes 注释 (1). 轮换，以及下文的置换亦可考虑无限集上的形式，而此处只考虑有限集的情况． ↩ (2). $\\mathfrak S$ 是字母 S 的 Fraktur 字体（通常也称为哥特体）形式，下文的 $\\mathfrak A$ 则是字母 A 的相应形式． ↩ (3). $N$ 中包含至少一个奇置换，则可以通过 $\\mathfrak A_n$ 中的偶置换相乘得到一个对换 $(i\\;\\;j)$，不难证明如此乘积可以得到 $1\\leq n_0\\leq n,\\;n\\neq i$ 的任一形如 $(i\\;\\;n_0)$ 的对换，这些对换组成了 $\\mathfrak S_n$ 的生成元系（参照 Th. 8.1）． ↩ (4). 若存在 $2$ 阶子群，其必然含有恒等变换为单位元，而另一元素并非恒等变换从而必然违反可逆性． ↩ 前：抽象代数笔记 〇七：同态与同构定理 后：抽象代数笔记 〇九：群作用","categories":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/categoriae/Mathematica/"}],"tags":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Mathematica/"},{"name":"Algebra","slug":"Algebra","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra/"},{"name":"Algebra-Abstracta","slug":"Algebra-Abstracta","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra-Abstracta/"},{"name":"Theoria-Catervarum","slug":"Theoria-Catervarum","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Theoria-Catervarum/"}]},{"title":"De Algebra Abstracta 07 // 抽象代数笔记 〇七：同态与同构定理","slug":"De-Algebra-Abstracta-07","date":"2021-05-31T15:32:43.000Z","updated":"2023-12-05T15:25:30.176Z","comments":true,"path":"2021/05/31/De-Algebra-Abstracta-07.html","link":"","permalink":"https://kotobasuke.github.io/2021/05/31/De-Algebra-Abstracta-07","excerpt":"","text":"前：抽象代数笔记 〇六：正规子群与商群 后：抽象代数笔记 〇八：置换群与单群 Imago & Nucleus 像与核〔定义〕： 设 $f:G\\to H$ 是群之间的映射： $f(G):=\\{f(g)\\mid g\\in G\\}$ 称为群 $G$ 在映射 $f$ 下的像（image），即 $G$ 中所有元素经过映射 $f$ 所得结果所成集合，它是 $H$ 的子集．特别地，若 $f$ 为群同态，则称之为同态 $f$ 的像，记为 $\\operatorname{Im} f$． 设 $A\\subseteq H$，则 $\\{g\\in G\\mid f(g)\\in A\\}$ 称为子集 $A$ 在映射 $f$ 下的原像、前像（preimage）或逆像（inverse image）． 若 $f$ 为群同态，$\\{g\\in G\\mid f(g)=e_H\\}$ 称为同态 $f$ 的核（kernel），记为 $\\ker f$．对于一个 $G$ 到 $H$ 的同态，其核即 $H$ 中单位元所成单元素集合 $\\{e_H\\}$ 在映射 $f$ 下的原像． Theoremata Homomorphismi同构定理〔定理 7.1〕 同态基本定理（fundamental theorem on isomorphism）或第一同构定理（first isomorphism theorem）(1)：（本段下文均记 $e$ 为 $G$ 的单位元，$e’$ 为 $H$ 的单位元．） 设 $G,\\,H$ 为群，$\\varphi:G\\to H$ 为群同态，则有   (α) $\\ker \\varphi\\unlhd G$；   (β) $\\operatorname{Im}\\varphi\\leq H$；   (γ) $\\operatorname{Im}\\varphi\\cong G/\\ker \\varphi$． 〔证明〕 ： (α)： $\\forall\\;a,\\,b\\in\\ker \\varphi,\\quad \\varphi(a)=\\varphi(b)=e’$， 因为 $\\varphi(a^{-1})=\\varphi(a)^{-1}=e’$ （群同态的性质）， 所以 $a^{-1}\\in\\ker \\varphi$， 又有 $\\varphi(a^{-1}b)=\\varphi(a^{-1})\\varphi(b)=e’e’=e’$， 从而 $a^{-1}b\\in\\ker \\varphi$， 得知 $\\ker \\varphi\\leq G$． 又 $\\forall\\;g\\in G,\\, a\\in\\ker \\varphi,$  $\\varphi(g^{-1}ag)=\\varphi(g^{-1})\\cdot e’\\cdot\\varphi(g)=e’$ $=\\varphi(g)\\cdot e’\\cdot\\varphi(g^{-1})=\\varphi(gag^{-1})$，  所以 $g^{-1}ag,\\,gag^{-1}\\in\\ker \\varphi$， 从而 $g^{-1}(\\ker \\varphi)g\\subseteq\\ker \\varphi$，且 $g(\\ker \\varphi)g^{-1}\\subseteq \\ker \\varphi$， 于是又有 $\\ker \\varphi\\subseteq g^{-1}(\\ker \\varphi)g$， 由此得 $\\forall\\;g\\in G,\\quad\\ker \\varphi=g^{-1}(\\ker \\varphi)g$，即得证 $\\ker \\varphi\\unlhd G$． (β)： $\\forall\\;a,\\,b\\in\\operatorname{Im}\\varphi,$  $\\exists\\;\\alpha,\\,\\beta\\in G,\\quad\\varphi(\\alpha)=a,\\;\\varphi(\\beta)=b$，  则 $\\exists\\;\\alpha^{-1}\\in G,\\quad\\varphi(\\alpha^{-1})=\\varphi(\\alpha)^{-1}=a^{-1}\\in\\operatorname{Im}\\varphi$，  又 $\\exists\\;\\alpha^{-1}\\beta\\in G,\\quad\\varphi(\\alpha^{-1}\\beta)=a^{-1}b\\in\\operatorname{Im}\\varphi$， 得证 $\\operatorname{Im}\\varphi\\leq H$． (γ)： 定义映射 $\\overline\\varphi:G/\\ker \\varphi\\to\\operatorname{Im}\\varphi,\\quad\\overline g\\mapsto\\varphi(g)$，其中 $\\overline g:=g(\\ker \\varphi)=(\\ker \\varphi)g\\in G/\\ker \\varphi$． 设 $g’\\in g(\\ker \\varphi)$，则 $\\exists\\;k\\in\\ker \\varphi,\\quad g’=gk$， 于是 $\\overline\\varphi(\\overline{g’})=\\varphi(g’)=\\varphi(gk)=\\varphi(g)\\varphi(k)=\\varphi(g)=\\overline\\varphi(\\overline g)$， 由此可知该映射定义良好． 又可证 $\\overline\\varphi$ 为群同态：  $\\overline\\varphi(\\overline g\\cdot\\overline{g’})=\\overline\\varphi(\\overline{gg’})=\\varphi(gg’)=\\varphi(g)\\varphi(g’)=\\overline\\varphi(g)\\overline\\varphi(g’)$． 又有 $\\forall\\;a’\\in\\operatorname{Im}\\varphi,\\;\\exists\\;a\\in G,\\quad \\varphi(a)=a’$， 于是 $\\overline\\varphi(\\overline a)=\\varphi(a)=a’$， 得证 $\\overline\\varphi$ 为满同态． 又设 $a,\\,b\\in G$，若 $\\overline a,\\,\\overline b\\in G/\\ker \\varphi$，且 $\\overline\\varphi(\\overline a)=\\overline\\varphi(\\overline b)$，则 $\\varphi(a)=\\varphi(b)$， 从而 $\\varphi(a^{-1}b)=\\varphi(a^{-1})\\varphi(b)=e’$， 进而 $a^{-1}b\\in\\ker \\varphi$，且 $a(\\ker \\varphi)=b(\\ker \\varphi)$， 即 $\\overline a=\\overline b$，得证 $\\overline\\varphi$ 为单同态． 综上，$\\overline\\varphi$ 为群同构，即得证 $\\operatorname{Im}\\varphi\\cong G/\\ker \\varphi$． ■ 这里所定义的映射 $\\overline\\varphi$ 称为典范同构（canonical isomorphism）．另外，若设映射 $\\psi:G/\\ker \\varphi\\to H$，则可证 $\\psi$ 为单同态，称为典范单同态（canonical monomorphism）． 〔同态基本定理的推论〕 ： 设 $\\varphi:G\\to H$ 是群同态，则   (α) $\\varphi$ 为单同态 $\\Leftrightarrow$ $\\ker \\varphi=\\{e\\}$；   (β) $\\varphi$ 为满同态 $\\Leftrightarrow$ 存在典范同构 $\\overline\\varphi:G/\\ker \\varphi\\overset{\\Large\\sim}\\to H$． 〔证明〕 ： (α)： 〔$\\Rightarrow$〕显然． 〔$\\Leftarrow$〕： 由于 $\\forall\\;a,\\,b\\in G,\\quad\\varphi(a)=\\varphi(b)\\;\\Rightarrow\\;\\varphi(a^{-1}b)=e’$， 所以 $a^{-1}b\\in\\ker \\varphi=\\{e\\}$， 于是 $a^{-1}b=e$，即 $a=b$，得证 $\\varphi$ 为单同态． (β)： 此时 $\\operatorname{Im}\\varphi=H$，显然得证（同态基本定理 (γ)）． ■ 同态基本定理在线性空间上的表现形式即为秩–零化度定理（rank–nullity theorem）． 〔例〕 ： 记 $a\\in\\mathbb Z$ 的模 $n$ 同余类为 $[a]$，映射 $f:\\mathbb Z\\to\\mathbb Z_n,\\quad a\\mapsto[a]$ 为加法群满同态，且 $\\ker f=n\\mathbb Z:=\\{nk\\mid k\\in\\mathbb Z\\}$（即 $n$ 的全体倍数所成集合）．于是有典范同构 $\\mathbb Z/n\\mathbb Z\\cong \\mathbb Z_n$，因此在很多场合下会把整数模 $n$ 加法群 $\\mathbb Z_n$ 记作 $\\mathbb Z/n\\mathbb Z$． 设映射 $\\delta:\\mathrm{GL}_n(\\mathbb R)\\to\\mathbb R\\setminus\\{0\\},\\quad 𝑴\\mapsto\\det( 𝑴)$ 为乘法群满同态，且 $\\ker \\delta=\\mathrm{SL}_n(\\mathbb R)\\lhd\\mathrm{GL}_n(\\mathbb R)$，且 $\\mathrm{GL}_n(\\mathbb R)/\\mathrm{SL}_n(\\mathbb R)\\cong\\mathbb R\\setminus\\{0\\}$． 〔定理 7.2〕对应定理（correspondence theorem），格定理（lattice theorem）或第四同构定理（fourth isomorphism theorem）(2)： 设 $N\\unlhd G$，$\\overline G:=G/N$，$\\mathscr M=\\{M\\mid N\\leq M\\leq G\\}$ （“介于”$G$ 与 $N$ 的所有子群之集族），$\\overline{\\mathscr M}=\\{H\\mid H\\leq \\overline G\\}$．则映射 $f:\\mathscr M\\to\\overline{\\mathscr M},\\quad M\\mapsto\\overline M:=M/N$ 为双射，且对于任意 $M\\in \\mathscr M$，有以下命题成立：   (α) $M\\unlhd G\\;\\Leftrightarrow\\; \\overline M\\unlhd \\overline G$ （正规保留性）；   (β) $\\forall\\;M’\\in\\mathscr M,\\quad M\\leq M’\\;\\Leftrightarrow\\; \\overline M\\leq \\overline {M’}$ （偏序保留性）；   (γ) $\\forall\\;M’\\in\\mathscr M,\\;M\\leq M’,\\quad[M’:M]=[\\overline{M’}:\\overline M]$ （指数保留性）． 〔证明〕： 不难证明，$\\overline M\\leq\\overline G$ 成立． 若要定义映射 $h:\\overline{\\mathscr M}\\to \\mathscr M,\\quad \\overline{M}\\mapsto\\{g\\in G\\mid gN\\in \\overline M\\}$，需要验证 $h(\\overline M)\\leq G$：   若 $\\overline M\\in\\overline{\\mathscr M}$，设任意 $a,\\,b\\in h(\\overline M)$，则有 $aN,\\,bN\\in \\overline M$．   因为 $\\overline M\\leq \\overline G$，所以对于所有 $aN,\\,bN\\in\\overline M$，都有 $(a^{-1}b)N\\in\\overline M$，   所以 $a^{-1}b\\in h(\\overline M)$，这就验证了 $h(\\overline M)\\leq G$． $\\forall\\;g\\in N,\\quad gN=N\\in \\overline M$， 所以 $g=h(\\overline M)$，从而 $N\\subseteq h(\\overline M)$， 进而可得   $fh(\\overline M)=f(\\{g\\in G\\mid gN\\in \\overline M\\})=\\overline M$，   $hf(M)=h(\\overline M)=M$， 于是可知 $f$ 与 $h$ 是互逆的映射，所以 $f$ 为双射． 在此基础上可以证明 (α)：（需要注意 $N\\unlhd G,\\;N\\leq M\\leq G\\;\\Rightarrow\\;N\\unlhd M$）   $\\begin{aligned} M\\unlhd G\\;&\\Leftrightarrow\\;\\forall\\;g\\in G,\\quad gM=Mg \\\\\\phantom{\\dfrac11}&\\Leftrightarrow\\;\\forall\\;gN\\in \\overline G,\\quad gN\\overline M=\\overline MNg\\\\&\\Leftrightarrow\\;\\overline M\\unlhd \\overline G.\\end{aligned}$ (β) 显然成立． (γ)： 设 $M’=\\displaystyle\\bigsqcup_{i=1}^k\\;p_iM\\;(p\\in M’)$， 而 $\\overline{M’}=\\{\\mu N\\mid \\mu\\in M’\\}$，$\\overline M=\\{mN\\mid m\\in M\\}$， 对于任一 $\\mu\\in M’$，均存在 $m\\in M,\\;p\\in M’$ 使得 $\\mu=pm$， 于是 $\\overline{M’}=\\{p_imN=p_i\\overline M\\mid m\\in M,\\,p_i\\in M’,\\;1\\leq i\\leq k\\}$ $=\\displaystyle\\bigsqcup_{i=1}^k\\;p_imN=\\bigsqcup_{i=1}^k\\;p_i\\overline M$， 所以 $[M’:M]=[\\overline{M’}:\\overline M]=k$． ■ 〔定理 7.3〕 第二同构定理（second isomorphism theorem）： 设 $N\\unlhd G,\\;H\\unlhd G$，则   $(H\\cap N)\\unlhd H$，$N\\unlhd NH\\leq G$，$NH/N\\cong H/(H\\cap N)$． 〔证明〕： $N\\unlhd G\\;\\Rightarrow\\; \\forall\\;h\\in H,\\quad hN=Nh$， 所以 $\\forall\\;n,\\,n’\\in N,\\;h,\\,h’\\in H,$     $(nh)^{-1}(n’h’)=h^{-1}n^{-1}n’h’=(n^{-1}n’)(h^{-1}h’)\\in NH$， 所以 $NH\\leq G$， 因为 $N\\unlhd G$，所以 $N\\subset NH\\subset G$，进而 $N\\unlhd NH$． 考虑映射 $f:H\\to NH/N,\\quad h\\mapsto Nh$(3)， 易证该映射为满同态，且 $\\ker f=\\{h\\in H\\mid f(h)=N\\}=\\{h\\in H\\mid h\\in N\\}=H\\cap N$， 由同态基本定理，则有 $H\\cap N=\\ker f\\unlhd H$，$NH/N\\cong H/(H\\cap N)$． ■ 〔定理 7.4〕 第三同构定理（third isomorphism theorem）： 设 $M,\\,N\\unlhd G,\\;N\\leq M$， 则 $G/M\\cong (G/N)/(M/N)$ （或写作 $\\dfrac{G/N}{M/N}$）． （注意 $N\\unlhd G,\\;N\\leq M\\;\\Rightarrow\\;N\\unlhd M$，且由对应定理，$M/N\\unlhd G/N$．） 