面试题45：圆圈中最后剩下的数字.md

#面试题45 圆圈中最后剩下的数字

题目

0,1,...,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始每次从这个圆圈里删除第m个数字。求这个圆圈里剩下的最后一个数字。

解法:

可以创建一个总共有n个结点的环形链表，然后每次在这个链表中删除第m个结点。我们发现使用环形链表里重复遍历很多遍。重复遍历当然对时间效率有负面的影响。这种方法每删除一个数字需要m步运算，总共有n个数字，因此总的时间复杂度为O(mn)。同时这种思路还需要一个辅助的链表来模拟圆圈，其空间复杂度O(n）。接下来我们试着找到每次被删除的数字有哪些规律，希望能够找到更加高效的算法。

首先我们定义一个关于n和m的方程f(n,m)，表示每次在n个数字0，1，。。。n-1中每次删除第m个数字最后剩下的数字。

在这n个数字中，第一个被删除的数字是（m-1)%n.为了简单起见，我们把（m-1)%n记为k，那么删除k之后剩下的n-1个数字为0，1，。。。。k-1，k+1,.....n-1。并且下一次删除从数字k+1,......n-1,0,1,....k-1。该序列最后剩下的数字也应该是关于n和m的函数。由于这个序列的规律和前面最初的序列不一样（最初的序列是从0开始的连续序列），因此该函数不同于前面的函数，即为f'(n-1,m)。最初序列最后剩下的数字f(n,m)一定是删除一个数字之后的序列最后剩下的数字，即f(n,m)=f'(n-1,m).

接下来我么把剩下的这n-1个数字的序列k+1,....n-1，0，1，,,,,,,k-1做一个映射，映射的结果是形成一个从0到n-2的序列

k+1        ------>     0
k+2      --------->    1
。。。。
n-1      -----    > n-k-2
0         ------->    n-k-1
1       --------->    n-k
.....
k-1   --------->    n-k

我们把映射定义为p，则p(x) = (x-k-1)%n。它表示如果映射前的数字是x,那么映射后的数字是（x-k-1)%n.该映射的逆映射是p-1(x)= (x+k+1)%n.

由于映射之后的序列和最初的序列具有同样的形式，即都是从0开始的连续序列，因此仍然可以用函数f来表示，记为f(n-1,m).根据我们的映射规则，映射之前的序列中最后剩下的数字f'(n-1,m) = p-1[(n-1,m)] = [f(n-1,m)+k+1]%n ,把k= (m-1)%n代入f(n,m) = f'(n-1,m) =[f(n-1,m)+m]%n.

经过上面的复杂的分析，我们终于找到一个递归的公示。要得到n个数字的序列中最后剩下的数字，只需要得到n-1个数字的序列和最后剩下的数字，并以此类推。当n-1时，也就是序列中开始只有一个数字0，那么很显然最后剩下的数字就是0.我们把这种关系表示为：

代码如下：

public static int lastRemaining(int n, int m){
		if(n < 1 || m < 1){
			return -1;
		}
		int last = 0;
		for(int i = 2; i <= n; i++){
			last = (last + m) % i;
		}
		return last;
	}