07-szereg-dynamiczny.Rmd

# Analiza szeregu dynamicznego

Badanie szeregu dynamicznego umożliwia dokładne określenie zmian jakie zachodzą w kolejnych okresach. Za przykład posłuży sprzedaż piwa w województwie wielkopolskim w kolejnych okresach.

```{r, echo=FALSE}
piwa <- readxl::read_xlsx("zbiory/piwa.xlsx")

piwa_wlkp <- piwa %>%
  filter(wojewodztwo=="Wielkopolskie") %>%
  group_by(miesiac) %>%
  summarise(liczba_sztuk=sum(sztuki)) %>% 
  ungroup() %>% 
  mutate(miesiac=factor(miesiac, labels = c("Styczeń", "Luty", "Marzec", "Kwiecień", "Maj", "Czerwiec", "Lipiec", "Sierpień"), ordered = T))

piwa_wlkp %>%
  knitr::kable()

```

```{r}
ggplot(piwa_wlkp, aes(x=miesiac, y=liczba_sztuk)) + 
  geom_point() + 
  ylim(0,3000) +
  xlab("Liczba sztuk") + 
  ylab("Miesiąc") +
  theme_light()
```


## Przyrosty absolutne

**Odejmowanie** dwóch wielkości liczbowych daje w wyniku dodatni lub ujemny **przyrost absolutny (bezwzględny)**. Przyrosty mogą być obliczane w stosunku do jednego okresu (momentu) lub też okresu (momentu) stale zmieniającego się.

Jeśli poszczególne wyrazy szeregu dynamicznego oznaczymy przez:

$$y_1, y_2, y_3, ..., y_n$$

to ciąg przyrostów absolutnych o podstawie stałej $y_1$ **(jednopodstawowych)** przedstawia się następująco:

$$y_2-y_1, y_3-y_1, ..., y_{n-1}-y_1, y_n-y_1$$

Natomiast ciąg przyrostów absolutnych o podstawie zmiennej (**łańcuchowych**) ma postać:

$$y_2-y_1, y_3-y_2, ..., y_{n-1}-y_{n-2}, y_n-y_{n-1}$$

Przyrosty absolutne informują o tym, o ile jednostek wzrósł (znak plus) lub zmalał (znak minus) poziom badanego zjawiska w okresie (momencie) badanym w porównaniu z okresem (momentem) przyjętym za podstawę. Przyrosty absolutne są wyrażone w tych samych jednostkach miary co badane zjawisko.

Przyrosty absolutne o podstawie w maju oraz przyrosty absolutne łańcuchowe przedstawione są w tabeli.

```{r, echo=FALSE}

piwa_wlkp %>%
  mutate(Paj=liczba_sztuk-2594,
         Pal=liczba_sztuk-lag(liczba_sztuk,1)) %>%
  kable

```

Na podstawie przyrostów absolutnych jednopodstawowych stwierdzamy, że sprzedaż piwa w lutym była o 603 sztuki mniejsza w porównaniu do maja. Z kolei przyrosty absolutne łańcuchowe informują o tym, że lipcu liczba sprzedanych piw była większa o 117 sztuk w porówaniu do czerwca.

## Przyrosty względne

**Iloraz** przyrostów absolutnych zjawiska i jego poziomu w okresie (momencie) przyjętym za podstawę porównań nazywamy **przyrostem względnym**. 

Ciąg wartości przyrostów względnych o stałej podstawie $y_1$ (**jednopodstawowych**) jest następujący:

$$\frac{y_2-y_1}{y_1}, \frac{y_3-y_1}{y_1}, ..., \frac{y_{n-1}-y_1}{y_1}, \frac{y_n-y_1}{y_1}$$

Ciąg wartości przyrostów względnych o podstawie zmiennej (**łańcuchowych**) ma postać:

$$\frac{y_2-y_1}{y_1}, \frac{y_3-y_2}{y_2}, ..., \frac{y_{n-1}-y_{n-2}}{y_{n-2}}, \frac{y_n-y_{n-1}}{y_{n-1}}$$

Przyrosty względne wyrażane są w procentach. Informują o ile wyższy lub niższy jest poziom badanego zjawiska w danym okresie w stosunku do okresu przyjętego za podstawę (przyrosty względne jednopodstawowe) lub w stosunku do okresu bezpośrednio poprzedzającego (przyrosty względne łańcuchowe). Przyrosty względne mogą być wartościami dodatnimi, ujemnymi lub równymi zero. Określane są niekiedy mianem wskaźników tempa przyrostu.

```{r, echo=FALSE}

piwa_wlkp %>%
  mutate(Pwj=round((liczba_sztuk-2594)/2594*100,2),
         Pwl=round((liczba_sztuk-lag(liczba_sztuk,1))/lag(liczba_sztuk,1)*100,2)) %>%
  kable

```

Na podstawie przyrostów względnych jednopodstawowych stwierdzamy, że sprzedaż piwa w lutym była o 22,25% mniejsza w porównaniu do maja. Z kolei przyrosty względne łańcuchowe informują o tym, że lipcu liczba sprzedanych piw była większa o 4,41% w porówaniu do czerwca.