〔证明〕： 设映射 $f: G/N\\to G/M,\\quad gN\\mapsto gM$，验证该映射定义良好：   $\\forall\\;g,\\,g’\\in G,$     $gN=g’N\\;\\Rightarrow\\;g^{-1}g\\in N\\subseteq M$ $\\Rightarrow\\;g^{-1}g\\in M\\;\\Rightarrow\\;gM=g’M$． 进而可知 $f$ 为满同态，于是对任意 $g\\in G$，   $gN\\in\\ker f\\;\\Leftrightarrow\\;gM=M$ $\\Leftrightarrow\\; g\\in M\\;\\Leftrightarrow\\; gN\\in M/N$， 从而 $\\ker f=M/N$， 由同态基本定理有 $(G/N)/\\ker f\\cong \\operatorname{Im} f$， 即 $(G/N)/(M/N)\\cong G/M$． ■ Annotationes 注释 (1). 与同构相关的定理，其命名在各种文献中有所差异，尤其是使用序号者．这里采用比较常用的命名． ↩ (2). 对应定理有更普遍的表述，这里考虑了其一种情况． ↩ (3). $NH/N=\\{Nnh\\mid nh\\in NH\\}=\\{Nh\\mid h\\in H\\}$． ↩ 前：抽象代数笔记 〇六：正规子群与商群 后：抽象代数笔记 〇八：置换群与单群","categories":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/categoriae/Mathematica/"}],"tags":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Mathematica/"},{"name":"Algebra","slug":"Algebra","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra/"},{"name":"Algebra-Abstracta","slug":"Algebra-Abstracta","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra-Abstracta/"},{"name":"Theoria-Catervarum","slug":"Theoria-Catervarum","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Theoria-Catervarum/"}]},{"title":"De Algebra Abstracta 06 // 抽象代数笔记 〇六：正规子群与商群","slug":"De-Algebra-Abstracta-06","date":"2021-05-11T12:54:44.000Z","updated":"2023-12-05T15:25:15.771Z","comments":true,"path":"2021/05/11/De-Algebra-Abstracta-06.html","link":"","permalink":"https://kotobasuke.github.io/2021/05/11/De-Algebra-Abstracta-06","excerpt":"","text":"前：抽象代数笔记 〇五：共轭、正规化子与中心化子 后：抽象代数笔记 〇七：同态与同构定理 Succatervae Normales 正规子群〔定义〕： 设 $G$ 为群，$N\\leq G$， 若 $\\forall\\;g\\in G,\\quad g^{-1}Ng=N$，则称 $N$ 为 $G$ 的正规子群（normal subgroup），记为 $N\\unlhd G$． $G$ 的平凡子群 $\\{e\\}$ 与 $G$ 本身总是 $G$ 的正规子群，称为其平凡正规子群（trivial normal subgroup）． 特别地，若 $N\\unlhd G$ 且 $N\\neq G$，则称 $N$ 为 $G$ 的真正规子群（proper normal subgroup），记为 $N\\lhd G$．(1) 〔定理 6.1〕： 设 $N$ 是 $G$ 的子群，以下命题彼此等价：   (α) $N\\unlhd G$，即 $\\forall\\;g\\in G,\\quad g^{-1}Ng=N$ （共轭不变）；(2)   (β) $\\mathrm N_G(N)=G$ （群自身是其正规子群的正规化子）；   (γ) $N$ 自身是其在 $G$ 中唯一共轭子群；(3)   (δ) $\\forall\\;g\\in G,\\;n\\in N,\\quad g^{-1}ng\\in N$ （正规子群包含其中所有元素的共轭）；   (ε) $\\forall\\;g\\in G,\\quad gN=Ng$ （左右陪集相等）；   (ζ) $G$ 对于 $N$ 的任一左陪集均为右陪集，反之亦然；   (η) $N$ 是 $G$ 中若干共轭类之并． 〔证明〕： (α) $\\Leftrightarrow$ (β)： $\\forall\\;g\\in G,\\quad g^{-1}Ng=N\\;\\Leftrightarrow\\;\\mathrm N_G(N)=G$． (β) $\\Leftrightarrow$ (γ)： 因为 $N\\leq G$，所以 $N$ 的共轭子群数量为 $[G:\\mathrm N_G(N)]=[G:G]=1$（Th. 5.2）；〔$\\Leftarrow$〕显然． (α) $\\Leftrightarrow$ (δ) 显然． (α) $\\Leftrightarrow$ (ε)： $g^{-1}Ng=N\\;\\Leftrightarrow\\;Ng=gN$． (ε) $\\Leftrightarrow$ (ζ)：  〔$\\Rightarrow$〕显然；  由 (δ) 有，$\\forall\\;g\\in G,\\;\\exists\\;g’\\in G,\\quad gN=Ng’$，  因为 $e\\in N$，所以 $g=ge\\in gN=Ng’$，  又因为 $g=eg\\in Ng$，所以 $Ng=Ng’=gN$． (δ) $\\Leftrightarrow$ (η)：  记 $n\\in N$ 的共轭类为 $[n]$，因为 $\\forall\\;n\\in N,\\quad [n]\\subseteq N$，所以 $\\displaystyle\\bigsqcup_{n\\in N}\\;[n]\\subseteq N$，  又因为 $\\forall\\;n\\in N,\\quad n\\in [n]$，所以 $N\\subseteq\\displaystyle\\bigsqcup_{n\\in N}\\;[n]$，  进而得证 $\\displaystyle\\bigsqcup_{n\\in N}\\;[n]=N$；  〔$\\Leftarrow$〕显然． ■ 〔例〕： 任一阿贝尔群 $G$ 的所有子群都是其正规子群，因为 $\\forall\\;H\\leq G,\\,g\\in G,\\quad gH=Hg$． 任一群 $G$ 的中心 $\\mathrm Z(G)$ 都是其正规子群，可由中心的定义得知． 设 $G$ 为群，$N<M<G$，则 $N\\lhd G\\;\\Rightarrow\\;N\\lhd M$ 必然成立，而 $N\\lhd M,\\;M\\lhd G\\;\\Rightarrow\\; N\\lhd G$ 不一定成立，即正规子群的关系是非传递的． 前一条的证明可由正规子群的定义显然得出，而后一条可以通过构造反例证明（将在后续的文章给出）． 〔定理 6.2〕： $N\\unlhd G\\;\\Leftrightarrow$ 存在群同态 $\\varphi:G\\to H$，使得 $N=\\operatorname{Ker} \\varphi$． 〔证明〕： 〔$\\Rightarrow$〕：定义映射 $\\pi:G\\to G/N,\\quad a\\mapsto aN$，易证该映射为群同态，则显然 $\\operatorname{Ker} \\pi=N$． 〔$\\Leftarrow$〕： 若 $N=\\operatorname{Ker}\\varphi$，则 $\\forall\\;g\\in G,\\;n\\in N$，有   $\\varphi(g^{-1}ng)=\\varphi(g)^{-1}\\varphi(n)\\varphi(g)$ $=\\varphi(g)^{-1}e\\varphi(g)=e$， 从而得知 $g^{-1}Ng\\subseteq\\operatorname{Ker} \\varphi=N$． 同理可证 $gNg^{-1}\\subseteq\\operatorname{Ker}\\varphi=N$，即 $N\\subseteq=g^{-1}Ng$， 所以 $N=g^{-1}Ng$，即得证 $N\\unlhd G$． ■ 不难看出，这里所定义的映射 $\\pi$ 是满同态，称为典范满同态（canonical epimorphism）． Catervae Quotientis 商群设 $N\\unlhd G$，记 $\\overline a=aN=Na$（群对其正规子群的左右陪集相等），集合 $\\overline G=\\{\\overline a\\mid a\\in G\\}$． 定义其上的二元运算 $\\overline a\\cdot \\overline b:=\\overline{ab}$，则可得   若 $\\overline\\alpha=\\overline a,\\;\\overline\\beta=\\overline b$，即 $\\alpha N=aN,\\quad\\beta N=bN$，   则 $\\overline{\\alpha\\beta}=\\alpha\\beta N=\\alpha\\beta NN$(4)$=\\alpha N\\beta N=aNbN=\\overline{ab}$， 由此可知该运算定义良好． 可以判断，集合 $\\overline G$ 对于该运算形成群： （封闭性）： 因为 $\\forall\\;a,\\,b\\in G,\\quad ab\\in G$，所以 $\\forall\\;\\overline a,\\,\\overline b,\\quad \\overline{ab}\\in\\overline G$； （结合性）： $\\forall\\;\\overline a,\\,\\overline b,\\,\\overline c\\in\\overline G,\\quad$$(\\overline a\\cdot\\overline b)\\cdot\\overline c=\\overline{(ab)c}=((ab)c)N=(a(bc))N=\\overline{a(bc)}=\\overline a\\cdot(\\overline b\\cdot\\overline c)$； （单位元）：   因为 $e\\in G$，所以 $\\overline e=eN=N\\in\\overline G$，   $\\forall\\;a\\in G,\\quad$$\\overline a\\cdot\\overline e=\\overline{ae}=\\overline a=\\overline{ea}=\\overline e\\cdot\\overline a$； （逆元）：   $\\forall\\;a\\in G,\\quad$$\\overline{a^{-1}}\\cdot\\overline a=\\overline{a^{-1}a}=\\overline e=\\overline{aa^{-1}}=\\overline a\\cdot\\overline{a^{-1}}$，   由此得，$\\forall\\;a\\in G,\\;\\exists\\;\\overline{a^{-1}}=\\overline a^{-1}\\in G$． 由此，〔定义〕： $\\overline G=\\{aN=Na\\mid a\\in G\\}$ 称为群 $G$ 对正规子群 $N$ 的商群（quotient group）或因子群（factor group），记作 $G/N$ (5)．$G/N$ 是关于正规子群 $N$ 的所有左陪集或右陪集所成的集族． 若 $G$ 为有限群，则 $|G/N|=[G:N]=|G|/|N|$． 〔例〕： 考虑实数加法群 $(\\mathbb R,\\,+)$，它是阿贝尔群，所以其任一子群均为正规子群．取 $2\\mathbb R:=\\{2k\\mid k\\in\\mathbb R\\}$，有 $2\\mathbb R\\lhd \\mathbb R$．$\\mathbb R$ 对于该子群的陪集形式为 $\\ell+2\\mathbb R=2\\mathbb R+\\ell=\\{2k+\\ell\\mid k,\\,\\ell\\in\\mathbb R\\}=\\mathbb R\\quad(\\ell\\in\\mathbb R)$，于是商群 $\\mathbb R/2\\mathbb R=\\{\\mathbb R\\}$ 为平凡群．又，$\\{0\\}$ 是 $(\\mathbb R,\\,+)$ 的一个平凡正规子群，$\\mathbb R$ 对其陪集形式为 $k+\\{0\\}=\\{0\\}+k=\\{k\\}\\quad(k\\in\\mathbb R)$，于是商群 $\\mathbb R/\\{0\\}=\\{\\{k\\mid k\\in\\mathbb R\\}\\}$ 亦为平凡群． 考虑 $\\mathbb R$ 上的 $n$ 次一般线性群 $\\mathrm{GL}_n(\\mathbb R)$，其中心为 $n$ 阶实数量矩阵所成的子群 $\\{k 𝑰_n\\mid k\\in\\mathbb R\\setminus\\{0\\}\\}=:N$，且该子群为正规子群．$\\mathrm{GL}_n(\\mathbb R)$ 对于子群 $N$ 的陪集形式为 $ 𝑴N=N 𝑴=\\{k 𝑴\\mid k\\in\\mathbb R\\setminus\\{0\\},\\;𝑴\\in \\mathrm{GL}_n\\mathbb(R)\\}$，即某一 $n$ 阶可逆实方阵与所有非零实数的乘积所成集合，于是商群 $\\mathrm{GL}_n(\\mathbb R)/N=\\{\\{k 𝑴\\mid k\\in\\mathbb R\\setminus\\{0\\}\\}\\mid 𝑴\\in\\mathrm{GL}_n(\\mathbb R)\\}$． Quadri-Caterva Kleini Klein 四元群〔定义〕： 设集合 $V=\\{e,\\,a,\\,b,\\,c\\}$ 关于乘法形成群， $e$ 为单位元，且有   $\\forall\\;x\\in V,\\quad x^2=e$，   $ab=ba=c$， 这样的群 $V$ 称为 Klein（克莱因）(6)四元群（Klein four-group，或以德语原名 Vierergruppe “四之群” 称之），一些资料中也会记作 $K_4$． 随之而有群论中的一个重要事实，任一 $4$ 阶群均同构于 Klein 四元群或 $4$ 阶循环群其一，即犹言 $4$ 阶群本质上只有 Klein 四元群与 $4$ 阶循环群两个，这同时也说明 Klein 四元群是阶数最低的非循环群（质数阶群均为循环群）． 对上述事实可以证明如下： 设 $G$ 为 $4$ 阶群，记 $4$ 阶循环群为 $C_4$， 若存在 $g\\in G,\\;|g|=4$，则 $G\\cong C_4$． 否则其所有非单位元的阶均为 $2$， （Th. 3.4） 从而任取非单位元 $a\\in G$，有 $a^2=e$，且 $a=a^{-1}$， 于是 $\\langle a\\rangle=\\{e,\\,a\\}$ 为 $2$ 阶循环群，且 $\\langle a\\rangle\\lhd G$（阿贝尔群均为正规子群）， 从而商群 $\\overline G:=G/\\langle a\\rangle$ 的阶为 $\\dfrac{|G|}{|\\langle a\\rangle|}=2$， 令 $\\overline G=\\{\\langle a\\rangle,\\,b\\langle a\\rangle\\}$，而 $b\\langle a\\rangle=\\langle a\\rangle b=\\{b,\\,ab=ba\\}$，且 $b\\in G\\setminus\\langle a\\rangle$， 所以 $b\\neq e$，且 $b\\neq a$，而因为 $ab\\langle a\\rangle=\\langle a\\rangle b\\langle a\\rangle=b\\langle a\\rangle$，所以 $ab\\not\\in\\langle a\\rangle$，即 $ab\\neq e,\\;ab\\neq a$， 又因为 $a\\neq e$，所以 $ab\\neq b$，所以 $ab$ 为 $G$ 中不等于 $e,\\,a,\\,b$ 的元素，记作 $c$，则 $G=\\{e,\\,a,\\,b,\\,c\\}$，即 Klein 四元群． ■ 对所有非单位元 $a\\in V$，商群 $V/\\langle a\\rangle=\\{\\langle a\\rangle,\\,b\\langle a\\rangle\\}$． $ac=ca=a^2b=eb=b$，$bc=cb=b^2a=ea=a$． Problemata 习题〔6.A〕： 证明 对于群 $G$ 的所有指数为 $2$ 的子群 $H$，都有 $H\\lhd G$． 〔参考解答〕： 因为 $[G:H]=2$，所以考虑陪集分解，对于任一 $g\\in G\\setminus H$，均有 $G=H\\sqcup gH=H\\sqcup Hg$，从而 $gH=Hg$，这就证明了 $H\\lhd G$． ■ 〔6.B〕： 证明 若群 $G$ 对其中心 $\\mathrm Z(G)$ 的商群 $G/\\mathrm Z(G)$ 为循环群，则 $G$ 为阿贝尔群． 〔参考解答〕： 设 $G/\\mathrm Z(G)=\\langle g\\mathrm Z(G)\\rangle\\;(g\\in G\\setminus\\mathrm Z(G))$，则 $\\forall\\;a,\\,b\\in G,\\;$ $\\exists\\;c,\\,d\\in \\mathrm Z(G),\\;m,\\,n\\in\\mathbb N,\\quad$ $a=g^mc,\\;b=g^nd$， 从而 $ab=g^mcg^nd$，由中心元素的交换性可知 $ab=g^ndg^mc=ba$，得证． ■ Annotationes 注释 (1). 不少资料中无论是否有 $N=G$，均只记作 $N\\lhd G$．此处为了保持符号的系统性（参考 $\\subseteq\\;\\leq$）而区分二者． ↩ (2). 因此早期的资料也称正规子群为不变子群（invariant subgroup）． ↩ (3). 由此早期的资料也称正规子群为自共轭子群（self-conjugated subgroup）． ↩ (4). 因为 $N\\leq G$，所以 $NN=\\{ab\\mid a,\\,b\\in N\\}$，并且群中任一元素均可用两个元素的乘积表示（考虑 $\\forall\\; a\\in G,\\quad a=ae$），从而 $NN=N$．这一性质对任何子群均适用，并且由此可以类推得到：$H\\leq G\\;\\Rightarrow\\;H=HH=H\\cdots H$（任意有限个 $H$）． ↩ (5). 英语中读作 $G$ mod $N$． ↩ (6). 菲利克斯·克莱因（Felix Klein），德国数学家，主要贡献于非欧几何与群论等领域，其提出的 Klein 瓶（Klein bottle）是无定向平面的知名例子． ↩ 前：抽象代数笔记 〇五：共轭、正规化子与中心化子 后：抽象代数笔记 〇七：同态与同构定理","categories":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/categoriae/Mathematica/"}],"tags":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Mathematica/"},{"name":"Algebra","slug":"Algebra","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra/"},{"name":"Algebra-Abstracta","slug":"Algebra-Abstracta","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra-Abstracta/"},{"name":"Theoria-Catervarum","slug":"Theoria-Catervarum","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Theoria-Catervarum/"}]},{"title":"De Algebra Abstracta 05 // 抽象代数笔记 〇五：共轭、正规化子与中心化子","slug":"De-Algebra-Abstracta-05","date":"2021-05-06T12:15:02.000Z","updated":"2023-12-05T15:25:01.515Z","comments":true,"path":"2021/05/06/De-Algebra-Abstracta-05.html","link":"","permalink":"https://kotobasuke.github.io/2021/05/06/De-Algebra-Abstracta-05","excerpt":"","text":"前：抽象代数笔记 〇四：循环群 后：抽象代数笔记 〇六：正规子群与商群 Conjugatia 共轭〔定义〕： 设 $G$ 为群，$a,\\,b\\in G$，若 $\\exists\\;g\\in G,\\quad g^{-1}ag=b$，则称 $a$ 与 $b$（对于 $g$）共轭（conjugate）(1)，元素 $b=g^{-1}ag$ 称为 $a$ 的共轭元素（conjugate element）．可证这个关系为等价关系：   (α) 自反性：$e^{-1}ae=a$；   (β) 对称性：若 $g\\in G,\\;g^{-1}ag=b$，则 $gbg^{-1}=(g^{-1})^{-1}bg^{-1}=a$，而 $g^{-1}\\in G$；   (γ) 传递性：若 $g,\\,h\\in G,\\;g^{-1}ag=b,\\;h^{-1}bh=c$，则有 $h^{-1}g^{-1}agh=(gh)^{-1}a(gh)=c$，而 $gh\\in G$． 由此，可将群 $G$ 关于该关系分划为各个等价类，称为（元素的）共轭类（conjugacy class），群 $G$ 中元素的共轭类数量称为 $G$ 的类数（class number）． 类似地，设 $A,\\,B\\subseteq G$，若 $\\exists\\;g\\in G,\\quad g^{-1}Ag=B$，则称子集 $A$ 与 $B$ （对于 $g$）共轭，$B=g^{-1}Ag$ 称为 $A$ 的共轭子集（conjugate subset），该关系同样为等价关系．每个等价类称为（子集的）共轭类，由于 $|g^{-1}Ag|=|A|$，所以子集的同一共轭类中各子集等势．而特别地，若 $A\\leq G$，则易证亦有 $g^{-1}Ag=B\\leq G$(2)，从而子群 $A$ 与 $B$（对于 $g$）共轭，$B=g^{-1}Ag$ 称为 $A$ 的共轭子群（conjugate subgroup），可同样地定义子群的共轭类． 〔例〕： 考虑 $\\mathbb R$ 上的 $n$ 次一般线性群 $\\mathrm{GL}_n(\\mathbb R)$， 对于任意 $ 𝑨,\\,𝑩\\in\\mathrm{GL}_n(\\mathbb R)$，$ 𝑨$ 与 $𝑩$ 共轭 $\\Leftrightarrow$ 存在 $ 𝑴\\in\\mathrm{GL}_n(\\mathbb R)$ 使得 $ 𝑴^{-1} 𝑨 𝑴= 𝑩$．由线性代数的知识可知，这个共轭关系实际上就是矩阵的相似（similarity）关系，矩阵的共轭元素即其相似矩阵（similar matrix）． 由于 $\\mathrm{SL}_n(\\mathbb R)\\leq\\mathrm{GL}_n(\\mathbb R)$，所以 $\\mathrm{SL}_n(\\mathbb R)$ 的共轭子群即 $\\mathrm{SL}_n(\\mathbb R)$ 中所有矩阵的相似矩阵所成矩阵．由线性代数的知识可以知道，相似矩阵拥有相等的行列式，因此 $\\mathrm{SL}_n(\\mathbb R)$ 的共轭子群即其自身． 〔定理 5.1〕： 设 $G$ 为群，$A\\leq G$，则与 $A$ 共轭的所有 $G$ 的子群均互相同构（但逆命题不成立）． 〔证明〕： 设 $\\exists\\;g\\in G,\\quad g^{-1}Ag=:B\\leq G$，则可设映射 $f:A\\to B,\\quad a\\mapsto g^{-1}ag$，由于 $\\forall\\;a,\\,b\\in A,\\quad$$f(ab)=g^{-1}abg=g^{-1}agg^{-1}bg=f(a)f(b)$，可知 $f$ 是 $A$ 到 $B$ 的群同态，又由等价关系的对称性，可知 $f$ 为群同构． ■ Normalizatores & Centralizatores 正规化子与中心化子〔定义〕： 设 $G$ 为群，$M\\subseteq G$，则 $\\{g\\in G\\mid g^{-1}Mg=M\\}$ (3)是 $G$ 的子群：   $\\forall\\;g,\\,g’\\in\\{g\\in G\\mid g^{-1}Mg=M\\},$     $\\because\\;g^{-1}Mg=g’^{-1}Mg’=M$，     $\\therefore\\;gMg^{-1}=g’Mg’^{-1}=M$，     于是 $(g^{-1}g’)^{-1}M(g^{-1}g’)=g’^{-1}(gMg^{-1})g’=g’^{-1}Mg’=M$，     因此 $g^{-1}g’\\in \\{g\\in G\\mid g^{-1}Mg=M\\}$，   从而 $\\{g\\in G\\mid g^{-1}Mg=M\\}\\leq G$． 该子群称为 $M$ 的正规化子（normalizer），记为 $\\mathrm N_G(M)$． 若 $G$ 的子群 $H$ 满足 $\\mathrm N_G(H)=H$，则称之为 $G$ 的自正规化子群（self-normalizing subgroup）． 若 $G$ 为阿贝尔群，则 $\\forall\\;M\\subseteq G,\\quad \\mathrm N_G(M)=G$． 所以若 $G$ 为阿贝尔群，则 $G$ 自身为其自正规化子群． 〔例〕： 考虑实数加法群 $(\\mathbb R,\\,+)=:\\mathbb R^+$，它是阿贝尔群，因此对于其任一子集 $A$，都有 $\\mathrm N_A(\\mathbb R^+)=\\mathbb R^+$． 考虑 $\\mathbb R$ 上的 $2$ 次一般线性群 $\\mathrm{GL}_2(\\mathbb R)=:G$，矩阵 $ 𝑨=\\begin{bmatrix}1 &\\\\& 4\\end{bmatrix}$ 所成的单元素集合 $\\{ 𝑨\\}$ 是 $G$ 的子集．设 $G$ 中任一矩阵为 $ 𝑴=\\begin{bmatrix}a & b \\\\ c & d\\end{bmatrix}$，则有   $ 𝑴 𝑨=\\begin{bmatrix}a & 4b \\\\ c & 4d\\end{bmatrix},\\quad 𝑨 𝑴=\\begin{bmatrix}a & b \\\\ 4c & 4d\\end{bmatrix}$． $ 𝑴 𝑨= 𝑨 𝑴$，当且仅当 $b=c=0$，所以 $\\mathrm N_{\\{ 𝑨\\}}(G)=\\left\\{\\left.\\begin{bmatrix}p & \\\\& q\\end{bmatrix}\\;\\right|\\;p,\\,q\\in\\mathbb R,\\;pq\\neq 0\\right\\}$． 〔定义〕： 设 $G$ 为群，$M\\subseteq G$，则 $\\{g\\in G\\mid \\forall\\;a\\in M,\\; g^{-1}ag=a\\}$ (4) 是 $G$ 的子群：   $\\forall\\;g,\\,g’\\in \\{g\\in G\\mid \\forall\\;a\\in M,\\; g^{-1}ag=a\\},\\quad$$\\forall\\;a\\in M,$     $\\because\\;g^{-1}ag=g’^{-1}ag’=a$，     $\\therefore\\;gag^{-1}=g’ag’^{-1}=a$，     于是 $(g^{-1}g’)^{-1}a(g^{-1}g)=g’^{-1}(gag^{-1})g=g’^{-1}ag=a$，     因此 $g^{-1}g’\\in\\{g\\in G\\mid \\forall\\;a\\in M,\\; g^{-1}ag=a\\}$，   从而 $\\{g\\in G\\mid \\forall\\;a\\in M,\\; g^{-1}ag=a\\}\\leq G$． 该子群称为 $M$ 的中心化子（centralizer），记为 $\\mathrm C_G(M)$． 特别地，$G$ 自身的中心化子 $\\mathrm C_G(G)$ 可记为 $\\mathrm Z(G)$ (5)或 $\\mathrm C(G)$，称为 $G$ 的中心（center），其中的元素即与 $G$ 中任一元素均可交换的元素，这些元素称为 $G$ 的中心元素（central element）． $G$ 中任一元素 $a$ 所成单元素集合 $\\{a\\}$，其正规化子 $\\mathrm N_G(\\{a\\})$ 与中心化子 $\\mathrm C_G(\\{a\\})$ 可分别简记为 $\\mathrm N_G(a),\\,\\mathrm C_G(a)$，且恒有 $\\mathrm N_G(a)=\\mathrm C_G(a)$． 由定义可知，若 $M\\subseteq G$，则 $\\mathrm C_G(M)\\leq\\mathrm N_G(M)$． $H\\leq G,\\;a\\in H\\;\\Rightarrow\\; \\mathrm C_H(a)=\\mathrm C_G(a)\\cap H$． 若 $G$ 为阿贝尔群，则 $\\forall\\;M\\subseteq G,\\quad \\mathrm C_G(M)=G$． 所以，若 $G$ 为阿贝尔群，则 $\\forall\\;M\\subseteq G,\\quad \\mathrm Z_G(M)=\\mathrm C_G(M)=G$．特别地，$G$ 为阿贝尔群，当且仅当 $\\mathrm Z_G(G)=\\mathrm Z(G)=G$． $z\\in \\mathrm Z(G)$ 当且仅当 $G$ 中与 $z$ 共轭的元素只有 $z$ 自身． 〔例〕： 考虑 $\\mathbb R$ 上的 $2$ 次一般线性群 $\\mathrm{GL}_2(\\mathbb R)=:G$，设其子集 $S=\\left\\{\\left.\\begin{bmatrix}k &\\\\ k & 2k\\end{bmatrix}\\;\\right|\\;k\\in\\mathbb R\\setminus\\{0\\}\\right\\}$，并设 $ 𝑨=\\begin{bmatrix}a & b \\\\ c & d\\end{bmatrix}$ 为 $G$ 中某一矩阵，于是 $\\forall\\; 𝑴\\in S,$   $𝑴 𝑨= 𝑨 𝑴$ $\\;\\Leftrightarrow\\;a=a+b,\\;b=2b,\\;a+2c=c+d,\\;b+2d=2d$ $\\;\\Leftrightarrow\\;a+c=d$， 所以 $\\mathrm C_G(S)=\\{ 𝑨\\in G\\mid\\forall\\; 𝑴\\in S,\\; 𝑴 𝑨= 𝑨 𝑴\\}$ $=\\left\\{\\left.\\begin{bmatrix}a &\\\\ c & d\\end{bmatrix}\\;\\right|\\;a,\\,c,\\,d\\in\\mathbb R,\\;a+c=d\\right\\}$． 考虑 $\\mathbb R$ 上的 $n$ 次一般线性群 $\\mathrm{GL}_n(\\mathbb R)$，其中心为 $n$ 阶实数量矩阵所成的子群，即 $\\mathrm Z(\\mathrm{GL}_n(\\mathbb R))=\\{k 𝑰_n\\mid k\\in\\mathbb R\\setminus\\{0\\}\\}$．(6) 〔定理 5.2〕： 设 $M$ 是群 $G$ 的子集，则与 $M$ 共轭的子集数量为 $[G:\\mathrm N_G(M)]$． 〔证明〕： 与 $M$ 共轭的子集具有形式 $g^{-1}Mg\\quad(g\\in G)$， 于是设 $g,\\,g’\\in G$，$g^{-1}Mg,\\,g’^{-1}Mg’$ 是 $M$ 的共轭子集，   $\\begin{aligned} &g^{-1}Mg=g’^{-1}Mg’\\\\\\phantom{\\dfrac 11}\\Leftrightarrow\\;&g’g^{-1}Mgg’^{-1}=(gg’^{-1})^{-1}M(gg’^{-1})=M\\\\\\Leftrightarrow\\;&gg’^{-1}\\in\\mathrm N_G(M)\\\\\\phantom{\\dfrac 11}\\Leftrightarrow\\;&\\mathrm N_G(M)\\cdot g=\\mathrm N_G(M)\\cdot g’\\end{aligned}$ 从而得证，$M$ 的共轭子集数量等于 $G$ 对于 $\\mathrm N_G(M)$ 的陪集个数，即 $\\mathrm N_G(M)$ 对于 $G$ 的指数 $[G:\\mathrm N_G(M)]$． ■ 〔推论〕： 与 $a\\in G$ 共轭的元素数量为 $[G:\\mathrm C_G(a)]=[G:\\mathrm N_G(a)]$． 〔定理 5.3〕： 设 $p\\in\\mathbb P$，$n\\geq 1$，$G$ 为 $p^n$ 阶群，则 $|\\mathrm Z(G)|>1$，即犹言 $G$ 有非平凡（非单位元）的中心元素． 〔证明〕： 因为 $e\\in\\mathrm Z(G)$，所以 $r:=|\\mathrm Z(G)|\\geq 1$， 又对于任意 $z\\in G$，   $z\\in\\mathrm Z(G)\\;\\Leftrightarrow\\;$与 $z$ 共轭的元素只有 $z$， 考虑将 $G$ 分划为（元素的）数个共轭类，各中心元素所在的共轭类只有其自身，其余元素所在的共轭类均有其自身之外的元素． 因为与 $z\\in G$ 共轭的元素数量为 $[G:\\mathrm C_G(z)]$， 所以每个共轭类的元素个数均为 $|G|=p^n$ 的因子， 从而   $p^n=r+p^{i_1}+p^{i_2}+\\cdots\\quad(i_1,\\,i_2,\\,\\cdots\\in\\mathbb N_+)$， 由此可知 $p\\mid r$， 从而得证 $|\\mathrm Z(G)|=r\\geq p>1$． ■ 〔定理 5.4〕： 对于任意 $p\\in \\mathbb P$，$p^2$ 阶群 $G$ 均为阿贝尔群． 〔证明〕： 设 $a\\in G,\\;a\\neq e$，则 $|a|=p$ 或 $|a|=p^2$ （Lagrange 定理）． 若 $\\exists\\; g\\in G,\\quad |g|=p^2$，则 $G$ 为 $p^2$ 阶循环群，即为阿贝尔群． 否则，$\\forall\\;a\\in G,\\;a\\neq e,\\quad |a|=p$． 在此情况下，又有 $\\exists\\;a\\in G,\\;a\\neq e,\\quad a\\in\\mathrm Z(G)$ （Th. 5.3）， 所以 $\\forall\\;b\\in G,\\quad a^{-1}ba=b$， 又因为   $\\forall\\;n\\in\\mathbb N_+,\\quad$     $(a^n)^{-1}ba^n=a^{1-n}(a^{-1}ba)a^{n-1}=a^{1-n}ba^{n-1}=\\cdots=b$． 所以 $\\forall\\;n\\in\\mathbb N_+,\\quad a^n\\in\\mathbb Z(G)$． 而 $|a|=p$，因此 $A:=\\{e,\\,a,\\,a^2,\\,\\cdots,\\,a^{p-1}\\}\\leq G$，且 $A$ 中所有元素均为中心元素． 因为 $|G|=p^2,\\;|A|=p<p^2$， 所以 $\\exists\\;z\\in(G\\setminus A),\\quad |z|=p$， 从而可证 $A,\\,Az,\\,Az^2,\\,\\cdots,\\,Az^{p-1}$ 是 $G$ 对 $A$ 的全部右陪集．(7) 因此 $G=\\{a^mz^n\\mid 0\\leq m,\\,n\\leq p-1\\}\\quad(a^0=z^0=e)$， 又因为 $a^m\\in\\mathrm Z(G)$， 所以由中心元素的交换性，可得 $(a^mz^n)(a^{m’}z^{n’})=a^{m+m’}z^{n+n’}=(a^{m’}z^{n’})(a^mz^n)\\quad$$(0\\leq m,\\,m’,\\,n,\\,n’\\leq p-1)$，得证． ■ Annotationes 注释 (1). 名词为 conjugacy． ↩ (2). 子群判定定理：$\\forall\\;a,\\,a’\\in A,\\quad$ $(g^{-1}ag)^{-1}(g^{-1}a’g)=g^{-1}agg^{-1}a’g$ $\\;=g^{-1}(aa’)g\\in g^{-1}Ag=B$． ↩ (3). 自然也可以写作 $\\{g\\in G\\mid gM=Mg\\}$． ↩ (4). 自然也可以写作 $\\{g\\in G\\mid\\forall\\;a\\in M,\\;ga=ag\\}$． ↩ (5). 字母 Z 取自德语的 Zentrum（中心）． ↩ (6). 数量矩阵（scalar matrix，或谓之标量矩阵）即单位矩阵与非零数量（在此是实数）的乘积．这一结论在线性代数中也可以表述为：与某一矩阵相似的矩阵只有其自身，当且仅当该矩阵为数量矩阵．在此不证． ↩ (7). 注意 $\\forall\\;k\\in\\mathbb N_+,\\quad (z^k=e)\\Leftrightarrow(z^k\\in A)$．