## Indeksy

Indeksem (wskaźnikiem dynamiki) nazywamy każdą liczbę względną powstałą przez podzielenie wielkości danego zjawiska w okresie badanym (sprawozdawczym) przez wielkość tego zjawiska w okresie podstawowym (bazowym). Jeżeli poziom zjawiska w okresie (momencie) badanym oznaczymy symbolem $y_1$, a w okresie podstawowym symbolem $y_0$, to ogólny wzór na indeks przyjmie postać: $i=\frac{y_1}{y_0}$. 

Indeks jest wielkością niemianowaną i może być wyrażony w ułamku lub w procentach. Jeżeli indeks przyjmie wartość z przedziału $0 \leq i < 1$, świadczy to o spadku poziomu zjawiska w okresie badanym w stosunku do okresu podstawowego. Większa od 1 (lub od 100%) wartość indeksu informuje o wzroście poziomu zjawiska w okresie badanym w porównaniu z okresem podstawowym. Wreszcie indeks równy 1 oznacza, że poziomy zjawiska w okresach badanym i podstawowym są takie same. 

Ciąg indeksów o stałej podstawie $y_1$ (**jednopodstawowych**) można zapisać:

$$\frac{y_1}{y_1}, \frac{y_2}{y_1}, ..., \frac{y_{n-1}}{y_1}, \frac{y_n}{y_1}$$

Ciąg indeksów o podstawie zmiennej (**łańcuchowych**) ma postać:

$$\frac{y_2}{y_1}, \frac{y_3}{y_2}, ..., \frac{y_{n-1}}{y_{n-2}}, \frac{y_n}{y_{n-1}}$$

Między przyrostami względnymi a indeksami istnieje ścisły związek. Indeksy jednopodstawowe można otrzymać z przyrostów względnych o podstawie stałej poprzez dodanie 100 (lub jedności, jeśli posługujemy się ułamkami, a nie wielkościami procentowymi). W analogiczny sposób można dokonać przejścia z indeksów łańcuchowych na przyrosty względne łańcuchowe. Oczywiście można dokonać również operacji odwrotnej, tzn. zamienić indeksy na przyrosty względne. 


```{r, echo=FALSE}

piwa_wlkp %>%
  mutate(Ij=round((liczba_sztuk/2594)*100,2),
         Il=round((liczba_sztuk/lag(liczba_sztuk,1))*100,2)) %>%
  kable

```

W praktyce badań statystycznych częściej wykorzystuje się indeksy niż przyrosty względne. Na indeksach wygodniej jest bowiem dokonywać określonych przekształceń i działań algebraicznych. Działania, jakie mogą być dokonywane na indeksach, sprowadzają się w zasadzie do zamiany indeksów jednopodstawowych na łańcuchowe i odwrotnie oraz do zmiany podstawy w szeregu indeksów o podstawie stałej.

**Zamiany indeksów jednopodstawowych na łańcuchowe** dokonuje się poprzez dzielenie indeksów jednopodstawowych przez siebie:

$$\frac{y_i}{y_1}/\frac{y_{i-1}}{y_1}=\frac{y_i}{y_{i-1}}$$

W praktyce indeksy łańcuchowe na podstawie indeksów jednopodstawowych liczymy tak samo jak zwykłe indeksy łańcuchowe, tylko zamiast wartości bezwzględnych podstawiamy wartości indeksów jednopodstawowych.

**Zamiany indeksów łańcuchowych na jednopodstawowe** dokonuje się według następujących zasad:

1. indeks jednopodstawowy w okresie przyjętym za podstawę wynosi 100%;
2. indeks jednopodstawowy w okresie następującym bezpośrednio po okresie przyjętym za podstawę jest taki sam jak indeks łańcuchowy;
3. dalsze indeksy jednopodstawowe po okresie przyjętym za podstawę otrzymujemy, mnożąc wyznaczony indeks jednopodstawowy z okresu wcześniejszego przez indeks łańcuchowy dla analizowanego okresu;
4. indeksy jednopodstawowe przed okresem podstawowym są ilorazem indeksu jednopodstawowego z okresu następnego oraz indeksu łańcuchowego z okresu następnego.