设 $0\\leq n<m\\leq p-1$，若存在 $Az^m=Az^n$，则由陪集的定义有 $z^{m-n}\\in A$，由于 $m-n$ 与 $p$ 互质（$m-n<p,\\;p\\in\\mathbb P$），而 $|z|=p$，所以 $m-n=1,\\;z^{m-n}=z\\in A$，与前述矛盾． ↩ 前：抽象代数笔记 〇四：循环群 后：抽象代数笔记 〇六：正规子群与商群","categories":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/categoriae/Mathematica/"}],"tags":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Mathematica/"},{"name":"Algebra","slug":"Algebra","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra/"},{"name":"Algebra-Abstracta","slug":"Algebra-Abstracta","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra-Abstracta/"},{"name":"Theoria-Catervarum","slug":"Theoria-Catervarum","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Theoria-Catervarum/"}]},{"title":"De Algebra Abstracta 04 // 抽象代数笔记 〇四：循环群","slug":"De-Algebra-Abstracta-04","date":"2021-04-30T03:07:25.000Z","updated":"2023-12-05T15:24:51.262Z","comments":true,"path":"2021/04/30/De-Algebra-Abstracta-04.html","link":"","permalink":"https://kotobasuke.github.io/2021/04/30/De-Algebra-Abstracta-04","excerpt":"","text":"前：抽象代数笔记 〇三：子群与陪集 后：抽象代数笔记 〇五：共轭、正规化子与中心化子 Catervae Cyclicae 循环群〔定义〕： 设 $S$ 是群 $G$ 的子集，$G$ 的所有子群中包含 $S$ 的最小子群 $A$ 称为由 $S$ 生成的子群（the subgroup generated by $S$），记为 $\\langle S\\rangle$． 若 $A_1,\\,A_2\\leq G$ 均包含 $S$，则 $A_1\\cap A_2$ 也是包含 $S$ 的子群(1)，于是 $\\langle S\\rangle$ 即 $G$ 中所有包含 $S$ 的子群之交． 显然 $\\langle S\\rangle$ 是群，所以   $\\forall\\;a\\in S,\\quad a,\\,a^{-1}\\in\\langle S\\rangle$， 于是对于 $a_1,\\,a_2,\\,\\cdots,a_n\\in S\\cup S^{-1}$，有   $\\displaystyle\\prod_{i=1}^n a_i\\in\\langle S\\rangle,\\quad\\prod_{i=1}^n a_i^{-1}\\in\\langle S\\rangle$，（此处无论左乘右乘均成立） 从而   $\\langle S\\rangle=\\left\\{\\left.\\displaystyle\\prod_{i=1}^ma_i\\;\\right|\\;m>0,\\;a_i\\in S\\cup S^{-1}\\right\\}\\bigcup\\;\\{e\\}$（此处无论左乘右乘均成立），即 $\\langle S\\rangle$ 为 $S$ 中元素及其逆元的有限次乘积的所有结果，以及 $G$ 中单位元（也可能位于前述的结果中）所成的群． 若 $G$ 本身由子集 $S$ 生成，或者说 $S$ 生成（generates）$G$，则 $\\langle S\\rangle=G$，此时称 $S$ 是 $G$ 的一个生成元系或生成集（generating set），$S$ 的元素称为生成元（generator）． 若 $G=\\langle S\\rangle$ 且 $S$ 是有限集，则称 $G$ 为有限生成群（finitely generated group）． 若 $G$ 由单元素集合 $\\{a\\}$ 生成，则称 $G$ 为循环群（cyclic group）(2)． 若 $G=\\langle a\\rangle$(3)，而 $|a|=\\infty$，则 $G=\\{\\cdots,\\,a^{-2},\\,a^{-1},\\,e,\\,a,\\,a^2,\\,\\cdots\\}$，如此的循环群 $G$ 称为无限循环群（infinite cyclic group）．而若 $a$ 为有限阶元素，且 $|a|=n\\geq 1$，则 $G=\\{e,\\,a,\\,\\cdots,\\,a^{n-1}\\}$，如此的循环群 $G$ 称为 $n$ 阶有限循环群（finite cyclic group of $n$ order），或简称 $n$ 阶循环群． 无限循环群 $G_\\infty$ 同构于整数加法群 $(\\mathbb Z,\\,+)$，比如取群同构 $G_\\infty\\overset{\\Large\\sim}\\to \\mathbb Z,\\quad a^n\\mapsto n$． $n$ 阶循环群 $G_n$ 同构于整数模 $n$ 加法群 $\\mathbb Z_n$，同理可以取群同构 $G_n\\overset{\\Large\\sim}\\to \\mathbb Z,\\quad a^n\\mapsto n$． 〔定理 4.1〕： 同为 $n$ 阶的循环群相互同构．同构的循环群均为无限循环群，或均为同阶循环群． 这一定理可由上述性质显然得证． 〔定理 4.2〕： 设 $G$ 为循环群，   (α) 若 $G$ 为无限循环群，则对于任意 $m\\in \\mathbb N_+$，$G$ 中唯一存在指数为 $m$ 的子群 $H_m:=\\langle a^m\\rangle$，这些群与平凡群 $\\{e\\}$ 为 $G$ 的所有子群；   (β) 若 $G$ 为 $n$ 阶有限循环群，则对于 $n$ 的各正因子 $m$，$G$ 中都唯一存在指数为 $m$ 的 $\\dfrac nm$ 阶子群 $H_m:=\\langle a^m\\rangle$，这些群即 $G$ 的所有子群． 〔证明〕： (α)： 设 $H\\leq G=\\langle a\\rangle$，不妨设 $H\\neq\\{e\\}$，令 $m$ 为满足 $a^m\\in H$ 的最小正整数，从而   $\\forall\\;n\\in\\mathbb Z,\\quad a^n\\in H\\;\\Leftrightarrow\\;m\\mid n$， 则 $H=\\langle a^m\\rangle=H_m$． 当 $|a|=\\infty$，$[G:H_m]=m$（考虑陪集分解），得证． (β)： 设 $H\\leq G=\\langle a\\rangle$，并设 $|a|=n$，令 $m$ 为满足 $a^m\\in H$ 的最小正整数， 又设 $n=mq+r\\quad(0\\leq r\\leq m-1,\\;q,\\,r\\in\\mathbb Z)$，由于 $a^m\\in H$，所以 $a^r=a^{n-mq}=a^na^{-mq}=(a^m)^{-q}\\in H$． 由于 $m$ 为满足 $a^m\\in H$ 的最小正整数，所以可知 $r=0$，进而 $m\\mid n$，且 $n=mq\\quad(q\\in\\mathbb Z)$． 由此则 $H=H_m=\\{e,\\,a^m,\\,a^{2m},\\,\\cdots\\}$（特别地，$H_n=\\{e\\}$），这是 $q=n/m$ 阶循环群，且 $[G:H_m]=|G|/|H_m|=n/q=m$． ■ 设 $G=\\langle a\\rangle,\\;|a|=n$．Lagrange 定理表明，$\\forall\\;H\\leq G,\\quad t:=|H|,\\;t\\mid n$，而由该定理可知在循环群（而非所有群）的场合下，其逆也成立：$\\forall\\; t\\mid n,\\;t\\geq0,\\;\\exists!\\;H=\\langle a^{n/t}\\rangle\\leq G,\\quad|H|=t$． 〔定理 4.3〕： 设 $G=\\langle a\\rangle$ 为循环群，   (α) 若 $G$ 为无限循环群，则其生成元只有 $a$ 和 $a^{-1}$；   (β) 若 $G$ 为 $n$ 阶有限循环群，则生成元共有 $\\varphi(n)$ 个，即所有满足 $1\\leq k\\leq n,\\;k\\,\\bot\\,n$ 的 $a^k$． 〔证明〕： (α)： 显然 $\\langle a^{-1}\\rangle=\\langle a\\rangle=G$，又可知 $[G:\\langle a^n\\rangle]=n$，于是得   $\\langle a^n\\rangle=G\\;\\Leftrightarrow\\;n=\\pm 1$． (β)： 因为 $|a|=n$，所以 $|a^k|=\\dfrac n{\\gcd(k,\\,n)}$ （Th. 3.8）， 于是   $\\begin{aligned}\\langle a^k\\rangle=G\\;&\\Leftrightarrow\\;|a^k|=n\\\\ &\\Leftrightarrow\\;\\dfrac{n}{\\gcd(k,\\,n)}=n\\\\&\\Leftrightarrow\\;k\\,\\bot\\,n.\\end{aligned}$ ■ 设 $G=\\langle a\\rangle$，若设 $f:G\\overset{\\Large\\sim}\\to G,\\quad a\\mapsto a^m$ 是 $G$ 上的自同构，则有 $f(G)=\\langle a^m\\rangle=G$． 若 $G$ 为无限循环群，则 $m=\\pm 1$ （Th. 4.3），于是 $\\mathrm{Aut}(G)$ 为 $2$ 阶群； 若 $G$ 为 $n$ 阶有限循环群，则 $\\langle a^m\\rangle=G\\;\\Leftrightarrow\\;m\\,\\bot\\,n$ （Th. 4.3）， 当 $m,\\,n$ 互质，设 $f_m:G\\to G,\\quad a\\mapsto a^m$，易证 $f_m$ 是 $G$ 上的自同态， 因为 $\\langle a^m\\rangle=G$，所以 $f_m$ 是满自同态， 又由此，因为 $f_m$ 是 $G$ 到 $G$ 的映射，所以 $f_m$ 也是单自同态， 从而 $f_m$ 是 $G$ 上的自同构． 设任意 $k$ 满足 $0\\leq m\\neq k\\leq n-1$，则 $f_m(a)=a^m\\neq a^k=f_k(a)$，可知 $f_m\\neq f_k$， 综上则 $G$ 共有 $\\varphi(n)$ 个自同构，$\\mathrm{Aut}(G)=\\{f_m:G\\to G,\\;a\\mapsto a^m\\mid1\\leq m\\leq n,\\;m\\,\\bot\\,n\\}$．该自同构群同构于整数模 $p$ 加法群中全体乘法可逆元所成的乘法群 $\\mathbb Z_n^\\ast$，且为 $\\varphi(n)$ 阶阿贝尔群． 〔定义〕： 设 $z\\in \\mathbb C,\\;n\\in\\mathbb N_+$，方程 $z^n=1$ 的根称为 $n$ 次单位根（$n$-th root of unity），记为 $\\mathrm e^{2k𝛑\\mathrm i/n}$ 或 $\\cos\\dfrac{2k𝛑}n+\\sin\\dfrac{2k𝛑}n$（Euler 公式），其中 $k$ 为 $0$ 到 $n-1$ 的整数．特别地，若 $k\\,\\bot\\,n$，则称 $\\mathrm e^{2k𝛑\\mathrm i/n}$ 为 $n$ 次本原单位根（primitive $n$-th root of unity），其数量为 $\\varphi(n)$． 所有 $n$ 阶单位根所成的集合 $\\{e^{2k𝛑\\mathrm i/n}\\mid k\\in \\mathbb N,\\;0\\leq k\\leq n-1\\}$ 关于乘法形成循环群，其生成元为任一 $n$ 次本原单位根． Problemata 习题〔4.A〕： 证明 $\\forall\\;H\\leq G,\\quad(H=\\{e\\})\\vee(H=G)\\;$ $\\Leftrightarrow\\;(G=\\{e\\})\\vee(G=\\langle g\\rangle,\\;g\\in G,\\;g\\neq e,\\;|G|\\in\\mathbb P)$． 〔参考解答〕： 〔$\\Leftarrow$〕显然． 〔$\\Rightarrow$〕： 设 $G\\neq\\{e\\}$，则 $\\forall\\;g\\in G,\\;g\\neq e,\\quad\\langle g\\rangle=G$， 因此 $G$ 为有限循环群， （Th. 4.3） 且 $\\varphi(|G|)=|G|-1$，所以 $|G|\\in\\mathbb P$． ■ 〔4.B〕： 证明 Euler 定理（Euler’s theorem）：   $n\\in\\mathbb N_+,\\;a\\,\\bot\\,n\\;\\Rightarrow\\;a^{\\varphi(n)}\\equiv 1\\pmod n$． 〔参考解答〕： 为了便于证明，首先〔定义〕： 记 $a\\in\\mathbb Z$ 的模 $n$ 同余类为 $\\overline a$，定义乘法 $\\overline a\\cdot\\overline b=\\overline{ab}$，不难验证该乘法定义良好． 所有与 $n$ 互质的整数的模 $n$ 同余类关于乘法形成群，记作 $\\mathbb Z_n^\\ast$，其单位元为 $\\overline 1$，且结合性显然， 并且对于所有整数 $a,\\,b$，若分别与 $n$ 互质，则其乘积 $ab$ 也与 $n$ 互质，从而可验证 $\\mathbb Z_n^\\ast$ 具有封闭性， 再者，若存在整数 $\\alpha$，使得 $\\overline{a\\alpha}=\\overline{\\alpha a}=\\overline 1$，这就相当于使得 $a\\alpha=\\alpha a=1$，又等价于 $a\\alpha\\equiv 1\\pmod n$，又进一步等价于 $\\exists\\;\\alpha,\\,k\\in \\mathbb Z,\\quad a\\alpha+kn=1$，由数论的 Bézout 定理可知对于所有与 $n$ 互质的整数 $a$，都存在这样的 $\\alpha$，进而 $\\overline\\alpha=(\\overline a)^{-1}$，这就验证了 $\\mathbb Z_n^\\ast$ 的可逆性． 该群 $\\mathbb Z_n^\\ast$ 实际上即是整数模 $n$ 加法群 $\\mathbb Z_n$ 中所有乘法可逆元所成的群，称作整数模 $n$ 乘法群（multiplicative group of integers modulo $n$）或既约模 $n$ 剩余类群（group of primitive residue classes modulo $n$），并且 $|\\mathbb Z_n^\\ast|=\\varphi(n)$． 于是， $a\\,\\bot\\,n\\;\\Leftrightarrow\\;\\overline a\\in\\mathbb Z_n^\\ast$， 而因为 $\\mathbb Z_n^\\ast$ 为有限群，所以 $|\\overline a|$ 整除 $\\varphi(n)$， （Th. 3.4） 从而 $(\\overline a)^{\\varphi(n)}=\\overline 1$，即得证． ■ 特别地，若令 $p\\in\\mathbb P$，则得证了 Fermat（费马）小定理（Fermat’s little theorem）： $a^{\\varphi(p)}=a^{p-1}\\equiv 1\\pmod p$． 〔4.C〕： 证明 若群 $G$ 只有有限个子群，则 $G$ 为有限群． 〔参考解答〕： 若 $G$ 中存在无限阶元素 $g$，则子群 $\\langle g\\rangle$ 同构于整数加法群 $\\mathbb Z$，它有形如 $n\\mathbb Z\\;(n\\in\\mathbb Z)$ 的无限个子群，矛盾． 于是 $G$ 中元素均为有限阶元素，并且因为 $G$ 的子群数量有限，所以其循环子群的数量亦有限，由此可知 $G=\\displaystyle\\bigcup_{g\\in G}\\;\\langle g\\rangle$，于是又可知存在一组生成元 $g_1,\\,g_2,\\,\\cdots,\\,g_n\\in G$ 使得 $G=\\displaystyle\\bigsqcup_{i=1}^n\\;\\langle g_i\\rangle$． 因为所有 $G$ 中元素均为有限阶元素，所以上述生成元所生成的循环群均为有限群，从而 $G$ 为有限群． ■ Annotationes 注释 (1). $A,\\,B\\leq G\\;\\Rightarrow\\;A\\cap B\\leq G$，见 抽象代数笔记 〇三：子群与陪集 注释(2)． ↩ (2). 需要注意的是，如果子集 $S$ 是 $G$ 的生成元系，那么所有包含 $S$ 的子集也是 $G$ 的生成元系，因此 $G$ 中所有元素都能成为生成元．于是“生成元”一词应对于指定的生成元系使用，而对于循环群而言，“生成元”一词通常指其单元素生成元系的元素，下文依此． ↩ (3). 为简洁起见后文均记单元素集合 $\\{a\\}$ 所生成的子群 $\\langle\\{a\\}\\rangle$ 为 $\\langle a\\rangle$． ↩ 前：抽象代数笔记 〇三：子群与陪集 后：抽象代数笔记 〇五：共轭、正规化子与中心化子","categories":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/categoriae/Mathematica/"}],"tags":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Mathematica/"},{"name":"Algebra","slug":"Algebra","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra/"},{"name":"Algebra-Abstracta","slug":"Algebra-Abstracta","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra-Abstracta/"},{"name":"Theoria-Catervarum","slug":"Theoria-Catervarum","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Theoria-Catervarum/"}]},{"title":"De Algebra Abstracta 03 // 抽象代数笔记 〇三：子群与陪集","slug":"De-Algebra-Abstracta-03","date":"2021-04-26T08:47:27.000Z","updated":"2023-12-05T15:24:40.468Z","comments":true,"path":"2021/04/26/De-Algebra-Abstracta-03.html","link":"","permalink":"https://kotobasuke.github.io/2021/04/26/De-Algebra-Abstracta-03","excerpt":"","text":"前：抽象代数笔记 〇二：群与同态 后：抽象代数笔记 〇四：循环群 Succatervae 子群〔定义〕： 设 $(H,\\,\\ast)$ 为半群，$A\\subseteq H,\\;A\\neq\\varnothing$，若 $(A,\\,\\ast)$ 形成半群，则称 $A$ 为 $H$ 的子半群（subsemigroup）．特别地，若 $(A,\\;\\ast)$ 形成幺半群，则称 $A$ 为 $H$ 的子幺半群（submonoid）． 若 $(A,\\,\\ast)$ 形成群，则称 $A$ 为 $H$ 的子群（subgroup）． 通常情况下只考虑群的子群，即若 $(G,\\,\\ast)$ 为群，$A\\subseteq G$，称 $A$ 为 $G$ 的子群当且仅当 $(A,\\,\\ast)$ 形成群，记作 $A\\leq G$．后文除非特别说明均只考虑群的子群． 对任一群 $G$，$\\{e\\}$ 与 $G$ 本身均为 $G$ 的子群，称为 $G$ 的平凡子群（trivial subgroup）． 特别地，若 $A\\subset G$，则称 $A$ 为 $G$ 的真子群（proper subgroup），记为 $A<G$． 〔定理 3.1〕 子群判定定理（criterion of subgroups）： 设 $A$ 是 $G$ 的任一非空子集，恒有   $A\\leq G\\;\\Leftrightarrow\\;\\forall\\;a,\\,b\\in A,\\quad$$a^{-1}b\\in A$． 〔证明〕： 〔$\\Rightarrow$〕：由 $G$ 的封闭性及其中元素的可逆性显然可知； 〔$\\Leftarrow$〕：  （单位元存在）：由于 $A\\neq\\varnothing$，可知 $\\forall\\;a\\in A,\\quad a^{-1}a=e\\in A$；（可知 $A$ 与 $G$ 的单位元一致）  （逆元存在）：$\\forall\\;a,\\,e\\in A,\\quad a^{-1}e=a^{-1}\\in A$；  （封闭性）：$\\forall\\;a^{-1},\\,b\\in A,\\quad (a^{-1})^{-1}b=ab\\in A$；  （结合性）：$A$ 与 $G$ 具有同一运算，而 $A\\subseteq G$，显然可知． ■ 〔定义〕： 全体行列式为 $1$ 的 $n$ 阶实方阵形成的乘法群，称为 $\\mathbb R$ 上的 $n$ 次特殊线性群（special linear group），记为 $\\mathrm{SL}_n(\\mathbb R)$ 或 $\\mathrm{SL}(n,\\;\\mathbb R)$．其单位元为 $n$ 阶单位矩阵 $𝑰$，且对于任意 $𝑴\\in \\mathrm{SL}_n(\\mathbb R)$，均存在逆元 $𝑴^{-1}$ 使得 $𝑴𝑴^{-1}=𝑴^{-1}𝑴=𝑰$（因为 $\\det 𝑴=1\\neq 0$）．由矩阵乘法的性质可知其结合性，且由于   $\\forall\\;𝑨,\\;𝑩\\in\\mathrm{SL}_n(\\mathbb R),\\quad \\det 𝑨=\\det 𝑩=1,\\;\\det(𝑨𝑩)=\\det 𝑨\\cdot\\det 𝑩=1$, 可知恒有 $𝑨𝑩\\in\\mathrm{SL}_n(\\mathbb R)$，于是可知其封闭性． 同理亦可定义 $\\mathrm{SL}_n(\\mathbb C),\\;\\mathrm{SL}_n(\\mathbb Q)$，从略． 由于 $\\mathrm{SL}_n(\\mathbb R)\\subset\\mathrm{GL}_n(\\mathbb R)$，且 $\\mathrm{SL}_n(\\mathbb R)$ 与 $\\mathrm{GL}_n(\\mathbb R)$ 具有同一运算，可知 $\\mathrm{SL}_n(\\mathbb R)\\leq\\mathrm{GL}_n(\\mathbb R)$． 设 $G$ 是群，其自同构群 $\\mathrm{Aut}(G)$ 是自同态幺半群 $\\mathrm{End}(G)$ 的子群，证明略． Concopiae 陪集为了方便表述，后文均沿用以下的记法： $aA=\\{ax\\mid x\\in A\\},$ $Aa=\\{xa\\mid x\\in A\\},$ $A^{-1}=\\{a^{-1}\\mid a\\in A\\},$ $AB=\\{ab\\mid a\\in A,\\;b\\in B\\}.$ 设 $G$ 是群，且 $A\\leq G$，定义 $G$ 上的关系：   $\\forall\\;g,\\,h\\in G,\\quad g\\overset{\\mathrm{R}}\\sim h\\;\\Leftrightarrow\\;gh^{-1}\\in A$， 可证 $\\overset{\\mathrm{R}}\\sim$ 是 $G$ 上的等价关系，且元素 $g$ 的等价类为 $Ag$． 〔证明〕： $\\forall\\;g\\in G,\\quad gg^{-1}=e\\in A$，可知自反性成立； 若 $g \\overset{\\mathrm{R}}\\sim h$，则有 $gh^{-1}\\in A$，由于 $A$ 是群，所以由可逆性有 $hg^{-1}=(gh^{-1})^{-1}\\in A$，从而 $h\\overset{\\mathrm{R}}\\sim g$，可知对称性成立； 若 $g \\overset{\\mathrm{R}}\\sim h,\\;h\\overset{\\mathrm{R}}\\sim \\ell$，则有 $gh^{-1},\\;h\\ell^{-1}\\in A$，所以由封闭性有 $g\\ell^{-1}=(gh^{-1})(h\\ell^{-1})\\in A$，从而 $g \\overset{\\mathrm{R}}\\sim \\ell$，可知传递性成立. 又由于 $g \\overset{\\mathrm{R}}\\sim h\\;\\Leftrightarrow \\;gh^{-1}\\in A$， 记 $gh^{-1}=a^{-1}\\in A$，则有 $a=hg^{-1}$，进而 $h=ag\\in Ag$． ■ 于是〔定义〕： $G$ 中关于等价关系 $\\overset{\\mathrm{R}}\\sim$ 的每个等价类 $Ag$ 称为群 $G$ 对于子群 $A$ 的右陪集（right coset）．对于该关系的完全代表系 $R=\\{g_i\\mid i\\in I\\}$ 称为 $G$ 对于 $A$ 的右陪集代表元系 （system of representatives for the right cosets of $A$ in $G$）．分划 $\\mathscr R=\\{Ag\\mid g\\in R\\}$ 称为 $G$ 对子群 $A$ 的右陪集分解（right coset partition），通常以等式记作：   $G=\\displaystyle\\bigsqcup_{g\\in R}Ag$． 类似地可以定义等价关系 $\\overset{\\mathrm{L}}\\sim$：   $\\forall\\;g,\\,h\\in G,\\quad g\\overset{\\mathrm{L}}\\sim h\\;\\Leftrightarrow\\;g^{-1}h\\in A$， $G$ 中关于等价关系 $\\overset{\\mathrm{L}}\\sim$ 的每个等价类 $gA$称为群 $G$ 对于子群 $A$ 的左陪集（left coset）．对于该关系可类似地定义$G$ 对于 $A$ 的左陪集代表元系，以及左陪集分解 $\\mathscr L=\\{gA\\mid g\\in R\\}$，或以等式记作：   $G=\\displaystyle\\bigsqcup_{g\\in R}gA$． 〔定义〕： 群 $G$ 对于子群 $A$ 右（左）陪集数量若有限，则 $|\\mathscr R|\\equiv|\\mathscr L|$（即左右陪集数量恒等），记该数量为 $[G:A]$；若数量无限，则 $\\mathscr R$ 与 $\\mathscr L$ 为等势的无限集，并且记 $[G:A]=\\infty$．此处的 $[G:A]$ 称为子群 $A$ 对于群 $G$ 的指数（index）． 在前文中已经定义了怎样的运算才能称作定义良好，而运算本质上是一个映射．先设 $A$ 为集合，$\\sim$ 为其上的等价关系，$A\\,/\\sim$ 为 $A$ 除以 $\\sim$ 的商集，以 $[a]$ 表示 $a$ 关于 $\\sim$ 的等价类．更普遍地，考虑映射 $f:(A/\\sim)\\to B$，其中 $B$ 是任一集合，当且仅当恒有： $\\forall\\;a,\\,\\alpha\\in A,$  $[a]=[\\alpha]\\;\\Rightarrow\\;f([a])=f([\\alpha])$ 可称该映射定义良好，亦即选取代表元的选取不会影响等价类映射的结果． 〔定理 3.2〕 Lagrange 定理（Lagrange’s theorem）： 若 $G$ 为有限群，且 $H\\leq G$，则   $[G:H]=\\dfrac{|G|}{|H|}$， 且 $G$ 的所有子群的阶均为 $|G|$ 的因子． 〔证明〕： 考虑右陪集分解 $\\{Hg\\mid g\\in R\\}$，其中 $R$ 为 $G$ 对 $H$ 的右陪集代表元系：   $\\forall\\;a,\\,b\\in H,\\quad a\\neq b\\;\\Leftrightarrow\\;ag\\neq bg$(1)， 于是   $\\forall\\;g\\in R,\\quad|Hg|=|H|$， 则可得   $|G|=\\displaystyle\\sum_{g\\in R}|Hg|=\\sum_{g\\in R}|H|=|H|\\cdot|R|=|H|\\cdot[G:H]$． ■ 〔例〕： 对于任一 $6$ 阶群，其子群的阶必为 $1,\\,2,\\,3,\\,6$ 之一．其中 $1$ 阶子群即 $\\{e\\}$，$6$ 阶子群即群自身． 质数阶群的子群必为平凡子群． 〔定理 3.3〕 计数公式： 设 $G$ 为有限群，$A,\\;B\\leq G$，则   (α) $|AB|=\\dfrac{|A|\\cdot|B|}{|A\\cap B|}$；   (β) $A\\leq B\\leq G\\quad\\Rightarrow\\quad [G:A]=[G:B][B:A]$；   (γ) $[G:(A\\cap B)]\\leq[G:A][G:B]$．(2)     特别地，若 $\\gcd([G:A],\\,[G:B])=1$，则 $[G:(A\\cap B)]=[G:A][G:B]$ 且 $AB=G$． 〔证明〕： (α)： $AB$ 是若干陪集 $Ab\\;(b\\in B)$ 之并，而 $B$ 是若干陪集 $(A\\cap B)b\\;\\;(b\\in B)$ 之并． 对于任意 $b,\\;b’\\in B$，有    $Ab=Ab’$  $\\Leftrightarrow\\quad b’b^{-1}\\in A$（右陪集所对应的等价关系）  $\\Leftrightarrow\\quad b’b^{-1}\\in A\\cap B$（子群判定定理）  $\\Leftrightarrow\\quad (A\\cap B)b=(A\\cap B)b’$， 所以 $[AB:A]=\\dfrac{|AB|}{|A|}=\\dfrac{|B|}{|A\\cap B|}=[B:(A\\cap B)]$，从而得证． (β)： 考虑 $G$ 对子群 $B$ 的右陪集分解   $G=\\displaystyle\\bigsqcup_{j=1}^n Bg_j,\\quad g_j\\in G,\\;n:=[G:B]$， $B$ 对子群 $A$ 的右陪集分解   $B=\\displaystyle\\bigsqcup_{i=1}^m Ab_i,\\quad b_i\\in B,\\;m:=[B:A]$， 则 $G=\\displaystyle\\bigsqcup_{j=1}^n\\displaystyle\\bigsqcup_{i=1}^m Ab_ig_j$． 若 $Ab_ig_i=Ab_{i’}g_{i’}$  $(i,\\,i’\\in\\{x\\in\\mathbb N\\mid 1\\leq x\\leq m\\},\\quad j,\\,j’\\in\\{x\\in\\mathbb N\\mid 1\\leq x\\leq n\\})$， 则 $b_{i’}g_{j’}g_j^{-1}b_i^{-1}\\in A$，于是 $g_{j’}g_j^{-1}\\in b_{i’}^{-1}Ab_i\\subseteq B$，因此有 $Bg_{j’}=Bg_j$． 由陪集的性质，有 $j=j’$，于是 $b_{i’}g_{j’}g_j^{-1}b_i^{-1}=b_{i’}b_i^{-1}\\in A$． 同理有 $Ab_{i’}=Ab_i$，从而有 $i=i’$．由此，当 $(i,\\,j)\\neq(i’,\\,j’)$ 时， $Ab_ig_j$ 和 $Ab_{i’}g_{j’}$ 是 $G$ 对 $A$ 的不同陪集，便得   $[G:A]=mn=[G:B][B:A]$． (γ)： 对于 $b,\\,b’\\in B$，有 $(A\\cap B)b\\neq(A\\cap B)b’\\;\\Rightarrow\\;b’b^{-1}\\not\\in A\\cap B$ $\\Rightarrow\\;b’b^{-1}\\not\\in A\\;\\Rightarrow\\; Ab\\neq Ab’$． 由此可知，$[B:A\\cap B]\\leq[G:A]$， 于是有 $[G:A\\cap B]=[G:B][B:A\\cap B]\\leq [G:B][G:A]$． 又由此可知 $[G:B]\\mid[G:A\\cap B]$，$[G:A]\\mid[G:A\\cap B]$． 若 $[G:A]\\perp[G:B]$，则 $[G:A][G:B]\\mid[G:A\\cap B]$，从而有 $[G:A][G:B]=[G:A\\cap B]$． 于是有 $\\dfrac{|G|}{|A\\cap B|}=\\dfrac{|G|^2}{|A|\\cdot|B|}$，得 $|G|=\\dfrac{|A|\\cdot|B|}{|A\\cap B|}$． 由 (α)，得 $|G|=|AB|$，便得 $G=AB$． ■ Ordines Elementorum 元素的阶 〔定义〕： 设 $g\\in G$，若存在 $n\\in\\mathbb N_+$ 使得 $g^n=e$，则满足此式的最小正整数 $n$ 称为元素 $g$ 的阶（order），记作 $|g|$ 或 $\\mathrm{ord}(g)$，这样的元素 $g$ 称为有限阶元素（element of finite order）．若不存在 $n\\in\\mathbb N_+$ 使得 $g^n=e$，则称 $g$ 为无限阶元素（element of infinite order），并记 $|g|=\\infty$． 于是可得，有限群 $G$ 中任一元素均为有限阶元素． 〔证明〕： $\\forall\\;g\\in G$，考虑集合 $\\{g,\\,g^2,\\,g^3,\\,\\cdots\\}$，由于 $G$ 有限，则 $\\exists\\;0<m<n,\\quad g^n=g^m$，从而   $g^{n-m}=g^ng^{-m}=g^ng^{-n}=e$， 而 $n-m\\in\\mathbb N_+$，从而 $g$ 为有限阶元素． ■ 〔定理 3.4〕： 有限群 $G$ 中每个元素 $g$ 的阶都是 $|G|$ 的因子：   $\\forall\\;g\\in G,\\quad |G|\\equiv 0\\pmod{|g|}$． 〔证明〕： $g$ 为有限阶元素（Lagrange 定理推论），设 $|g|=n$，则 $g^0=e,\\,g,\\,g^2,\\,g^3,\\,\\cdots,\\,g^{n-1}$ 是 $G$ 中 $n$ 个不同元素，而 $g^n=e$．则这些元素形成 $G$ 的子群 $H$ (4)，从而 $|g|=n=|H|$ 为 $|G|$ 的因子（Lagrange 定理）． ■ 〔定理 3.5〕： 若群 $G$ 中每个非单位元 $g\\neq e$ 的阶均为 $2$，则 $G$ 为阿贝尔群：   $\\forall\\;g\\in G,\\;g\\neq e,\\quad |g|=2$． 〔证明〕： 设任意 $a,\\,b\\in G$，有 $a^2=b^2=e$，而 $(ab)^2=e=abab$，于是   $ab=a(abab)b=(a^2)ba(b^2)=ba$， 得证，$G$ 为阿贝尔群． ■ 〔定理 3.6〕： $p\\in\\mathbb P$(5) 阶群均为阿贝尔群，并同构于整数模 $p$ 加法群 $\\mathbb Z_p$. 〔证明〕： 对于任一 $p$ 阶群 $G$ 中任一非单位元 $g$，均有 $|g|=p$， 从而 $e,\\,g,\\,g^2,\\,\\cdots,\\,g^{p-1}$ 是 $G$ 中的 $p$ 个不同元素， 由于 $|G|=p$，所以 $G=\\{e,\\,g,\\,g^2,\\,\\cdots,\\,g^{p-1}\\}$， 进而   $\\forall\\;i,\\,j\\in\\{x\\in\\mathbb N\\mid 1\\leq x\\leq p-1\\},$    $g^ig^j=g^{i+j}=g^{j+i}=g^jg^i$， 得证 $G$ 为阿贝尔群． 又由于 $g^p=e$，可设 $f:G\\to\\mathbb Z_p,\\quad g^i\\mapsto i$， 可知   $\\forall\\;i,\\,j\\in\\{x\\in\\mathbb N\\mid 1\\leq x\\leq p-1\\},$    $f(g^ig^j)=f(g^{i+j})=i+j=f(g^i)+f(g^j)$，（注意 $\\mathbb Z_p$ 为加法群） 反之亦有   $\\forall\\;k,\\,\\ell\\in\\mathbb Z_p,$    $f^{-1}(k+\\ell)=g^{k+\\ell}=g^kg^\\ell=f^{-1}(k)f^{-1}(\\ell)$， 于是得证 $f:G\\overset{\\Large\\sim}\\to\\mathbb Z_p$. ■ 〔定理 3.7〕： 非阿贝尔群的最小阶数为 $6$. 〔证明〕： $1$ 阶群（平凡群）显然为阿贝尔群； $2,\\,3,\\,5$ 阶群均为阿贝尔群（Th. 3.6）； 考虑 $4$ 阶群 $G$，则 $G$ 中任一非单位元的阶数均为 $2$ 或 $4$（Th. 3.4）， 若存在 $g\\in G,\\;|g|=4$，则 $G=\\{e,\\,g,\\,g^2,\\,g^3\\}$． 此时设 $f:G\\to\\mathbb Z_4,\\quad g^i\\mapsto i$，易证 $f$ 是 $G$ 到 $\\mathbb Z_4$ 的同构，而 $\\mathbb Z_4$ 为阿贝尔群，从而 $G$ 亦为阿贝尔群． 否则，$G$ 中所有非单位元阶数均为 $2$（Th. 3.4），于是此时的 $G$ 亦为阿贝尔群（Th. 3.5）． 