**Zmiany podstawy w indeksach jednopodstawowych** dokonuje się poprzez dzielenie poszczególnych indeksów przy danej podstawie przez indeks jednopodstawowy tego okresu, który przyjmuje się za nową podstawę. Innymi słowy, indeks jednopodstawowy o nowej podstawie liczymy w taki sam sposób jak byśmy liczyli indeks jednopodstawowy na podstawie wartości bezwzględnych, ale zamiast nich podstawiamy wartości indeksów jednopodstawowych.

## Średnie tempo zmian

Indeksy jednopodstawowe i łańcuchowe pozwalają na ocenę zmian badanego zjawiska między dwoma wyróżnionymi okresami (momentami). Często jednak zachodzi konieczność oceny zmian danego zjawiska w całym okresie objętym obserwacją. Do tego celu wykorzystuje się średnią geometryczną.

Średnia geometryczna jest pierwiastkiem $n$-tego stopnia z iloczynu $n$ zmiennych. Średnie tempo zmian zjawisk ujętych w formie szregów czasowych oblicza się najczęściej na podstawie indeksów łańcuchowych. Ponieważ z $n$ wielkości absolutnych można utworzyć $n-1$ indeksów łańcuchowych, przez to wzór na średnią geometryczną indeksów łańcuchowych przyjmuje postać:

$$\bar{y}_g=\sqrt[n-1]{\frac{y_2}{y_1}\cdot\frac{y_3}{y_2}\cdot\frac{y_4}{y_3}\cdot...\cdot\frac{y_{n-1}}{y_{n-2}}\cdot\frac{y_n}{y_{n-1}}}=\sqrt[n-1]{\prod_{i=2}^{n}{\frac{y_i}{y_{i-1}}}}=\sqrt[n-1]{\frac{y_n}{y_1}}$$

Średnie tempo zmian wyrażone w procentach określa, jaki jest przeciętny okresowy przyrost procentowy analizowanego zjawiska w badanym przedziale czasowym.

```{r, echo=FALSE}

sr_geom <- exp(mean(log(piwa_wlkp$liczba_sztuk/lag(piwa_wlkp$liczba_sztuk,1)), na.rm = T))*100

```

Średnia geometryczna indeksów łańcuchowych sprzedanych piw wynosi `r round(sr_geom,2)`%, co oznacza, że liczba sprzedanych piw w województwie wielkopolskim rosła z miesiąca na miesiąc przeciętnie o `r round(sr_geom,2)-100`%.

Obliczone średnie tempo zmian można wykorzystać w celach prognostycznych. Zakładając, że w kolejnych okresach badane zjawisko będzie rozwijać się w dotychczasowym tempie:

$$y_T=y_n\cdot \bar{y}_{g}^{(T-n)}$$

gdzie:

- $T$ --- numer okresu prognozowanego,
- $n$ --- numer ostatniego okresu.

Przeprowadzenie szacunku z wykorzystaniem powyższej metody wymaga jednak, by dotychczasowy rozwój tej zmiennej był jednokierunkowy i nie podlegał zbyt dużej zmienności. Stosując tę regułę nie można ustalić błędu prognozy. 

```{r, echo=FALSE}

piwa_wlkp_9 <- round(piwa_wlkp$liczba_sztuk[8]*sr_geom/100^(9-8))

```

Zakładając, że we wrześniu popyt na piwo nie spadnie, prognozowana sprzedaż wyniesie `r piwa_wlkp_9` sztuk.

Znając wartość cechy w ostatnim okresie możemy, z wykorzystaniem indeksów łańcuchowych, odtworzyć wartości cechy dla okresów wcześniejszych dzieląc wartość cechy przez indeks łańcuchowy.

_Zadania_

1. Na podstawie danych dotyczących liczby sprzedanych sztuk piwa w województwie mazowieckim:

- oblicz średnie tempo zmian i je zinterpretuj
- o ile procent zmieniła się sprzedaż piwa w marcu w porównaniu do czerwca?
- jaka jest prognozowana sprzedaż piwa w październiku?

2. Wyznacz indeksy łańcuchowe dla liczby sprzedanych sztuk piwa w sklepach sieci detalicznej. Wyłącznie na ich podstawie określ:

- o ile procent zmieniła się sprzedaż piwa w sierpniu w porównianiu do czerwca?
- sprzedaż piwa w listopadzie wiedząc, że w sierpniu sprzedano 4146 sztuk
- ile wynosiła sprzedaż piwa w lutym?
- w których miesiącach sprzedaż piwa była mniejsza niż w miesiącu poprzedzającym?