考虑满足 $|S|=3$ 的任一集合 $S=\\{\\alpha,\\,\\beta,\\,\\gamma\\}$，所有从 $S$ 到自身的双射所构成的群，称为 $3$ 次对称群(6)，记为 $\\mathfrak S_3$．其中所含的映射（即群的元素）共有 $6$ 个（即 $S$ 中元素的全排列种类），该群为 $6$ 阶非阿贝尔群．将互换第 $a$ 与第 $b$ 个元素位置的映射记为 $(a\\;\\;b)$，则可知   $\\mathfrak S_3=\\{I,\\,(1\\;\\;2),\\,(1\\;\\;3),\\,(2\\;\\;3),\\,(1\\;\\;2)(1\\;\\;3),\\,(2\\;\\;3)(1\\;\\;3)\\}$（$I$ 表示恒等映射）， 可以验证，其中存在不满足交换律的复合映射，如 $(1\\;\\;2)\\circ(1\\;\\;3)$ 即   $S\\to S,\\quad$$\\alpha\\mapsto\\beta,\\;\\beta\\mapsto\\gamma,\\;\\gamma\\mapsto\\alpha$， 而 $(1\\;\\;3)\\circ(1\\;\\;2)$ 即   $S\\to S,\\quad$$\\alpha\\mapsto\\gamma,\\;\\beta\\mapsto\\alpha,\\;\\gamma\\mapsto\\beta$， 于是 $(1\\;\\;2)\\circ(1\\;\\;3)\\neq(1\\;\\;3)\\circ(1\\;\\;2)$． ■ 〔定理 3.8〕： 设 $G$ 为群， $g,\\,h\\in G$，则   (α) 若 $|g|=n$，则 $\\forall\\;m\\in\\mathbb N_+,\\quad|g^m|=\\dfrac n{\\gcd(m,\\;n)}$；   (β) 若 $gh=hg$，且 $|g|=p,\\;|h|=q,\\;p\\perp q$，则 $|gh|=|pq|$． 〔证明〕： (α)： $N:=|g^m|,\\;\\mu:=\\gcd(m,\\,n)$， 由于 $(g^m)^{n/\\mu}=(g^n)^{m/\\mu}=e^{m/\\mu}=e$， 所以 $N\\;\\left|\\;\\dfrac n\\mu\\right.$ (7)  （※）， 又由于 $g^{mN}=e$，有 $n\\mid mN$， 于是 $\\dfrac n\\mu\\left|\\left(\\dfrac m\\mu N\\right)\\right.$， 由最大公因数的性质可知，$\\dfrac n\\mu\\,\\large\\bot\\normalsize\\,\\dfrac m\\mu$， 从而 $\\left.\\dfrac n\\mu\\;\\right|\\;N$，由（※）可得 $|g^m|=N=\\dfrac n\\mu=\\dfrac n{\\gcd(m,\\;n)}$． (β)： $P:=|gh|$， 因为 $gh=hg$，所以 $(gh)^{pq}=g^{pq}h^{pq}=(g^p)^q(h^q)^p=e^qe^p=e$ (8)， 于是 $P\\mid pq$  （▲）． 由 (α) 可知 $|g^q|=\\dfrac p{\\gcd(p,\\,q)}=\\dfrac p1=p$， 而 $g^q=g^qe=g^qh^q=(gh)^q$， 由 (α) 可知 $|(gh)^q|=\\dfrac P{\\gcd(q,\\;P)}=|g^q|$， 从而 $p=\\dfrac P{\\gcd(q,\\;P)}$，所以 $p\\mid P$，同理则有 $q\\mid P$． 又由于 $p\\perp q$，所以 $pq\\mid P$，结合（▲）可知 $P=pq$． ■ Problemata 习题〔3.A〕： 证明 设 $A,\\, B\\leq G$，则   $A\\cup B\\leq G\\;\\Leftrightarrow\\;(A\\subseteq B)\\vee(B\\subseteq A)$． 〔参考解答〕： 〔$\\Rightarrow$〕： 若存在 $a\\in A\\setminus B,\\;b\\in B\\setminus A$， 则 $(ab\\in A)\\vee(ab\\in B)$， 若 $ab\\in A$ 则 $b=a^{-1}(ab)\\in A$，与前提矛盾，若 $ab\\in B$ 则同理， 从而 $A\\setminus B=B\\setminus A=\\varnothing$，而 $A,\\,B\\leq G$，得知 $(A\\subseteq B)\\vee(B\\subseteq A)$． 〔$\\Leftarrow$〕： 此时 $A\\cup B=B$ 或 $A\\cup B=A$，显然得证． ■ 〔3.B〕（利用 3.A 的结论）： 证明 任一群 $G$ 无法表示为其任意两个真子群之并． 〔参考解答〕： 若 $\\exists\\;A,\\,B<G,\\quad G=A\\cup B$， 则 $(A\\subseteq B)\\vee(B\\subseteq A)$， 所以 $(G=A)\\vee(G=B)$，与前提矛盾． ■ 〔3.C〕： 证明 设 $S$ 为有限半群，则有   $S$ 满足消去律 $\\Leftrightarrow$ $S$ 是群． 〔参考解答〕： 〔$\\Leftarrow$〕显然． 〔$\\Rightarrow$〕： 设 $S=\\{s_1,\\,s_2,\\,\\cdots,\\,s_n\\}$，则对其所有元素左乘 $s\\in S$，由消去律可知有 $sS=\\{ss_1,\\,ss_2,\\,\\cdots,\\,ss_n\\}$（即 $\\forall\\;s_k,\\,s_\\ell\\in S,\\quad s_k\\neq s_\\ell\\;\\Leftrightarrow\\;ss_k\\neq ss_\\ell$），且由封闭性可知这是 $S$ 的子集，从而 $sS=S$，同理有 $Ss=S$． 于是 $\\exists\\;s_i\\in S,\\quad s_is=s$， 又因为 $\\forall\\;s_p\\in S,\\;\\exists\\;s_q\\in S,\\quad s_p=ss_q$， 从而 $s_is_p=s_iss_q=ss_q=s_p$，同理可证 $s_ps_i=s_p$，进而 $s_i$ 为单位元． 由于 $sS=S=Ss$，由消去律可知对与 $S$ 的所有元素都存在逆元． 综上，$S$ 是群． ■ 〔3.D〕： 证明 设 $A$ 是群 $G$ 的有限子集，则有   $A\\leq G\\;\\Leftrightarrow\\;\\forall\\;a,\\,b\\in A,\\quad ab\\in A$． 〔参考解答〕： 〔$\\Rightarrow$〕显然． 〔$\\Leftarrow$〕： 因为 $G$ 是群，满足结合律，且易证其满足消去律，而 $A\\subseteq G$，所以 $A$ 也满足结合律与消去律． 由条件可知 $A$ 具有封闭性，因此 $A$ 为满足消去律的有限半群（3.C），于是 $A$ 是群，即 $A\\leq G$． ■ 〔3.E〕： 证明 设 $A,\\,B\\leq G$，则有   $AB\\leq G\\;\\Leftrightarrow\\;AB=BA$． 〔参考解答〕： 〔$\\Rightarrow$〕： $\\forall\\;a\\in A,\\;b\\in B,\\quad$ $ba=(eb)(ae)\\in AB$，从而 $BA\\leq AB$． 又有 $ab=((ab)^{-1})^{-1}=(b^{-1}a^{-1})^{-1}\\in BA$，从而 $AB\\leq BA$． 于是得证 $AB=BA$． 〔$\\Leftarrow$〕： $\\forall\\;a,\\,\\alpha\\in A,\\;\\; b,\\,\\beta\\in B,\\quad$   $ab,\\,\\alpha\\beta\\in AB$，而 $(ab)^{-1}\\alpha\\beta=b^{-1}a^{-1}\\alpha\\beta\\in (BA)(AB)$，   因为 $AB=BA$，所以 $(ab)^{-1}\\alpha\\beta\\in AB$，得证 $AB\\leq G$ （子群判定定理）． ■ 〔3.F〕： 证明 设 $A,\\,B\\leq G$ 且 $G=AB$，则有   $C\\leq G,\\;A\\subseteq C\\;\\Rightarrow\\; C=A(B\\cap C)$． 〔参考解答〕： $\\forall\\;c\\in C,\\;\\exists\\; a\\in A,\\;b\\in B,$   $c=ab\\in AB=G$， 又 $b=a^{-1}c$，因为 $A\\subseteq C$，所以 $a^{-1}\\in C$，从而 $b\\in C$，且 $b\\in B$，进而 $b\\in B\\cap C$， 于是 $c=ab\\in A(B\\cap C)$． ■ 〔3.G〕： 证明 设 $A,\\,B$ 是有限群 $G$ 的子群，则有   $|A|+|B|>|G|\\;\\Rightarrow\\;G=AB$． 〔参考解答〕： $\\forall\\;g\\in G,$   $|A^{-1}g|=|A^{-1}|=|A|$ （消去律），   从而 $|A^{-1}g|+|B|>|G|$，即 $A^{-1}g\\cap B\\neq\\varnothing$，   这意味着存在 $a\\in A,\\;b\\in B$，使得 $a^{-1}g=b$，即 $g=ab$， 得证 $G=AB$． ■ 〔3.H〕： 证明 设 $A,\\,B\\leq G$，若 $\\exists\\;a\\in A,\\;b\\in B,\\quad Aa=Bb$，则 $A=B$． 〔参考解答〕： 因为 $Aa=Bb$，所以 $A=Bba^{-1}$，从而 $ba^{-1}\\in A$， 因为 $A\\leq G$，所以 $(ba^{-1})^{-1}=ab^{-1}\\in A$， 于是 $A=Aab^{-1}=Bbb^{-1}=B$． ■ 〔3.I〕： 证明 设 $A\\leq G$，若 $R$ 是 $G$ 对 $A$ 的左陪集代表元系，则 $R^{-1}$ 是 $G$ 对 $A$ 的右陪集代表元系． 〔参考解答〕： 根据题意，$G=\\displaystyle\\bigsqcup_{g\\in R}gA$，而对于任一 $g\\in R$，都有 $(gA)^{-1}=A^{-1}g^{-1}=Ag^{-1}$， 记 $g^{-1}$ 为 $h\\in R^{-1}$，可知 $G=\\displaystyle\\bigsqcup_{h\\in R^{-1}}Ah$，所以 $R^{-1}$ 为右陪集代表元系． ■ 〔3.J〕： 证明 设 $G$ 为有限群，$H,\\,K\\leq G$，则 $\\forall\\;g\\in G,\\quad$ $|HgK|=|H|\\cdot[K:K\\cap g^{-1}Hg]=|K|\\cdot[H:H\\cap gKg^{-1}]$． 〔参考解答〕： $HgK$ 称为 $G$ 对于子群 $H,\\,K$ 的双陪集，该双陪集可以分解为 $G$ 对于 $H$ 的右陪集之并：   $HgK=\\displaystyle\\bigsqcup_{i=1}^t Hgk_i\\quad(k_i\\in K)$， 因此 $|HgK|=|H|\\cdot t$． 易证 $K\\cap gHg^{-1}\\leq K$，于是任取 $k,\\,k’\\in K$，有   $\\begin{aligned}Hgk = Hgk’\\;&\\Leftrightarrow\\;\\exists\\;h\\in H,\\quad hgk = gk’\\\\\\phantom{\\dfrac11} &\\Leftrightarrow\\;\\exists\\;h\\in H,\\quad g^{-1}hg=k’k^{-1}\\\\&\\Leftrightarrow\\;k’k^{-1}\\in g^{-1}Hg\\\\\\phantom{\\dfrac11}&\\Leftrightarrow\\;k’k^{-1}\\in K\\cap g^{-1}Hg,\\end{aligned}$ 从而 $K=\\displaystyle\\bigsqcup_{i=1}^t\\;(K\\cap g^{-1}Hg)k_i\\quad(k_i\\in K)$，即 $t=[K:K\\cap g^{-1}Hg]$， 进而 $|HgK|=|H|\\cdot t=|H|\\cdot[K:K\\cap g^{-1}Hg]=\\dfrac{|H|\\cdot|K|}{|K\\cap g^{-1}Hg|}$ $=\\dfrac{|H|\\cdot|K|}{|H\\cap gKg^{-1}|}=|K|\\cdot[H:H\\cap gKg^{-1}]$． ■ 〔3.K〕： 证明 设 $G$ 为群，则 $\\forall\\;a,\\,b\\in G,\\quad |a|=|a^{-1}|,\\;|ab|=|ba|$． 〔参考解答〕： 设 $|a|=k$，则 $(a^{-1})^k=(a^k)^{-1}=e$， 若 $\\exists\\;k’<k,\\quad(a^{-1})^{k’}=e$，则 $e=(a^{-1})^{k’}=(a^{k’})^{-1}=a^{k’}$，与 $|a|=k$ 矛盾，因此 $|a^{-1}|=k=|a|$． 设 $|ab|=\\ell$，则 $(ba)^\\ell=b(ab)^{\\ell-1} a=be(ab)^{-1}a=e$， 若 $\\exists\\;\\ell’<\\ell,\\quad(ba)^{\\ell’}=e$，则 $e=b^{-1}(ba)^{\\ell’+1}a^{-1}=(ab)^{\\ell’}$，与 $|ab|=\\ell$ 矛盾，因此 $|ba|=\\ell=|ab|$． ■ 可以看出，$ba=a^{-1}(ab)a$，即 $ba$ 与 $ab$ 共轭 Annotationes 注释 (1). 群中元素的消去律可由逆元的唯一性得证． ↩ (2). $A$ 与 $B$ 都是 $G$ 的子群，可由子群判定定理推知 $A\\cap B\\leq G$：$\\forall\\;p,\\,q\\in A\\cap B,\\quad p^{-1}q\\in A,\\;p^{-1}q\\in B$，从而 $p^{-1}q\\in A\\cap B$． ↩ (3). 即 $\\forall\\;b,\\,b’\\in B,\\quad (A\\cap B)b\\neq (A\\cap B)b’\\;\\Rightarrow\\;Ab\\neq Ab’$． ↩ (4). 子群判定定理：$\\forall\\;i,\\,j\\in\\{x\\in\\mathbb N\\mid 0\\leq x\\leq n-1\\},\\quad$$g^{-i}g^{j}=g^{j-i}=g^{(j-i)\\operatorname{mod}n}\\in H$，其中 $(j-i)\\operatorname{mod}n$ 表示 $j-i$ 除以 $n$ 的余数． ↩ (5). $\\mathbb P$ 表示质数集，今后沿用． ↩ (6). 详细的定义会在更遥远的后文中给出． ↩ (7). $a\\mid b$ 表示 $a$ 整除 $b$，或犹言 $b$ 为 $a$ 之倍数．由于 $g^m$ 的 $n/\\mu$ 次幂为单位元，因此 $n/\\mu$ 必然为其阶数 $N$ 的倍数． ↩ (8). 注意 $(gh)^\\alpha=g^\\alpha h^\\alpha$ 只有在 $gh=hg$ 时才会恒成立． ↩ 前：抽象代数笔记 〇二：群与同态 后：抽象代数笔记 〇四：循环群","categories":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/categoriae/Mathematica/"}],"tags":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Mathematica/"},{"name":"Algebra","slug":"Algebra","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra/"},{"name":"Algebra-Abstracta","slug":"Algebra-Abstracta","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra-Abstracta/"},{"name":"Theoria-Catervarum","slug":"Theoria-Catervarum","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Theoria-Catervarum/"}]},{"title":"De Algebra Abstracta 02 // 抽象代数笔记 〇二：群与同态","slug":"De-Algebra-Abstracta-02","date":"2021-04-22T03:23:56.000Z","updated":"2023-12-05T15:24:27.452Z","comments":true,"path":"2021/04/22/De-Algebra-Abstracta-02.html","link":"","permalink":"https://kotobasuke.github.io/2021/04/22/De-Algebra-Abstracta-02","excerpt":"","text":"前：抽象代数笔记 〇一：集合论 后：抽象代数笔记 〇三：子群与陪集 Catervae & Structurae Algebraicae Similes群及类似的代数结构〔定义〕： 集合 $S$ 与封闭于其上满足结合律的二元运算 $\\bullet$ 形成的代数结构称为半群（semigroup），记作 $(S,\\,\\bullet)$，在明确的情况下略作 $S$． 满足交换律的半群称为交换半群（commutative semigroup）． 二元运算 $\\bullet$ 所成表达式 $x \\bullet y$ 常略作 $xy$，大多情况下，将此运算视如“乘法”或“复合”，其结果称作“积”． 〔例〕： 设 $\\varSigma$ 是所有非空的有穷（实）数列所成的集合，运算 $s+t$ 表示将数列 $t$ 拼接到数列 $s$ 的末尾，即使得 $t_1$ 成为 $s$ 末项的次一项．可以看出，这一运算封闭于集合 $\\varSigma$，不满足交换律而满足结合律，于是 $(\\varSigma,\\,+)$ 是一个半群，但不是交换半群． 正整数集合 $\\mathbb N_+$ 上的加法运算封闭于该集合中，且满足交换律与结合律，$(\\mathbb N_+,\\,+)$ 是一个交换半群． 〔定义〕： 设 $S$ 为半群，若存在 $e\\in S$，使得 $\\forall\\;x\\in S,\\quad ex=xe=x$，则称元素 $e$ 为半群的单位元或幺元（identity element）． 含有单位元的半群称为幺半群（monoid），满足交换律者称为交换幺半群（commutative monoid）． 每个幺半群都有唯一的单位元（证明见后文），幺半群 $S$ 中的单位元常常记作 $e$，$e_S$，$1_S$或 $1$（注意与实数 $1$ 相区分）． 〔例〕： 在前文的例子中所设的 $\\varSigma$ 如果包含空数列，则 $(\\varSigma,\\,+)$ 是一个非交换的幺半群，空数列是其单位元． 自然数集合 $\\mathbb N$ 上的加法运算封闭于该集合中，满足交换律与结合律，并且存在单位元 $0$，使得 $\\forall\\;a\\in\\mathbb N,\\quad a+0=0+a=a$，$(\\mathbb N,\\,+)$ 是一个交换幺半群． 〔定义〕： 设 $M$ 为幺半群，若存在 $a\\in M$，使得 $\\exists\\;b\\in S,\\quad ab=ba=e$，则称 $a$ 为 $b$ 的逆元（inverse element），反之亦然．$a$ 的逆元记作 $a^{-1}$（注意逆元并不一定是 $-1$ 次幂）． $a=b^{-1}\\;\\Leftrightarrow\\;b=a^{-1}.$ $(a^{-1})^{-1}=a.$ 〔例〕： 实数与乘法所成的交换幺半群中，$1$ 为单位元，$\\dfrac 1n$ 为任一非零实数 $n$ 的逆元，显然有 $\\forall\\;n\\in\\mathbb R\\setminus\\{0\\},\\quad n\\cdot\\dfrac 1n=\\dfrac 1n\\cdot n=1$． 〔定义〕： 设 $G$ 为幺半群，若 $\\forall\\;a\\in G,\\;\\exists\\;b\\in G,\\quad b=a^{-1}$，则称 $G$ 为群（group）． 满足交换律的群称为交换群（commutative group）或阿贝尔群（abelian group）(1)． Naturae Catervarum 群的性质 (α) 封闭性（closure）：  $\\forall\\;a,\\,b\\in G,\\quad ab\\;\\in G$；  (β) 结合性（associativity）：  $\\forall\\;a,\\,b,\\,c\\in G,\\quad(ab)c=a(bc)$；  (γ) 存在唯一单位元：  $\\exists!\\;e\\in G,\\;\\forall\\;a\\in G,\\quad ae=ea=a$；(2)  (δ) 存在唯一逆元：  $\\forall\\;a\\in G,\\;\\exists!\\;b\\in G,\\quad ab=ba=e$． $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}.$ 可推广为 $(a_1a_2\\cdots a_n)^{-1}=a_n^{-1}\\cdots a_2^{-1}a_1^{-1}$． 〔证明单位元唯一〕： 设 $G$ 为群，且假设存在任意两个单位元 $e,\\,\\epsilon\\in G,\\;e\\neq\\epsilon$，于是   $\\forall\\;x\\in G,\\quad ex=xe=x$， 从而   $e\\epsilon=\\epsilon e=\\epsilon$，  $(1)$ 又   $\\forall\\;x\\in G,\\quad \\epsilon x=x\\epsilon =x$， 从而   $\\epsilon e=e\\epsilon=e$，  $(2)$ 由 $(1)\\,(2)$ 两式，得 $e=\\epsilon$，与前提矛盾．(3) ■ 〔证明逆元唯一〕： 设 $G$ 为群，且假设对某一元素 $x\\in G$ 有两个逆元 $p,\\,q\\in G,\\;p\\neq q$，于是   $px=xp=qx=xq=e$， 从而   $p=ep=(qx)p=q(xp)=qe=q$，与前提矛盾． ■ 〔定理 2.1〕： 设 $(M,\\,\\cdot)$ 为幺半群，记其中全体可逆元素所成集合为 $M^\\ast$，则 $(M^\\ast,\\,\\cdot)$ 是群． 〔证明〕： 由幺半群性质，显然可知存在单位元 $e\\in M^\\ast$； $(M,\\,\\cdot)$ 与 $(M^\\ast,\\,\\cdot)$ 具有同一运算，因此显然有结合性，并且由于 $M^\\ast$ 中任一元素均可逆则显然有封闭性； 由于 $M^\\ast$ 中各元素 $a$ 均可逆，其逆元 $a^{-1}$ 必然也属于 $M^\\ast$，可知逆元存在性．由此则 $(M^\\ast,\\,\\cdot)$ 是群． ■ 〔定义〕： 若 $a,\\,b\\in\\mathbb Z$ 整除以 $n\\in\\mathbb N_+$ 所得余数相等，则称 $a$ 与 $b$ 模 $n$ 同余 (4)，记作 $a\\equiv b\\;(\\operatorname{mod} n)$，且定义关系：   $a\\sim b\\;\\Leftrightarrow\\;a\\equiv b\\pmod n$， 易证此为等价关系． 记 $i\\in\\mathbb Z$ 所在等价类为 $\\overline i=\\{k\\in\\mathbb Z\\mid k\\equiv i\\;(\\operatorname{mod} n)\\}$，称为 $i$ 的模 $n$ 同余类（congruence class of $i$ modulo $n$）．于是整数集 $\\mathbb Z$ 可分划为 $n$ 个等价类：$\\overline 0,\\,\\overline 1,\\,\\overline 2,\\,\\cdots,\\,\\overline{n-1}$，以 $\\mathbb Z_n$ 表示该分划，则可定义其上的加法：   $\\overline a+\\overline b=\\overline{a+b}$， 则 $(\\mathbb Z_n,\\,+)$ 形成阿贝尔群，其单位元为 $\\overline 0$，该群称为整数模 $n$ 加法群（additive group of integers modulo $n$）． 此外，若定义乘法：   $\\overline a\\cdot\\overline b=\\overline{ab}$， 则 $(\\mathbb Z_n,\\,\\cdot)$ 形成交换幺半群，其单位元为 $\\overline 1$． 对于 $a\\in \\mathbb Z,\\;\\exists\\;b\\in\\mathbb Z,\\quad$$ab\\equiv 1\\pmod n\\;\\Leftrightarrow\\;\\gcd(a,\\,n)=1$(5)，由此，$\\overline a$ 对于上述乘法可逆当且仅当 $\\gcd(a,\\;n)=1$．为了简便起见，后文一律将 $\\gcd(p,\\,q)=1$，即 $p$ 与 $q$ 互质记作 $p\\,\\bot\\,q$． 此处还须证明上述运算定义良好： 设 $a\\sim a’,\\;b\\sim b’$，则 $\\overline a=\\overline{a’},\\;\\overline b=\\overline{b’}$， 由定义，可以设 $a=kn+\\alpha,\\;$ $a’=k’n+\\alpha,\\;$ $b=\\ell n+\\beta,\\;$ $b’=\\ell’n+\\beta\\quad$$(k,\\;k’,\\;\\ell,\\;\\ell’\\in\\mathbb Z)$ ， 则 $a+b=(k+\\ell)n+(\\alpha+\\beta)$，即 $a+b\\equiv \\alpha+\\beta\\pmod n$， 同理则 $a’+b’=(k’+\\ell’)n+(\\alpha+\\beta)$，即 $a’+b’\\equiv \\alpha+\\beta\\;\\pmod n$， 由此则 $\\overline{a+b}=\\overline{a’+b’}$，可知该加法运算定义良好． 又 $ab=k\\ell n^2+(\\alpha\\ell+\\beta k)n+\\alpha\\beta$$=(k\\ell n+\\alpha\\ell+\\beta k)n+\\alpha\\beta$，即 $ab\\equiv \\alpha\\beta\\pmod n$， 同理则 $a’b’=k’\\ell’n^2+(\\alpha\\ell’+\\beta k’)n+\\alpha\\beta$$=(k’\\ell’n+\\alpha\\ell’+\\beta k’)n+\\alpha\\beta$，即 $a’b’\\equiv\\alpha\\beta\\pmod n$， 由此则 $\\overline{ab}=\\overline{a’b’}$，可知该乘法运算定义良好． ■ 〔定义〕： 全体 $n$ 阶可逆实方阵形成的乘法群，称为 $\\mathbb R$ 上的 $n$ 次一般线性群（general linear group），记为 $\\mathrm{GL}_n(\\mathbb R)$ 或 $\\mathrm{GL}(n,\\;\\mathbb R)$. 其单位元为 $n$ 阶单位矩阵 $𝑰$，且对于任意 $𝑴\\in \\mathrm{GL}_n(\\mathbb R)$，均存在逆元 $𝑴^{-1}$ 使得 $𝑴𝑴^{-1}=𝑴^{-1}𝑴=𝑰$．由矩阵乘法的性质可知其结合性，且由于   $\\forall\\;𝑨,\\;𝑩\\in\\mathrm{GL}_n(\\mathbb R),\\quad\\det 𝑨\\neq0,\\;$$\\det 𝑩\\neq0,\\;\\det(𝑨𝑩)=\\det 𝑨\\cdot\\det 𝑩\\neq0$, 可知恒有 $𝑨𝑩\\in\\mathrm{GL}_n(\\mathbb R)$，于是可知其封闭性． 同理亦可定义 $\\mathrm{GL}_n(\\mathbb C),\\,\\mathrm{GL}_n(\\mathbb Q)$，从略． 〔定义〕： 函数 $\\varphi(n)$ 表示不大于 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数之数目，即 $\\varphi(n)=|\\{a\\in\\mathbb N_+\\mid a\\leq n,\\;a\\,\\bot\\,n\\}|$，称为Euler（欧拉）总计函数（Euler’s totient function）或简称 Euler 函数． 设 $n\\in\\mathbb N_+$，$\\overline a$ 为 $a\\in\\mathbb Z$ 的模 $n$ 同余类，则集合 $\\mathbb Z_n^\\ast:=\\{\\overline a\\mid a\\,\\bot\\,n\\}$ 对于乘法形成阿贝尔群，且 $|\\mathbb Z_n^\\ast|=\\varphi(n)$．这表明与 $n\\in\\mathbb N_+$ 互质的 $a\\in\\mathbb Z$ 之同余类共有 $\\varphi(n)$ 个．（详见 抽象代数笔记 〇四：循环群 的“Euler 定理”部分．） Homomorphismi & Isomorphismi 同态与同构〔定义〕： 设 $(G,\\,\\bullet),\\,(G’,\\,\\circ)$ 为两个群，当且仅当映射 $f:G\\to G’$ 满足   $\\forall\\;a,\\,b\\in G,\\quad f(a\\bullet b)=f(a)\\circ f(b)$ 或简记作   $f(ab)=f(a)f(b)$， 则称映射 $f$ 为群 $G$ 到群 $G’$ 的同态（homomorphism(6)）． 特别地，若 $f$ 为单射，则称之为单同态（monomorphism(7)）；若 $f$ 为满射，则称之为满同态（epimorphism(8)）；若 $f$ 为双射（即既是单同态也是满同态），则称之为同构（isomorphism(9)）． 若群 $G$ 到群 $G’$ 存在任一同构 $f:G\\to G’$，则称 $G$ 与 $G’$ 同构（isomorphic）(10)，记为 $G\\cong G’$ 或 $f: G\\overset{\\Large\\sim}{\\to}G’$． 若群 $G,\\;G’$ 同构，则同构映射 $f:G\\overset{\\Large\\sim}{\\to}G’$ 的逆 $f^{-1}:G’\\to G$ 也是同构． 可证同构是等价关系： 设 $f: G\\overset{\\Large\\sim}{\\to}G’,\\quad g=f^{-1}$，则   $\\forall\\;a,\\,b\\in G,\\quad f(ab)=f(a)f(b)$，   $\\forall\\;c,\\,d\\in G’,\\quad g(cd)=g(c)g(d)$， 若 $G’=G$，可设恒等映射 $f:G\\to G,\\quad x\\mapsto x$，则 $g:G\\to G,\\quad x\\mapsto x$，于是有 $f(ab)=ab=f(a)f(b)$ 成立，且 $g(cd)=cd=g(c)g(d)$ 亦成立，即 $G\\cong G$，可知其自反性； 又由双射的性质，可知其对称性； 又设 $f’:G’\\overset{\\Large\\sim}{\\to}H,\\quad g’=f’^{-1}$，则   $\\forall\\;j,\\,k\\in G’,\\quad f’(jk)=f’(j)f’(k)$，   $\\forall\\;m,\\,n\\in H,\\quad g’(mn)=g’(m)g’(n)$ 于是有 $\\varphi=f’\\circ f: G\\to H,\\quad$$\\psi=\\varphi^{-1}=g\\circ g’:H\\to G$，并且  $\\forall\\;a,\\,b\\in G,$   $\\varphi(ab)=f’f(ab)=f’(f(a)f(b))$$=f’f(a)f’f(b)=\\varphi(a)\\varphi(b)$；  $\\forall\\;m,\\,n\\in H,$   $\\psi(mn)=gg’(mn)=g(g’(m)g’(n))$$=gg’(m)gg’(n)=\\psi(m)\\psi(n)$， 即 $G\\cong H$，可知其传递性． ■ 群的同构关系揭示了群之间内在结构的一致性，同构的群拥有着相同的构造，这意味着研究一个群，往往就能得到与之同构的群的性质．但是，当同构的群同时作为另一群的子群时，它们的地位常常是不一致的．换言之，同构保持了群自身的结构（“内在的”），但不保证对于其他的群拥有同样的关系（“外在的”）． 设映射 $f:G\\to H$ 为群同态，则有以下两条重要性质   (α) $f(e_G)=e_H$；  (β) $\\forall\\;a\\in G,\\quad f(a^{-1})=f(a)^{-1}$. 〔证明〕： $e:=e_G,\\;e’:=e_H$，则   $f(e)=f(ee)=f(e)f(e)$， 由此得证 $f(e)=e’$； 又有   $f(e)=f(aa^{-1})=f(a)f(a^{-1})=e’$，   $f(e)=f(a^{-1}a)=f(a^{-1})f(a)=e’$， 于是可知 $f(a)f(a^{-1})=f(a^{-1})f(a)=e’$，即 $f(a)f(a^{-1})$ 为 $f(a^{-1})f(a)$ 的逆元，得证 $f(a^{-1})=f(a)^{-1}$． ■ 〔定义〕： 群 $G$ 到其自身的同态称为自同态（endomorphism(11)），到其自身的同构称为自同构（automorphism(12)）． 自同态的复合恒为自同态（可参考前述关于同构等价的证明得证）．群 $G$ 上所有自同态所成集合关于复合运算成幺半群，称为自同态幺半群（endomorphism monoid），并记为 $\\mathrm{End}(G)$，其单位元为 $G$ 上的恒等映射． 群 $G$ 上所有自同构所成集合关于复合运算成群，称为自同构群（automorphism group），并记为$\\mathrm{Aut}(G)$，其单位元为 $G$ 上的恒等映射，且由双射的性质可知其中所有映射均可逆．由于同构具有传递性，因此可知其封闭性，由复合映射的性质可知其结合性． 恒等映射称为平凡自同构（trivial automorphism）． $G$ 上的所有自同构 $f$ 均满足 $f(G)=G$(13)． Annotationes 注释 (1). 尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802—1829），挪威数学家，因证明五次方程不存在根式解而闻名，在众多领域有所成就． ↩ (2). $\\exists!$ 表示唯一存在． ↩ (3). 幺半群的单位元唯一性亦可同理得证． ↩ (4). $a$ and $b$ are congruent modulo $n$，congruent 所对应的名词为 congruence． ↩ (5). $\\gcd(a,\\,n)$ 表示 $a$ 与 $n$ 的最大公因数（greatest common divisor），$\\gcd(a,\\,n)=1$ 即 $a$ 与 $n$ 互质．此结论可由数论的 Bézout 定理（Bézout’s lemma）得出． ↩ (6). homo-：希腊语 homos “相同”，morph-：希腊语 morphē “形态”． ↩ (7). mono-：希腊语 monos “单独”，morph- 同上． ↩ (8). epi-：希腊语 epi “向上”，morph- 同上．这一构词来自“满射” surjection 的本义“向上射”． ↩ (9). iso-：希腊语 isos “相等”，morph- 同上． ↩ (10). 需要注意这里出现的两个“同构”的区别，前者是映射的一种，后者是群之间的关系． ↩ (11). endo-：希腊语 endon “在内”，morph- 同上． ↩ (12). auto-：希腊语 autos “自己”，morph- 同上． ↩ (13). $f(G):=\\{f(x)\\mid x\\in G\\}$，类似情况同理． ↩ 前：抽象代数笔记 〇一：集合论 后：抽象代数笔记 〇三：子群与陪集","categories":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/categoriae/Mathematica/"}],"tags":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Mathematica/"},{"name":"Algebra","slug":"Algebra","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra/"},{"name":"Algebra-Abstracta","slug":"Algebra-Abstracta","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra-Abstracta/"},{"name":"Theoria-Catervarum","slug":"Theoria-Catervarum","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Theoria-Catervarum/"}]},{"title":"De Algebra Abstracta 01 // 抽象代数笔记 〇一：集合论","slug":"De-Algebra-Abstracta-01","date":"2021-04-22T02:09:14.000Z","updated":"2023-12-05T15:24:15.691Z","comments":true,"path":"2021/04/22/De-Algebra-Abstracta-01.html","link":"","permalink":"https://kotobasuke.github.io/2021/04/22/De-Algebra-Abstracta-01","excerpt":"","text":"Praefatio 前言抽象代数（abstract algebra）是研究代数结构的数学分支，其研究对象主要包括了群（group）、环（ring）、域（field）等．在 18 世纪前后的数学家对高次方程解的研究中，群论逐渐成型．随后，环等等概念也逐渐出现．20 世纪初，对代数结构的研究方法发生了显著改变，而为了区分于古典时期的代数研究，人们也称这一数学领域为近世代数（modern algebra）．群论与环论在此进程中渐渐成为纯数学中的重要部分，并应用于理论物理、理论计算机科学等各种领域． 本系列文章源自本人学习抽象代数的手写笔记，基本上基于冯克勤《近世代数引论》(1)，同时参考了其他资料，在此预先一并列出： 书籍： 冯克勤, 李尚志, 章璞. 近世代数引论. 合肥: 中国科学技术大学出版社, 2018 Michael Artin. 代数（Algebra）. 北京: 机械工业出版社, 2011 Serge Lang. 代数（Algebra）. New York: Springer-Verlag, 2002 Thomas W. Hungerford. Algebra. New York: Springer-Verlag, 1974 永尾汎. 群論の基礎. 東京: 朝倉書店, 2004 志賀浩二. 群論への30講. 東京: 朝倉書店, 1989 左孝凌, 李为鉴, 刘永才. 离散数学. 上海: 上海科学技术文献出版社, 1982 网络公开课： 【大学数学】群論入門（日语，Youtube） 万门大学 抽象代数 网络资料： Groupprops Wikipedia inversioner 的近世代数学习笔记 本文仅仅是学习笔记，主要为整理书中内容并按个人理解稍作修改而成，限于学识而错误在所难免，望指正． 在此特别感谢 AlphaGem 对笔记的指正及指导意见，知乎 刘醉白 对部分内容提供的解答． Nexus Seriei 全系列链接抽象代数笔记 〇一：集合论 // Theoria Copiarum 抽象代数笔记 〇二：群与同态 // Catervae & Homomorphismi 抽象代数笔记 〇三：子群与陪集 // Succatervae & Concopiae 抽象代数笔记 〇四：循环群 // Catervae Cyclicae 抽象代数笔记 〇五：共轭、正规化子与中心化子 // Conjugatio, Normalizatores & Centralizatores 抽象代数笔记 〇六：正规子群与商群 // Succatervae Normales & Catervae Quotientis 抽象代数笔记 〇七：同态与同构定理 // Theoremata Homomorphismi Isomorphismique 抽象代数笔记 〇八：置换群与单群 // Catervae Permutationis & Catervae Simplicae 抽象代数笔记 〇九：群作用 // Actiones Catervarum 抽象代数笔记 一〇：Sylow 定理 // Theorema Sylowi 抽象代数笔记 一一：自由群 // Catervae Liberae 抽象代数笔记 一二：有限生成阿贝尔群 // Catervae Abelianae Finite Generatae 抽象代数笔记 一三：小阶群的结构 // Structurae Catervarum Parvarum 抽象代数笔记 一四：可解群 // Catervae Solubiles 抽象代数笔记 一五：环与域 // Anelli & Corpora 抽象代数笔记 一六：理想与环的同构定理 // Idealia & Theoremata Isomorphismi Anellorum 抽象代数笔记 一七：环同态的应用 // Applicationes Homomorphismorum Anellorum ……（更新中） Praeliminares de Theoria Copiarum集合论预备知识对于任意多个集合组成的集族 $\\{A_i\\mid i\\in I\\}$（其中 $I$ 为集族的索引集合），有   $\\displaystyle\\bigcap_{i\\in I}\\;A_i=\\{x\\mid \\forall\\;i\\in I,\\quad x\\in A_i\\},$   $\\displaystyle\\bigcup_{i\\in I}\\;A_i=\\{x\\mid \\exists\\;i\\in I,\\quad x\\in A_i\\}.$ 特别地，如果集合互不相交，其并集称为这些集合的不交并（disjoint union），记作 $\\displaystyle\\bigsqcup_{i\\in I}\\;A_i$． 〔定义〕： 设 $A,\\;B$ 为两个集合，集合 $\\{(a,\\,b)\\mid a\\in A,\\;b\\in B\\}$ (2)称为 $A$ 和 $B$ 的直积（direct product）或笛卡尔积（Cartesian product），记作 $A\\times B$． $\\forall\\;a,\\,a’\\in A,\\;\\forall\\;b,\\,b’\\in B,$ $(a,\\,b)=(a’,\\,b’)\\;\\Leftrightarrow\\;a=a’,\\;b=b’.$ $\\displaystyle\\prod_{i=1}^n A_i=\\{(a_1,\\,\\cdots,\\,a_n)\\mid a_i\\in A_i,\\;1\\leq i\\leq n\\}.$ 〔定义〕： 设 $f: A\\to B,\\; g:A\\to B$，若 $\\forall\\;a\\in A,\\quad f(a)=g(a)$，则称 $f$ 和 $g$ 相等． 〔定义〕： 集合间的映射 $f:A\\to B,\\; g:B\\to C$ 经连续作用可得   $g\\circ f:A\\to C,\\quad(g\\circ f)(a)=g(f(a)),$ 映射 $g\\circ f$ 称为 $f$ 和 $g$ 的复合映射或合成映射（composition）．出于简便考虑，$g(f(a))$ 也会写成 $gf(a)$． 合成运算满足结合律： 设 $f: A\\to B,\\;g:B\\to C,\\; h:C\\to D$，有   $h\\circ(g\\circ f) = (h\\circ g)\\circ f$． 〔定义〕： 设 $A$ 为集合，映射   $I_A:A\\to A,\\quad a\\mapsto a$ 称为集合 $A$ 上的恒等映射（identity map）． 映射 $f:A\\to B$ 为双射，当且仅当存在映射 $g:B\\to A$，使得 $f\\circ g=I_B,\\;g\\circ f=I_A$． 〔定义〕： 集合 $A\\times A$ 的每个子集 $R$ 称为集合 $A$ 上的一个关系（relation）(3)． 若 $(a,\\,b)\\in R$，则称 $a$ 与 $b$ 有关系 $R$，记作 $aRb$． 〔定义〕： 定义集合 $A$ 上的关系 $\\sim$，当且仅当关系 $\\sim$ 满足  (α) 自反性（reflexivity）：  $\\forall\\; a\\in A,\\quad a\\sim a$；  (β) 对称性（symmetry）：  $\\forall\\;a,\\,b\\in A,\\quad a\\sim b\\;\\Rightarrow\\; b\\sim a$；  (γ) 传递性（transitivity）：  $\\forall\\; a,\\,b,\\,c\\in A,\\quad a\\sim b,\\;b\\sim c\\;\\Rightarrow\\; a\\sim c$， 则称之为集合 $A$ 上的等价关系（equivalence relation）． 对任意 $a\\in A$，记 $[a]=\\{b\\in A\\mid a\\sim b\\}$，则称 $[a]$ 为 $a$ 所在的等价类（equivalence class），且有  (α)  $\\forall\\;p,\\,q\\in[a],\\quad p\\sim q$；  (β)  $p\\in[a]\\;\\Rightarrow\\;[a]=[p]$；  (γ)  $[a]\\cap[p]\\neq\\varnothing\\;\\Rightarrow\\;[a]=[p]$． 元素 $a$ 称为等价类的代表元（representative）． 对于集合 $A$ 上的等价关系 $\\sim$，所有等价类组成的集族称为 $A$ 除以 $\\sim$ 的商集（quotient set of $A$ by $\\sim$），或 $A$ 除以 $\\sim$ 的商空间（quotient space of $A$ by $\\sim$），记作 $A\\,/\\sim$． 〔定义〕： 设集合 $A$ 上有等价关系 $\\sim$，若 $A$ 的子集 $R=\\{r_1,\\,\\cdots,\\,r_n\\}$ 满足：   $\\forall\\;r_i,\\,r_j\\;(i,\\,j\\in\\{x\\mid 1\\leq x\\leq n\\},\\;i\\neq j),\\quad [i]\\neq [j]$， 且   $\\forall\\;a\\in A,\\;\\exists\\;r\\in R,\\quad a\\sim r$， 则称 $R$ 为集合 $A$ 关于等价关系 $\\sim$ 的完全代表系（complete system of representatives），从而有   $A=\\displaystyle\\bigsqcup_{a\\in R}\\;[a]$． 换言之，集合 $A$ 关于等价关系 $\\sim$ 的一个完全代表系即从商集 $A/\\sim$ 所含的集合中各取一个元素所成的集合． 〔定义〕： 记集合 $A$ 的子集中某些互不相交的非空子集组成的集族为 $\\mathscr F$，若 $\\mathscr F$ 中所有集合之并等于 $A$，则称 $\\mathscr F$ 中的集合覆盖（covers）$A$，且 $\\mathscr F$ 为集合 $A$ 的一个分划或分拆（partition）(4)． 若定义关系 $\\sim:\\;\\forall\\;a,\\,b\\in A,\\quad a\\sim b\\;\\Leftrightarrow\\;a,\\,b\\in A_i$，其中 $A_i\\in \\mathscr F$，则关系 $\\sim$ 为等价关系． 集合 $A$ 上的等价关系与其分划一一对应． 〔定义〕： 定义集族 $\\mathscr F$ 上的等价关系：   $\\forall\\;A,\\,B\\in\\mathscr F,$   $A\\sim B\\;\\Leftrightarrow\\;$存在 $f:A\\to B$ 且 $f$ 为双射， 由此，若集合 $P,\\;Q$ 满足 $P\\sim Q$，则称 $P$ 与 $Q$ 等势（equinumerous）． 有限集 $A,\\;B$ 等势当且仅当 $|A|=|B|$(5)． 等势于正整数集 $\\mathbb N_+$ (6)的集合称为可数无限集（countably infinite set），其余无限集称为不可数无限集（uncountably infinite set）． 设 $A$ 为有限集，其幂集 $\\mathscr P(A)$ 的势 $|\\mathscr P(A)|=2^{|A|}$． 〔证明〕： $n:=|A|$(7)，则 $A$ 共有 $\\mathrm C_m^n$(8)个 $m$ 元子集， 从而 $|\\mathscr P(A)|=\\displaystyle\\sum_{i=0}^n\\mathrm C_i^n=2^n$．(9) ■ 〔定义〕： 设 $A$ 为集合，映射 $f:A\\times A\\to A$ 称为集合 $A$ 上的一个二元运算（binary operation），简称运算． 设 $\\sim$ 为 $A$ 上的等价关系，$A\\,/\\sim$ 为 $A$ 除以 $\\sim$ 的商集，以 $[a]$ 表示 $a$ 关于 $\\sim$ 的等价类．又设二元运算 $g:(A\\,/\\sim)\\times(A\\,/\\sim)\\to (A\\,/\\sim)$ ，当且仅当恒有   $\\forall\\;a,\\,b,\\,\\alpha,\\,\\beta\\in A,\\;$   $[a]=[\\alpha],\\;[b]=[\\beta]\\;\\Rightarrow\\; g([a],\\;[b])=g([\\alpha],\\;[\\beta])$， 可称该运算定义良好（well-defined）． Annotationes 注释 (1). 我知道这书风评不太好． ↩ (2). $(a,\\,b)$ 表示序偶（有序对），一些资料也使用尖括号的写法：$\\langle a,\\,b\\rangle$． ↩ (3). 集合论中也会定义涉及不同集合的关系，此处只考虑处于同一集合者． ↩ (4). 一些资料也使用类似的近义词作为译语． ↩ (5). $|A|$ 表示有限集 $A$ 的基数（cardinal number），即其中元素的数量，也记作 $\\mathrm{card}(A)$．无限集的元素之“多少”不能直接以数量衡量，这一量度称为无限集的势（cardinality）. 一些场合下有限集的基数也统称为势，后文均依此． ↩ (6). 按照中国国家标准与 ISO 相关标准，自然数集 $\\mathbb N$ 指非负整数的集合，而此处用 $\\mathbb N_+$ 表示正整数的集合，即 $\\mathbb N\\setminus \\{0\\}$，后文均依此． ↩ (7). 本文及后文中，符号 $n:=a$ 表示“定义 $n$ 等于 $a$”，$a=:n$ 表示“记 $a$ 为 $n$”，其中的 $n$ 代表为了简便等原因引入的新符号，而 $a$ 表示已有定义的表达式． ↩ (8). 此处依照 ISO 以及国际惯例，$\\mathrm C_m^n:=\\dfrac{n!}{m!(n-m)!}$，也记作 $\\begin{pmatrix}n\\\\m\\end{pmatrix}$，而在中国国家标准中作 $\\mathrm C_n^m$． ↩ (9). （二项式定理）：$2^n=(1+1)^n=\\sum_{i=0}^n\\mathrm C_i^n(1^{n-k}\\cdot1^k)=\\sum_{i=0}^n\\mathrm C_i^n$． ↩ 后：抽象代数笔记 〇二：群与同态","categories":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/categoriae/Mathematica/"}],"tags":[{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Mathematica/"},{"name":"Algebra","slug":"Algebra","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra/"},{"name":"Algebra-Abstracta","slug":"Algebra-Abstracta","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra-Abstracta/"},{"name":"Theoria-Catervarum","slug":"Theoria-Catervarum","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Theoria-Catervarum/"},{"name":"Theoria-Copiarum","slug":"Theoria-Copiarum","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Theoria-Copiarum/"}]}],"categories":[{"name":"Linguistica","slug":"Linguistica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/categoriae/Linguistica/"},{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/categoriae/Mathematica/"}],"tags":[{"name":"Lingua-Latina","slug":"Lingua-Latina","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Lingua-Latina/"},{"name":"Linguae-Classicae","slug":"Linguae-Classicae","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Linguae-Classicae/"},{"name":"Phonetica","slug":"Phonetica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Phonetica/"},{"name":"Phonologia","slug":"Phonologia","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Phonologia/"},{"name":"Pronuntiatio","slug":"Pronuntiatio","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Pronuntiatio/"},{"name":"Orthographia","slug":"Orthographia","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Orthographia/"},{"name":"Mathematica","slug":"Mathematica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Mathematica/"},{"name":"Logica","slug":"Logica","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Logica/"},{"name":"Fundamentum-Mathematicum","slug":"Fundamentum-Mathematicum","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Fundamentum-Mathematicum/"},{"name":"Linguae-Formales","slug":"Linguae-Formales","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Linguae-Formales/"},{"name":"Algebra","slug":"Algebra","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra/"},{"name":"Algebra-Linearis","slug":"Algebra-Linearis","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra-Linearis/"},{"name":"Algebra-Abstracta","slug":"Algebra-Abstracta","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Algebra-Abstracta/"},{"name":"Theoria-Catervarum","slug":"Theoria-Catervarum","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Theoria-Catervarum/"},{"name":"Theoria-Copiarum","slug":"Theoria-Copiarum","permalink":"https://kotobasuke.github.io/pittacia/Theoria-Copiarum/"}]}